精品解析：贵州省遵义市第四中学2026届高三下学期入学质量监测数学试题

遵义四中2026届高三下学期入学质量监测 数学 命题组长：王贵兰 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ） A B. C. D. 2. 已知命题，命题，则命题p是命题q的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 设且，则 D. 一组数据10，3，8，3，2，18，7，4的第50百分位数为4 5. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数b的值为（ ） A. B. C. 2 D. 18 6. 已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是增函数，令，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C D. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于函数的叙述，正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 在上的最大值为3 D. 图像关于点中心对称 10. 如图，在正四棱柱中，，，P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线平面 C. 若Q为的中点，则 D. 三棱锥外接球的体积为 11. 已知椭圆的左、右焦点为，，过点的直线交椭圆E于不同的A，B两点，P为椭圆E上一个动点，下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 若为AB的中点且，则椭圆E的离心率为 C. 已知椭圆E的离心率为，若椭圆E上一个动点P到直线的距离为d，则 D. 若右焦点在直线l上，且的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是等差数列的前n项和，已知公差不为0且，则______． 13. 若的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a的值为______． 14. 若数列满足，则称数列为的一阶差分数列．从集合中任取4个不同的数，按照从小到大排列构成一个四项数列，则数列的一阶差分数列是公差等于3的等差数列的概率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若方程在上恰有2个实数根，求m的取值范围． 17. 如图1，E，F，G分别是边长为6的正方形三边AB，CD，AD的中点，将四边形沿着线段EF折起（如图2），M是CF上一点，且． （1）求证：． （2）若二面角的大小为． ①求三棱锥的体积； ②设过直线AB且与GM平行平面为，求与平面所成角的余弦值． 18. 某商场组织一次抽奖活动，在商场消费的顾客可进行抽奖，抽奖规则为：抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数小于3，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立．设该顾客抽奖n次． （1）若，求中奖次数多于不中奖次数的概率； （2）若，记：中奖次数与不中奖次数之差为X，求X的期望； （3）设为n次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率，求，，，并说明当n足够大时，的实际意义． 19. 已知双曲线的离心率为，点在C上． （1）求双曲线C的方程． （2）按照如下方式，依次构造点，，过点作y轴的平行线，与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为，再过点作x轴的平行线，与C在第一象限的交点为．记点的坐标为． ①求数列的通项公式； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义四中2026届高三下学期入学质量监测 数学 命题组长：王贵兰 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的几何意义以及共轭复数的定义求解即可. 【详解】因为在复平面内，复数z对应的点的坐标是， 则，所以z的共轭复数. 2. 已知命题，命题，则命题p是命题q的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解，再根据集合之间的包含关系判断. 【详解】等价于，得； ， 因为和之间无包含关系，故命题p是命题q的既不充分也不必要条件. 3. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示的模长公式即可求解. 【详解】, 所以. 故选：D 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 设且，则 D. 一组数据10，3，8，3，2，18，7，4的第50百分位数为4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的定义，可判断A的正误；根据残差的定义，可判断B的正误；根据正态分布的对称性，可判断C的正误；根据百分位数的求法，可判断D的正误. 【详解】选项A：二项分布是独立重复试验，这里是不放回抽样，不满足独立重复的定义， 故不是二项分布，故A错误； 选项B：残差是“实际值与估计值之差”，其平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确； 选项C：因为，所以对称轴为1， 因为，所以， 则，故C错误； 选项D：将这组数据从小到大排列为2,3,3,4,7,8,10,18，共8个， 则，所以第50百分位数为，故D错误. 5. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数b的值为（ ） A. B. C. 2 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先求出渐近线的方程，再由直线方程与一条渐近线垂直结合直线方程、渐近线方程的结构特征明确垂直相关的渐近线，再由两直线垂直的表示方法即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 直线即与双曲线的一条渐近线垂直， 则直线与渐近线垂直， 所以. 6. 