第二章 课时7 对数与对数函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕对数与对数函数核心考点，涵盖概念、运算性质、图象性质及反函数，按“知识梳理-基础回顾-考点扫描-拓展延伸”逻辑架构，通过例题精讲、规律总结、对点训练突破运算、图象、性质及指对幂比较等难点，体现系统性与针对性。 资料融入高考真题与模拟题，采用分类突破策略，如比较大小通过中间量、作差法培养数学思维，复合函数性质分析强化数学语言表达。设置分层练习与即时反馈，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

课时7 对数与对数函数 一、课标要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，会作对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝loga x(a>0，且a≠1)互为反函数． 二、知识梳理 1．对数的概念 如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作 ，其中 叫作对数的底数， 叫作真数． 以10为底的对数称为常用对数，记作 . 以e为底的对数称为自然对数，记作 . 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝ ，logaa＝ ，＝ (a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ ； ②loga＝ ； ③logaMn＝ (n∈R)． (3)对数换底公式：logaN＝(a>0，且a≠1；N>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 R 性质 过定点 当x>1时， ； 当0<x<1时， 当x>1时， ； 当0<x<1时， 函数 函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称． 【拓展知识】 1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0). 2．如图，给出4个对数函数的图象． 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“M＝N”是“logaM＝logaN”的充要条件. (　 　) (2) 函数y＝log2(x＋1)是对数函数． (　 　) (3) log2x2＝2log2x． (　 ) (4) 函数y＝log2x与y＝的图象关于x轴对称． (　 　) 2．函数y=的定义域为(　　) A.(0，1) B.[0，1) C.(0，1] D.[0，1] 3. 函数f(x)=loga|x|+1(a>1)的图象大致为(　　) A B C D 4. 若对数函数f(x)的图象过点(4，2)，则它的反函数g(x)的解析式为　　　　　　.  四、考点扫描 考点一 对数运算 例1 （1） 计算：log381－log98·log23－2log23＋lg ＋lg ＝________. (2)(2026·河南洛阳市模拟)已知，则 ． （3）（2026·北京高考）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时.则当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（    ） A．2小时 B．4小时 C．20小时 D．40小时 规律方法： 对点训练 （1）计算：＝________. (2)计算： ＋ln ＋log35×log259＋lg 4＋2lg 5＝________. （3）已知，则 .（用含的式子表示） 考点二 对数函数的图象及应用 例2 (1)（2026·广东深圳中学检测）已知，且，则函数的图象一定过（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 （2）已知函数.若且，则a+2b的取值范围是 . 规律方法： 对点训练 (1)（2026·河南信阳市模拟）如图，若C1，C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象，则(　　) A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 (2)若函数y=loga(x+b)+c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b=　　　　，c=　　　　.  考点三 对数函数的性质及应用 考向1 比较大小 例3 （1）若a=log23，b=log32，c=log46，则a,b,c的大小关系为(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a (2)设a=log62，b=log123，c=log405，则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 考向2 解不等式 例4 已知函数则不等式f(x)<f(x－1)的解集为 ． 考向3 复合函数 例5 (多选题)(2026·湖南岳阳市模拟)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x),下列说法正确的有(　　) A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0,2)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 规律方法： 对点训练（1）若a＝lg 0.2，b＝log32，c＝log64，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>b>a B．b>c>a C．c>a>b D．a>b>c （2）设实数a>0，则“2a>2”是“loga>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 （3） （多选题）(2026·广东中山市模拟)关于函数f(x)＝lg下列说法正确的有(　　) A.f(x)的定义域为(－1,1) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于坐标原点对称 D.f(x)在(0,1)上单调递增 拓展与延伸5 指、对、幂比较大小 一、考情分析 指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 二、知识梳理 指对幂比较大小常见类型有： 1. 同底或同指：直接运用函数的 . 2. 不同底也不同指：找中间量，如0，1 ，, 2等特殊值. 3. 指对混合：取对数，统一形式. 4. 同构法：构造函数. 5. 图象法：数形结合. 6. 作差作商：差看与 的大小，商看与 的大小. 三、 考点扫描 考点一 利用运算性质比较大小 考向1 作差（商）法 例1 (1)已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b （2）设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b 考向2 取特殊值或中间值 例2 （1）(2026·安徽宣城市模拟)已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是(　　) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc （2）设a＝，b＝ln－ln 3，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a>b>c 考向3 指、对互化 例3 （1）已知a＝log35，b＝log57，c＝，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b （2）（2026·新高考Ⅰ卷）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是　　 A． B． C． D． 考点二 利用函数的性质 例4 设，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a 三、巩固提升 1. 已知a＝sin ，b＝ln，c＝20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．a<c<b 2. 已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 3. 设，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．b>a>c 4. 若3x＝4y＝10，z＝logxy，则(　　) A．x>y>z B．y>x>z C．z>x>y D．x>z>y 5、(2026·安徽宿州市模拟)已知3m＝4，a＝2m－3，b＝4m－5，则(　　) A．a>0>b B．b>0>a C．a>b>0 D．b>a> 课时7 对数与对数函数参考答案 二、知识梳理 1．logaN＝b a N lg N ln N 2．（1）0 1 N (2) logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 3．(0，＋∞) (1,0) y>0 y<0 y<0 y>0 增 减 4. y＝x 三、基础回顾 1．（1）× （2）× （3）× （4）√ 2. A 【解析】　因为y=所以解得0<x<1.故选A. 3.　A 【解析】　f(x)=loga|x|+1的定义域为{x|x≠0}， 因为f(－x)=loga|－x|+1=loga|x|+1=f(x)， 所以f(x)是偶函数， 当x∈(0，+∞)时，f(x)=logax+1(a>1)单调递增.故选A. 4.　g(x)=2x 【解析】　设f(x)=logax(a>0，且a≠1)，函数图象过点(4，2)，即f(4)=loga4=2，即a=2，即f(x)=log2x，则它的反函数g(x)的解析式为g(x)=2x. 四、考点扫描 例1 （1）0 【解析】　原式＝log334－·log32·log23－3＋lg＝4－－3＋＝0. (2)　3 【解析】依题意，， 则． （3）B 【解析】 设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为.由题意，， ， . 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选B. 对点训练 （1）1 【解析】　原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. (2)　 【解析】　＋ln ＋log35×log259＋lg 4＋2lg 5 ＝＋ln e－1＋log35×log5232＋lg 22＋2lg 5 ＝－1＋log35×log53＋2lg 2＋2lg 5 ＝－1＋×＋2(lg 2＋lg 5)＝－1＋1＋2＝. （3） 【解析】因为，所以.又， 所以 . 例2 （1）D 【解析】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限.故选D. （2） 【解析】画出的图象如图： 因为，且， 所以且，， 所以，即，所以，. 由图象得在上为减函数， 所以， 所以a+2b的取值范围是. 对点训练 (1)　B 【解析】　作直线y=1(图略)，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1.故选B. (2)　－2；2 【解析】　因为函数的图象恒过定点(3，2)， 所以将(3，2)代入y=loga(x+b)+c， 得2=loga(3+b)+c. 又当a>0，且a≠1时，loga1=0恒成立， 所以c=2，3+b=1，所以b=－2，c=2. 例3 （1）　D 【解析】　因为函数y=log4x在(0，+∞)上单调递增，a=log23=log49>log46>1，log32<1， 所以b<c<a.故选D. (2)　D 【解析】　因为=log312=1+log34=1+=1+， =log540=1+log58=1+=1+， 所以－=－===<0，所以<. 又b>0，c>0，所以b>c. 因为=1+log58<1+log5=1+log5=，所以c>. 因为=log26=1+log23>1+log2=1+log2=，所以a<， 所以a<c.所以a<c<b.故选D. 例4 【解析】当x≤1时，不等式f(x)<f(x－1)为1－x2<1－(x－1)2，解得<x≤1； 当1<x≤2时，不等式f(x)<f(x－1)为<1－(x－1)2，易知＝0，1－(x－1)2≥0，解得1<x≤2；当x>2时，不等式为，解得x>2.综上，解集为. 例5 　BC 【解析】　函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0<x<4), 当x＝2时,4x－x2取到最大值4, 故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2,A错误； f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作由函数y＝log2u,u＝－x2＋4x(0<x<4)复合而成,而y＝log2u是定义域上的增函数,u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,故f(x)在区间(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,B正确； 因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x),故f(x)的图象关于直线x＝2对称,C正确； 因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立,故f(x)的图象不关于点(2,0)对称,D错误.故选BC. 对点训练 （1）　A 【解析】　因为a＝lg 0.2<lg 1＝0，b＝log32>0，c＝log64>0， ＝＝＝×＝<1，所以b<c，即c>b>a.故选A. （2）　A 【解析】　由2a>2，可得a>1.由loga>0，可得loga>loga1， 所以或解得a>1或0<a<. 因此“2a>2”是“loga>0”的充分不必要条件．故选A. （3）ACD 【解析】　因为f(x)＝lg＝lg则>0,解得－1<x<1, 所以f(x)的定义域为(－1,1),故A正确； 因为f(－x)＝lg＝－f(x),所以f(x)为奇函数, 所以f(x)的图象关于原点对称,故B错误,C正确； 因为y＝－1在(0,1)上单调递增,y＝lg x在(0,＋∞)上单调递增, 所以f(x)＝lg在(0,1)上单调递增,故D正确.故选ACD. 拓展与延伸5 指、对、幂比较大小 二、知识梳理 1. 单调性 6. 0 1 三、 考点扫描 例1 (1) B 【解析】　由＝＝<1，得b<c. 又因为c<1<a＝0.8－0.4，所以b<c<a. 故选B. （2）　D 【解析】　因为＝log312＝1＋log34＝1＋＝1＋，＝log540＝1＋log58＝1＋＝1＋，所以－＝－＝＝＝<0，所以<，又b>0，c>0，所以b>c. 因为＝1＋log58<1＋log5＝1＋＝，所以c>，因为＝log26＝1＋log23>1＋log2＝1＋＝，所以a<，所以a<c.所以a<c<b.故选D. 例2（1）　C 【解析】　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则，所以ac>bc，故A错误； abc＝4×，bac＝2×，所以abc>bac，故B错误； logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，所以alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误．故选C. （2）　B 【解析】　因为b＝ln－ln 3＝－＝＝<＝0， 而a＝>0，c＝>0，所以b最小．又ln a＝＝<，ln c＝＝ln π>， 所以ln c>ln a，即c>a，因此c>a>b.故选B. 例3（1）　D 【解析】　因为53＝125>＝81，所以5>，所以log35>＝，即a>c. 因为73＝343<＝625，所以7<，所以log57<＝，即b<c.所以a>c>b.故选D. （2）B 【解析】方法一：令，则，可得，， 所以．A可能正确. 当时，，，所以，所以C可能正确. 时，，此时，满足，所以D可能正确．故选B． 方法二：设，所以, 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，.故选B． 例4 　C 【解析】　因为函数y＝为增函数，所以，即a<b. 又因为函数y＝为增函数，所以，即b<c，故c>b>a.故选C. 四、巩固提升 1.　A 【解析】因为a＝sin ＝，且b＝ln>ln＝＝a，b＝ln<ln e＝1，且c＝20.2>1，所以a<b<c.故选A. 2.　A 【解析】　令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以＝＝·＝>1，则2x>3y，＝＝·＝<1，则2x<5z.所以3y<2x<5z.故选A. 3.　D 【解析】　因为函数y＝为减函数，则0<a＝<＝1. 因为函数y＝为增函数，则b＝>＝1. 因为函数y＝为减函数，则c＝＝0，因此b>a>c.故选D. 4.　A 【解析】　因为3x＝4y＝10， 则x＝log310>log39＝2,1＝log44<y＝log410<log416＝2，即1<y<2，所以x>y>1， 从而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z.故选A. 5.　B 【解析】由3m＝4，得m＝log34， 因为log23－log34＝－＝ ＝所以log23>log34， log34－log45＝－＝ ＝所以log34>log45， 所以b＝4m－5＝－5＝0，a＝2m－3＝－3＝0， 所以b>0>a.故选B. . 学科网（北京）股份有限公司 $