精品解析：贵州铜仁市2026年2月期末质量监测高三数学试卷

2026年2月质量监测试题 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上. 2．答题时，第I卷必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚.在试题卷上作答无效. 3．本试题卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 4．考试结束后，试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，已知是边上的一点，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 为助力铜仁市创建全国文明城市，某社区从包括甲、乙、丙在内的5名志愿者中选出2人作为创文知识宣讲员，则甲、乙、丙三人中恰有2人被该社区选中的概率为（ ） A B. C. D. 5. 已知直线过抛物线的焦点，与交于两点，若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 6. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 成等差数列 C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，若函数与函数图象的交点为则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 电影《南京照相馆》在全国各地热映，某影院连续8天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，180，160，170，160，则这组数据的（　　） A. 众数为160 B. 中位数为170 C. 平均数140 D. 第30百分位数为90 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，可得到函数的图象 D. 若函数在区间上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是 11. 黄金分割，是一种公认的既美观又和谐的比例，具有艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，分别是椭圆的右焦点和左顶点，是短轴的一个端点，为上任意一点，直线与轴交于点，则（ ） A. B C. 若，则直线的斜率满足 D. 若直线与椭圆交于另一点，为弦的中点，则 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数是______.（用数字作答） 13. 若直线平分圆的周长，则的最小值为_____. 14. 已知圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，设、是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为______. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，内角的对边分别为，且． （1）证明：； （2）若，且边上的中线的长度为，求的值. 16. 设甲、乙两位同学在2026年元旦放假期间(共3天)，每天参加体育锻炼的概率均为，且甲、乙两人的锻炼情况互不影响，每位同学每天锻炼情况相互独立. （1）用表示甲同学在2026年元旦放假期间锻炼的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）在2026年元旦放假的三天中，求“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天”的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，为的中点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，渐近线方程为 （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，与双曲线的右支分别交于两点和两点. （i）求四边形面积的最小值； （ii）是否存在常数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年2月质量监测试题 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上. 2．答题时，第I卷必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚.在试题卷上作答无效. 3．本试题卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 4．考试结束后，试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法化简集合A，然后利用交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算，求得，再求其对应点即可判断. 【详解】∵，∴， ∴在复平面内复数z对应的点位于第四象限． 故选：D． 3. 在中，已知是边上的一点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用向量线性运算表示即可． 【详解】∵， ∴．因此． 故选C． 【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题关键．本题可直接由向量共线定理得出结论，由三点共线可得，． 4. 为助力铜仁市创建全国文明城市，某社区从包括甲、乙、丙在内的5名志愿者中选出2人作为创文知识宣讲员，则甲、乙、丙三人中恰有2人被该社区选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由组合数以及古典概型概率公式求解即可. 【详解】从包括甲、乙、丙在内的5名志愿者中选出2人作为创文知识宣讲员，有种方法， 其中甲、乙、丙三人中恰有2人被该社区选中，有种方法， 所以所求的概率为. 故选：A 5. 已知直线过抛物线的焦点，与交于两点，若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线焦点坐标求得判断A；根据焦点弦长公式求解判断B；设直线的方程为，与抛物线联立，韦达定理判断D；利用求得判断C. 【详解】因为抛物线的焦点，所以，所以，故A错误； 抛物线为，焦点为， 因为抛物线的准线为，则，， 所以，故B正确； 设直线的方程为，与抛物线联立， 消去可得，可得，，故D错误； 因，所以， 所以，所以，故C错误. 故选：B 6. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，利用二倍角公式和商数关系化简原式即可求解. 【详解】角的终边经过点，则， 所以. 故选：D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 成等差数列 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过和求出等差数列的首项与公差，得到通项和前项和公式，再逐一验证各选项，其中选项D利用放缩法结合裂项相消证明不等式成立. 【详解】由，依据等差数列前项和性质，得； 又，利用通项公式展开得，结合，联立得； 故； 选项A：，选项A错误； 选项B：，但，不构成等差数列，选项B错误； 选项C：，选项C错误； 选项D：，拆分前两项，对后续项放缩； 当时，，不等式成立； 当时，，不等式成立； 当时，前两项和；对的项用放缩，利用不等式，而， 因此，从到的和可以裂项为：， 合并放缩得，因为，所以， 综上，成立，选项D正确. 故选：D 8. 已知函数的定义域为，且，若函数与函数图象的交点为则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得关于对称，关于对称，即可得到函数与函数图象的交点也关于对称，根据对称性计算可得. 【详解】因为函数定义域为，且， 所以关于对称， 又，关于原点对称， 的图象是由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 所以关于对称， 即与都关于对称， 所以函数与函数图象的交点也关于对称， 又函数与函数图象的交点为， 不妨设与关于对称， 所以，则， 所以. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 电影《南京照相馆》在全国各地热映，某影院连续8天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，180，160，170，160，则这组数据的（　　） A. 众数为160 B. 中位数为170 C. 平均数为140 D. 第30百分位数为90 【答案】AC 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，再按照各数字特征的要求判断求值． 【详解】影院观影人数按由小到大排列依次为80，90，120，160，160，160，170，180， 选项A:这组数据的众数为160，所以选项A正确； 选项B:中位数为第四个数和第五个数的平均值，为所以选项B错误； 选项C:这组数据的平均数为，所以选项C正确； 选项D:因为，所以第30百分位数为第三个数，为120，所以D错误． 故选：AC． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，可得到函数的图象 D. 若函数在区间上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象可得函数的解析式，可判A、B的正误，利用图象变换可判断C的正误，由解出的值，由在区间上有且仅有4个零点，得到的范围可判断D的正误． 【详解】由图象可得，且，故， 又，所以，解得， 所以，而，， 故，， 因为，故，故，故A正确，B正确； 对于C，将函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到， 再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到： ，故C错误； 对于D，，即， 所以或， 所以或， 所以或， 因为函数在区间上有且仅有4个零点，所以， 所以，即实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD 11. 黄金分割，是一种公认的既美观又和谐的比例，具有艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，分别是椭圆的右焦点和左顶点，是短轴的一个端点，为上任意一点，直线与轴交于点，则（ ） A. B. C. 若，则直线的斜率满足 D. 若直线与椭圆交于另一点，为弦的中点，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合和，求得，可判定A正确；由，化简得到，求得，可判定B正确；由，求得，代入椭圆的方程，得到，化简得到，得到，可判定C正确；利用“点差法”求得，得到，可判定D错误. 【详解】对于A，由椭圆，可得， 不妨设，则，所以， 因为椭圆是“黄金椭圆”，离心率为，即， 又因为，则 ，所以，即，所以A正确； 对于B，因为，等价于， 可得，整理得，即，解得， 因为，所以，等价于，所以B正确； 对于C，设，因为，可得， 所以，解得， 因为点在椭圆上，可得，整理得， 直线的斜率为，所以， 代入，可得， 因为且，可得， 整理得， 因为，代入上式，可得，所以C正确； 对于D，设， 则，两式相减，可得， 因为点为线段的中点，可得， 则，所以， 又因为直线的斜率为， 所以，所以D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是______.（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】利用二项式展开的通项公式，求出项对应的值，再计算该项的系数. 【详解】二项式的展开式通项公式为. 令，则含项的系数为. 故答案为：24 13. 若直线平分圆的周长，则的最小值为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】直线平分圆的周长，即过圆心，可得a、b的关系，然后利用基本不等式可解. 【详解】圆即圆，则圆心为， 由题知直线过圆心，所以有， 所以， 当，即时，等号成立. 故答案为：. 14. 已知圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，设、是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得为等边三角形，设球心为，求出的外接圆和内切圆的半径，即为圆锥的外接球、内切球的半径， 所对的圆心角为，设的中点为，求出，连接，过点作交于点，利用三角形相似求出，进而求出截面圆的半径，即可求解. 【详解】作出圆锥的轴截面如下：    因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形， 则，所以， 设球心为（即为重心）， 所以，， 即内切球的半径为，外接球的半径为， 因为，所以所对的圆心角为（在圆上）， 设的中点为，则， 不妨设为上的点，连接， 则， 过点作交于点， 则，所以， 即，解得， 所以平面截内切球截面圆的半径， 所以截面圆的面积为. 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，内角的对边分别为，且． （1）证明：； （2）若，且边上的中线的长度为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，然后利用二倍角正弦公式得，然后结合锐角三角形及正弦函数性质证明即可. （2）在中，利用余弦定理及得，在中，利用余弦定理得，联立方程求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理知，，所以， 即， 所以，所以，所以或 ， 所以或 ，又因为是锐角三角形，所以； 【小问2详解】 不妨设为边上的中线， 在中，有，由（1）可得，故， 所以． 在中，有，所以． 即，解得． 16. 设甲、乙两位同学在2026年元旦放假期间(共3天)，每天参加体育锻炼的概率均为，且甲、乙两人的锻炼情况互不影响，每位同学每天锻炼情况相互独立. （1）用表示甲同学在2026年元旦放假期间锻炼的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）在2026年元旦放假的三天中，求“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天”的概率. 【答案】（1）分布列见解析，1 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，然后利用二项分布求出分布列并求出数学期望； （2）设乙同学元旦放假的三天中参加体育锻炼的天数为，则，记事件为“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天”，则，然后利用互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【小问1详解】 因为甲同学元旦放假三天中锻炼情况相互独立，且每天参加体育锻炼的概率均为，故， 从而 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望. 【小问2详解】 设乙同学元旦放假的三天中参加体育锻炼的天数为，则. 记事件为“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天”， 则. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由（1）知： . 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，为的中点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得，再根据线面垂直的判定及性质定理得，又，进而利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进而利用向量法求解夹角的余弦值. 【小问1详解】 底面是边长为的正方形， ， 是等边三角形，， 又，，，即， 又平面，， 平面，， 是等边三角形，且为的中点， ，又平面， 平面； 【小问2详解】 过点作交于点， 分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， ，解得，令，则， 设平面的法向量为， ，解得，令，则， ， 则平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，渐近线方程为 （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，与双曲线的右支分别交于两点和两点. （i）求四边形面积的最小值； （ii）是否存在常数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）6；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的焦距、渐近线方程、之间的关系进行求解即可； （2）（i）根据双曲线弦长公式，结合二次函数的最值性质进行求解即可； （ii）根据（i）的弦长结论进行化简求解即可. 【小问1详解】 因为双曲线焦距为，渐近线方程为， 所以，解得， 所以的方程为 【小问2详解】 （i）根据题意，直线的斜率都存在且不为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以. 令，所以， 则， 因为当时，有最大值， 且当时，， 所以当时，， 所以，当时，等号成立. 故四边形面积的最小值为. （ii）由（i）知： ， 显然为常数，故存在常数，使得． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）无极小值，极大值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，求出函数的单调区间，然后利用极值的概念求解即可； （2）等价于，令，多次求导求出函数的单调性，进而求得的最大值，即可求解； （3）由（2）可知，即，然后利用累加法证明即可. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为，， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值，且极大值为； 【小问2详解】 当时，等价于， 令，求导得， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，即恒成立， 于是当时，，当时，， 即 在上单调递增，在上单调递减， 因此， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 由（2）可知，当时，有， 则，当且仅当时等号成立， 因此， 将以上个不等式左右两边分别相加得 . 证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $