第二章 课时11 函数模型与应用讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数模型及其应用高考核心考点，涵盖一次、二次、指数、对数、幂函数模型及增长差异，按课标要求-知识梳理-基础回顾-考点扫描逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生突破实际问题建模难点。 资料以现实情境案例（如茶水温度、血氧饱和度）驱动教学，培养数学眼光与模型观念，设计“观察散点图选模型”“指数不等式解过滤次数”等活动，配合分层练习与即时反馈，提升学生问题转化能力，为教师把控复习节奏提供系统支撑。

课时11 函数模型及其应用 一、课标要求 1．结合情境中具体问题，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 2．收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义，了解函数模型． 二、知识梳理 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝b·ax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b (a，b，n为常数，a≠0) 2．三种函数模型的性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调_______ 单调_______ 单调_______ 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与______平行 随x的增大，逐渐表现为与______平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）函数的函数值比函数的函数值大．（ ） （2）不存在实数a和实数，使得．（ ） （3）在上，随着x的增大，的增长速度会超过并远远大于的增长速度．（ ） （4）某种商品进价为每件100元，按进价增加10出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．（ ） 2．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 3．（多选题）某工厂一年中各月的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法正确的有(　　) A. 月收入最高值与月收入最低值的比是3∶1 B. 结余最高的月份是7月 C. 1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同 D.前6个月的平均收入为40万元 4．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________. 四、考点扫描 考点一 利用函数图象刻画实际问题 例1 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律的是(　　) A.y＝mx2＋n(x＞0) B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1) C.y＝max＋n(m＞0，a＞1) D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，且a≠1) 规律方法: 对点训练 (2026·江苏泰州市调研) 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线B-C-D-A向点A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) A B C D 　 考点二 已知函数模型求解实际问题 例2（1）(2026·北京房山区模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随着给氧时间t(单位：小时)的变化而变化的规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0＝60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为(精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A.0.3小时 B.0.5小时 C.0.7小时 D.0.9小时 （2）(2026·贵州铜仁市模拟)香农-威纳指数(H)是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式为H＝－(pi·log2pi)，其中n是该群落中生物的种数，pi为第i个物种在群落中的比例.下表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农-威纳指数值为(　　) 物种 甲 乙 丙 合计 个体数量 300 150 150 600 A. B. C.－ D.－ 规律方法: 对点训练 （1）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． （2）（2026·广东茂名市期末）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（    ） A． B． C． D． 考点三 构建函数模型解决实际问题 例3 （1）（2026·广东梅州市模拟）某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过.现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则要使得产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ．（参考数据：，） （2）（2026·云南楚雄市模拟）足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个11人制的标准足球场，其底线宽，球门宽，且球门位于底线的中间，在某次比赛过程中，攻方球员带球在边界线上的点处起脚射门，则当最大时，点离底线的距离约为（    ） A． B． C． D． 规律方法: 对点训练 （2026·陕西商洛市模拟）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质.若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则PP棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 课时11 函数模型及其应用参考答案 二、知识梳理 2．递增 递增 递增 y轴 轴 三、基础回顾 1．(1) ×　【解析】 当x＝2时，2x＝x2＝4，不正确. (2) ×　【解析】 如a＝x0＝，不等式成立，因此错误. (3) √　 (4) × 【解析】 九折出售的售价为100(1＋10%)×＝99(元)，每件赔1元，故错误. 2．D 【解析】　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D. 3．ABC【解析】 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，A正确； 由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，B正确； 由题图可知，1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同，C正确； 由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，D错误.故选ABC. 4． 【解析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x.由题意得， 解得． 四、考点扫描 例1 B 【解析】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1.故选B. 对点训练 D 【解析】依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求.故选D. 例2（1）B【解析】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少需要(t－1)小时. 由题意可得60eK＝80，60eKt＝90，两边同时取自然对数并整理，得K＝ln ＝ln ＝ ln 4－ln 3＝2ln 2－ln 3，Kt＝ln ＝ln ＝ln 3－ln 2，则t＝≈≈1.5， 则给氧时间至少还需要t－1＝0.5(小时).故选B. （2）A 【解析】由题意知H＝－＝ －＝－＝.故选A. 对点训练 （1）A 【解析】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即．故选A. （2）A 【解析】由，得到，所以当时，； 当时，. 依题意，明年的产量将是今年的倍，得， ，即，解得. ，.故选A. 例3 （1） 【解析】设至少需要过滤次，可得，即， 两边取对数，可得，所以. 又因为，所以，所以使产品达到市场要求的过滤次数最少为次．故答案为：8. （2） C 【解析】设，，所以； 记，可得； ， 当取最大时，取最大即可， 易知，此时取到最大值， 当且仅当时，即时，等号成立， 将代入可得.故选C. 对点训练 A 【解析】 设经过层PP棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为， 则. 令，解得，两边取常用对数得，即, 即.因为，， 所以，解得.因为，所以的最小值为9．故选A. . 学科网（北京）股份有限公司 $