已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是增函数，令，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得到，，，根据函数是偶函数及单调性得到函数在区间上是减函数由此确定的大小.. 【详解】因为定义在上的偶函数满足， 所以， ， ， 定义在上是偶函数且在区间上是增函数， 则函数在区间上是减函数，故. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正四棱台的体积公式求出该棱台的高，然后取正四棱台上、下底面中心分别为，根据勾股定理列出等式，确定其外接球 球心的位置，从而求得其半径，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为和， 所以该正四棱台上底面面积为，下底面面积为. 设正四棱台高为，则根据正四棱台的体积公式得 ，解得. 设正四棱台上、下底面中心分别为，则其外接球球心在线段上， 因为， 设外接球的半径为，设，则，因为， 所以，化简得， 即正四棱台的外接球球心位于处. 此时，所以该棱台的外接球体积为. 8. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数， 由，设， ， 当时，，所以函数上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 则有， 问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示： 由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点， 即函数有两个零点， 所以实数a的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于函数的叙述，正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 在上的最大值为3 D. 的图像关于点中心对称 【答案】BC 【解析】 【分析】结合余弦型函数的周期、对称中心、单调区间、对称轴依次分析选项即可. 【详解】， 对于A，最小正，A错误； 对于B，令，解得， 当时，，故B正确； 对于C，当时，， 所以当时，取最小值为，， 故C正确； 对于D，令，则， 当时，，， 所以的图像关于点中心对称，故D错误； 故选：BC 10. 如图，在正四棱柱中，，，P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线平面 C. 若Q为的中点，则 D. 三棱锥外接球的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】ABC选项，建立空间直角坐标系，利用向量判断线面平行和线线垂直；D选项，三棱锥外接球转化为正四棱柱的外接球，可求体积. 【详解】以为原点，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，则有， ， A选项，，有，平面，平面， 所以平面， ，同理可得平面， ，平面，所以平面平面， 直线平面，所以直线平面，A选项正确； B选项，，，直线与直线不垂直 所以直线不垂直于平面，B选项错误； C选项，Q为的中点，则，， P为线段上一动点，设， 则， ，不恒为0，与不恒垂直，C选项错误； D选项，三棱锥的外接球就是正四棱柱的外接球， 正四棱柱的体对角线就是外接球的直径，，， 所以三棱锥外接球的体积，D选项正确. 11. 已知椭圆的左、右焦点为，，过点的直线交椭圆E于不同的A，B两点，P为椭圆E上一个动点，下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 若为AB的中点且，则椭圆E的离心率为 C. 已知椭圆E的离心率为，若椭圆E上一个动点P到直线的距离为d，则 D. 若右焦点在直线l上，且的面积为，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，利用反例说明，对于B，利用点差法求解，对于C，求出进行比较，对于D，利用弦长公式和点到直线距离公式求解. 【详解】A，因为直线过点，所以， 取，则，所以A错误； B，若直线的斜率不存在，则直线，此时，不满足， 故直线的斜率一定存在，设，则， 两式相减得：， 因为为AB的中点，所以， 所以，即， 又直线的斜率为，且，所以，所以， 所以，所以椭圆的离心率为，故B错误； C，因为，所以，所以，所以椭圆的方程为， 设，因为， 所以 ， 又，则，所以，故C正确； D，因为右焦点在直线l上，所以，解得， 由A可知，所以，所以直线， 联立，消去得， 所以， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 解得，即，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是等差数列的前n项和，已知公差不为0且，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式将条件转化为的方程，解方程求. 【详解】因是等差数列的前n项和， 则由化简得， 解得. 13. 若的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】， 令，得①， 令，得②， ①②相减得，则， 因为的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32， 则，解得. 14. 若数列满足，则称数列为的一阶差分数列．从集合中任取4个不同的数，按照从小到大排列构成一个四项数列，则数列的一阶差分数列是公差等于3的等差数列的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算从集合中取4个数的总组合数，再找出满足“一阶差分数列是公差等于3的等差数列”的选法数，再由古典概型概率公式计算即得. 【详解】从集合中任取4个不同的数， 按照从小到大排列构成数列， 总共有种不同的取法. 因数列的一阶差分数列是公差等于3的等差数列， 设，则，因， 则，， ， 依题意，，即，也即，且， 当时，可取，共8种选法； 当时，可取，共5种选法； 当时，可取，共2种选法； 当时，，不合题意. 故满足条件取法共有种. 则数列的一阶差分数列是公差等于3的等差数列的概率为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦二倍角公式以及正弦定理求解，注意的取值范围，结果需要取舍； （2）选择①，利用正弦定理结合（1）分析得出结论；选择②③，利用同角三角函数关系式 、两角和的正弦公式以及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，因为为钝角，所以， 由，则， 因为，所以，即， 由正弦定理，，所以，解得， 由，所以. 【小问2详解】 选择①：因为，所以，这与矛盾，不满足题意； 选择②：因为，， 所以， 代入中得出， 由，所以， 所以 ， 所以； 选择③：将代入中得：， 由正弦定理，，所以， 由，所以， 由，所以， 所以 ， 所以. 16. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若方程在上恰有2个实数根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算法则进行求解即可； （2）把问题转化为直线与函数图象的交点个数问题，结合导数性质、数形结合思想进行求解即可. 【小问1详解】 ， 因为， 所以函数在处的切线方程为； 【小问2详解】 方程上恰有2个实数根， 等价于直线与函数的图像在上有两个不同的交点， 由， 所以直线恒过定点，且斜率为， 由（1）可知， 当时，，单调递增， 所以函数的图象如下图所示： 设函数的切线过点，切点为，斜率为， 所以切线的方程为， 把点的坐标代入，得， 因为，所以解得，即斜率为， 由数形结合思想可知：当时，即时，直线与函数有两个不同的交点， 即方程在上恰有2个实数根，此时m的取值范围为. 17. 如图1，E，F，G分别是边长为6的正方形三边AB，CD，AD的中点，将四边形沿着线段EF折起（如图2），M是CF上一点，且． （1）求证：． （2）若二面角的大小为． ①求三棱锥的体积； ②设过直线AB且与GM平行的平面为，求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）①，②. 【解析】 【分析】（1）折叠后，利用线面垂直的判定定理直接证明即可； （2）①先得到平面，再利用等体积法即可求解；②建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 因为在原正方形中E，F分别是的中点， 所以， 又因为，且平面 ，平面， 所以平面，又因为平面， 所以. 【小问2详解】 ①因为，且二面角的大小为， 所以二面角的平面角为， 同理可得 由（1）知平面，所以平面， 又因为,所以平面， 所以为三棱锥的高， 因为，所以， 所以， 所以. ②如图，以 E为原点，EB为 x 轴，EF 为 y 轴，过 E 作平面 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 所以 . 平面 的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令 ，得到. 设与平面的所成角为 ， 所以 . 18. 某商场组织一次抽奖活动，在商场消费的顾客可进行抽奖，抽奖规则为：抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数小于3，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立．设该顾客抽奖n次． （1）若，求中奖次数多于不中奖次数的概率； （2）若，记：中奖次数与不中奖次数之差为X，求X的期望； （3）设为n次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率，求，，，并说明当n足够大时，的实际意义． 【答案】（1） （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）利用二项分布概率计算公式可得中奖次数多于不中奖次数的概率； （2）设中奖次数为，利用数学期望的线性运算求解即可； （3）根据题意建立递推公式，构造等比数列求通项即可. 【小问1详解】 抛掷一枚质地均匀的骰子有6种不同的结果，掷出的点数小于3有2种不同的结果， 所以顾客在一次抽奖活动中中奖的概率为. 若时，设顾客中奖次数为，则不中奖次数为， 由题意可得，解得，所以或， 由二项分布得，， 所以中奖次数多于不中奖次数的概率为； 【小问2详解】 设时，设中奖次数为，则不中奖次数为， 则中奖次数与不中奖次数之差， 因为服从二项分布，所以， 所以 【小问3详解】 当时，单次抽奖不可能出现连续两次不中奖的概率，故； 当时，连续两次不中奖的概率为， 故未出现连续两次不中奖的概率，； 为n次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率，考虑第1次抽奖结果： 若顾客第1次中奖，则后第次抽奖中未出现连续两次不中奖的概率为； 若顾客第1次抽奖未中奖，则第2次抽奖必中奖，后第次未出现连续两次不中奖的概率为； 则， 设存在常数使得， 代入递推式，比较系数得：， 解方程，得， 取 ，则有：， 则是以为首项，为公比的等比数列， 则①， 另取，同理可得：， 则是以为首项，为公比的等比数列， 则②， 由①+2②得：，所以. 当足够大时：由于和，故. 实际意义：当抽奖次数非常大时，未出现连续两次不中奖的概率趋近于0， 即几乎必然会出现连续两次不中奖的情况. 19. 已知双曲线的离心率为，点在C上． （1）求双曲线C的方程． （2）按照如下方式，依次构造点，，过点作y轴的平行线，与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为，再过点作x轴的平行线，与C在第一象限的交点为．记点的坐标为． ①求数列的通项公式； ②证明：． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率的定义和定点列方程组求解； （2）①设，依次求出的坐标，结合等差数列的定义可求通项公式； ②分母提取公因式后可利用分母有理化以及裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意得，，则，， 故双曲线C的方程为； 【小问2详解】 ①双曲线的渐近线为， 设，其中，， 将代入中得，则， 将代入中得，则， 则，则， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，即， 因为，所以， 故数列的通项公式为； ②由①得 ， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $