第05讲 对数与对数函数（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义围绕对数与对数函数专题，涵盖对数定义、运算性质、换底公式及对数函数定义域、图象性质等核心考点，按知识解构与题型破译的逻辑架构展开，通过考情分析、知识精讲、真题训练等环节帮助学生系统梳理知识，突破解题难点。 讲义突出高考命题趋势与核心素养培养，融入数学运算、逻辑推理能力训练，如总结对数运算三大法则、复合函数单调性“同增异减”策略，设置分层练习与方法技巧指导，助力学生高效提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供实用教学资源。

第05讲 对数与对数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 对数的定义 知识点2 常用对数与自然对数 知识点3 对数的基本性质及对数恒等式 知识点4 对数的运算性质 知识点5 换底公式 知识点6 对数函数的一般形式及定义域 知识点7 对数函数的图象及性质 知识点8 解对数不等式 题型破译 (含超链接） 题型1 对数的运算【含方法技巧】 题型2 对数函数的定义域【含方法技巧】 题型3 对数函数的图象与性质【含方法技巧】 题型4 对数函数的单调性【含方法技巧】 题型5 对数函数的值域与最值【含方法技巧】 题型6 对数函数中奇偶性的应用【含方法技巧】 题型7 对数函数值的大小比较【含方法技巧】 题型8 对数型糖水不等式的应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 对数的运算 — — T7（4分） 对数函数的图象与性质 T5（4分） — T9（4分） 考情分析 对数与对数函数是高考必考内容，北京卷近年以选择题形式直接命题，分值约4~8分，难度中等偏易。近三年考情显示，对数函数常与函数奇偶性、单调性判断（2026 T5）、实际情境中的对数运算（2024 T7）及指数函数图象对称性（2024 T9）相结合考查，体现数学运算与逻辑推理素养。复习时需立足基础，掌握对数运算性质与对数函数图象性质，同时注意与指数函数的联系与区分。 复习目标 1.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能进行对数式的化简、求值与换底。 2.理解对数函数的概念，掌握对数函数 （ 且 ）的图象与性质（定义域、值域、单调性、过定点）。 3.能利用对数函数的单调性比较对数式的大小，能解决简单的与对数函数相关的复合函数问题（如定义域、值域、单调区间）。 4.理解对数函数与指数函数互为反函数的关系，能进行简单的图象变换。 5.体会对数函数在刻画增长减缓实际问题中的广泛应用，提升数学建模素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 对数的定义 如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 ，N叫作对数的 ．    自主检测1已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 自主检测2已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 知识点2 常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作 ，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 知识点3 对数的基本性质及对数恒等式 性质1 和 没有对数 性质2 1的对数是 ，即 性质3 底数的对数是 即 对数恒等式： ， 自主检测1（   ） A． B． C．0 D．1 自主检测2若，则（     ） A．8 B．27 C．64 D．3 知识点4 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 推广：． ，， 自主检测1计算：__________. 自主检测2_________． 知识点5 换底公式 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 自主检测1已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 自主检测2已知，，则用a、b表示对数_______. 知识点6 对数函数的一般形式及定义域 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x的范围是 对数函数的定义域 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数 ;若自变量在底数上，应保证底数 自主检测1若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 自主检测2函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 知识点7 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 是上的 自主检测1已知函数（且）的图象经过定点，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 自主检测2函数的大致图象为（） A． B． C． D． 知识点8 解对数不等式 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 自主检测1关于的不等式的解集为___________． 自主检测2若，则的取值范围为______． 题●型●破●译 题型1 对数的运算 例1-1（2026·北京·模拟预测）设，，为非零实数，且，则（     ） A． B． C． D． 例1-2（2026·北京东城·二模）已知非零实数x，y满足，则下列各式中为定值的是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1.熟记三大运算法则（，，，）： 积的对数：； 商的对数：； 幂的对数：（）。 2.换底公式：（，，，，）。常用推论：，。 3.恒等式：（，，），常用于化简指数与对数混合的式子。 4.化简原则： 将同底的对数合并或拆分； 将系数化为真数的指数； 结果中尽量不含根式、负指数，真数尽量为最简形式。 【变式训练1-1】若，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练1-2】已知，且，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【变式训练1-3】已知函数（为常数），若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知，则等比数列，，的公比为（    ） A． B． C． D． 题型2 对数函数的定义域 例1-1（2026·北京顺义·一模）函数的定义域为______. 例1-2（25-26高三下·北京·开学考试）函数 的定义域为_____． 方法技巧 1.求对数函数 （，）的定义域，只需令真数大于 ，即 。 2.对于复合型 ，需令 ，再解此不等式。 3.对于更复杂的对数型函数（如分母含对数、偶次根号内含对数），需同时满足： 真数大于 ； 分母不为 ； 偶次根号下被开方数大于等于 。 4.结果用集合或区间表示，注意多个条件需取交集。 【变式训练1-1】（2026·北京延庆·一模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型3 对数函数的图象与性质 例1-1（25-26高三上·北京昌平·期末）已知，是函数的图象上的不同两点，则（   ） A． B． C． D． 例1-2已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.图象特征：对数函数 （，）的图象恒过定点 ，且以 轴为渐近线。 当 时，图象从左到右上升（单调递增），底数越大，图象在 时越靠近 轴； 当 时，图象从左到右下降（单调递减），底数越小，图象在 时越靠近 轴。 2.图象变换： 平移变换： 的图象由 向左（）或向右（）平移 个单位，再向上（）或向下（）平移 个单位得到。 对称变换： 与 的图象关于 轴对称； 与 的图象关于 轴对称；。 3.应用：利用图象可直观判断方程根的个数、不等式解集，以及比较真数或底数的大小。 【变式训练1-1】若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 【变式训练1-3】已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型4 对数函数的单调性 例1-1（2026·北京昌平·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 例1-2设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.直接判断：对于 ，当 时单调递增；当 时单调递减。 2.复合函数 ：遵循“同增异减”原则： 当 时， 与 的单调性相同； 当 时， 与 的单调性相反。 3.含参讨论：若底数 为参数且范围不明确，需分 和 两类讨论。 4.解不等式：利用单调性将对数不等式转化为真数之间的不等关系，转化时务必注意真数大于 的前提条件。 【变式训练1-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5 对数函数的值域与最值 例1-1函数的值域为（   ） A． B． C． D． 例1-2若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.换元法：对于 ，令 ，先求 的取值范围（注意 ），再根据 的单调性确定值域。 2.配方法：若真数 为二次函数，先对 配方，求出其在定义域内的取值范围（取正值部分），再利用对数函数的单调性求整体值域。 3.分离常数法：对于分式型对数函数，先对真数部分进行变形（如分离常数），再求值域。 4.注意定义域：求值域前务必先确定函数的定义域，定义域的变化会直接影响真数的取值范围，从而影响值域。 【变式训练1-1】已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【变式训练1-3】已知且，若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型6 对数函数中奇偶性的应用 例1-1“”是“函数为奇函数”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-2已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1.判断奇偶性：先求定义域，若定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；若对称，再计算 与 的关系： 若 ，则为偶函数； 若 ，则为奇函数。 2.常见奇函数模型： （定义域 ）为奇函数； 为奇函数。 3.应用：利用奇偶性可简化函数值的计算（如 与 的关系）、对称区间上的最值问题，以及解不等式时的等价变形。 【变式训练1-1】若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式训练1-2】若函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【变式训练1-3】已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 题型7 对数函数值的大小比较 例1-1（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例1-2（2026·北京海淀·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1.同底数、异真数：利用对数函数 的单调性直接判断。当 时，真数越大，函数值越大；当 时，真数越大，函数值越小。 2.同真数、异底数：利用换底公式 转化为同底数，或借助图象在第一象限的高低位置进行比较（也可利用倒数关系判断）。 3.底数、真数均不同： 引入中间量：通常选 或 作为桥梁，将要比较的数分别与 、 比较，再确定大小关系。 化为同底或同真：通过换底公式或恒等变形，转化为上述两种情况再比较。 4.利用对数运算性质：将真数进行分解或合并（如将真数写成乘积或商的形式），再借助已知的对数值进行比较。 【变式训练1-1】（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·北京石景山·一模）设，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2026·北京丰台·一模）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型8 对数型糖水不等式的应用 例1-1设，，，则（   ） A． B． C． D． 例1-2设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 对数型糖水不等式：当 ， 时，有 （糖水加糖变甜）。将其推广到对数中，常用结论为： 或等价形式： 1.适用范围：常用于比较形如 与 或 与 等对数式的大小。 2.变形技巧：将真数化为“底数加某数”的形式，再利用糖水不等式的结论直接判断。 3.与其他方法结合：若无法直接套用结论，可先取倒数、换底或构造函数（如 ），利用函数的单调性进行证明或比较。 【变式训练1-1】已知则（        ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】设，，，则（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D．，且 2．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4). 3．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 4．已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 5．求下列各式中x的值： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 6．求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值. 7．用表示. 8．求下列函数的定义域. （1）； （2）； （3）； （4）. 9．比较下列各题中三个值的大小: (1); (2). 10．函数，，的图象如图所示， (1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； (2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象； (3)从（2）的图中你发现了什么？ 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，若，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若实数满足，则与的值最接近的是（   ）（参考数据： A．0.26 B．0.41 C．0.51 D．1.10 8．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知函数，则（     ） A． B． C．1 D．e 重难·创新演练 11．已知函数 ，实数满足.若对任意的，总有不等式成立， 则的最大值为（   ） A． B． C． D． 12．若，，，则、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 13．已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 14．下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（   ）． A． B． C． D． 15．已知，则符合条件的k的个数为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 16．已知函数，，若，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 17．已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是____________． 18．已知函数的值域是，若，则m的取值范围是________． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 对数与对数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 对数的定义 知识点2 常用对数与自然对数 知识点3 对数的基本性质及对数恒等式 知识点4 对数的运算性质 知识点5 换底公式 知识点6 对数函数的一般形式及定义域 知识点7 对数函数的图象及性质 知识点8 解对数不等式 题型破译 (含超链接） 题型1 对数的运算【含方法技巧】 题型2 对数函数的定义域【含方法技巧】 题型3 对数函数的图象与性质【含方法技巧】 题型4 对数函数的单调性【含方法技巧】 题型5 对数函数的值域与最值【含方法技巧】 题型6 对数函数中奇偶性的应用【含方法技巧】 题型7 对数函数值的大小比较【含方法技巧】 题型8 对数型糖水不等式的应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 对数的运算 — — T7（4分） 对数函数的图象与性质 T5（4分） — T9（4分） 考情分析 对数与对数函数是高考必考内容，北京卷近年以选择题形式直接命题，分值约4~8分，难度中等偏易。近三年考情显示，对数函数常与函数奇偶性、单调性判断（2026 T5）、实际情境中的对数运算（2024 T7）及指数函数图象对称性（2024 T9）相结合考查，体现数学运算与逻辑推理素养。复习时需立足基础，掌握对数运算性质与对数函数图象性质，同时注意与指数函数的联系与区分。 复习目标 1.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能进行对数式的化简、求值与换底。 2.理解对数函数的概念，掌握对数函数 （ 且 ）的图象与性质（定义域、值域、单调性、过定点）。 3.能利用对数函数的单调性比较对数式的大小，能解决简单的与对数函数相关的复合函数问题（如定义域、值域、单调区间）。 4.理解对数函数与指数函数互为反函数的关系，能进行简单的图象变换。 5.体会对数函数在刻画增长减缓实际问题中的广泛应用，提升数学建模素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 对数的定义 如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 底数 ，N叫作对数的 真数 ．    自主检测1已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以 故选：A 自主检测2已知，若，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】将指数式化为对数式，利用换底公式代入运算得解. 【详解】由题知，所以，， 故，解得． 故选：A. 知识点2 常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作 ，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 知识点3 对数的基本性质及对数恒等式 性质1 负数 和 零 没有对数 性质2 1的对数是 ，即 性质3 底数的对数是 即 对数恒等式： ， 自主检测1（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】. 自主检测2若，则（     ） A．8 B．27 C．64 D．3 【答案】A 【详解】由，得，则， 所以. 知识点4 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 推广：． ，， 自主检测1计算：__________. 【答案】/ 【详解】原式 自主检测2_________． 【答案】2 【分析】根据对数的运算性质直接求解即可. 【详解】原式 ． 故答案为：2 知识点5 换底公式 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 自主检测1已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 【答案】 【详解】. 自主检测2已知，，则用a、b表示对数_______. 【答案】 【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解即可． 【详解】， 故答案为：. 知识点6 对数函数的一般形式及定义域 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x的范围是 对数函数的定义域 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数 大于0 ;若自变量在底数上，应保证底数 大于0且不等于1 自主检测1若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 自主检测2函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即， 解得，即函数的定义域为. 知识点7 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 自主检测1已知函数（且）的图象经过定点，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出对数函数经过的定点，然后利用三角函数的定义求解. 【详解】根据对数函数性质，经过定点， 由三角函数的定义，. 故选：D 自主检测2函数的大致图象为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过函数的定义域、对称性和单调性即可求解，得到答案. 【详解】由可知，，函数图象关于直线对称，B、C错误. 因为外层函数是减函数，内层函数在上单调递减，在上单调递增. 根据“同增异减”原则，函数在上单调递增，在上单调递减，A错误，D正确. 故选：D 知识点8 解对数不等式 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 以为底数的对数式 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 同底的两个对数值 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 换元法（令） ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 自主检测1关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性可求不等式的解集. 【详解】即为，故即， 故不等式的解集为， 故答案为：. 自主检测2若，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先将不等式左式分解因式，可得，利用对数函数的单调性即可求得答案. 【详解】由可得， 则， 所以，即. 故答案为：. 题●型●破●译 题型1 对数的运算 例1-1（2026·北京·模拟预测）设，，为非零实数，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数式化为对数式，再根据对数运算的性质即可求解． 【详解】设，则， 所以． 例1-2（2026·北京东城·二模）已知非零实数x，y满足，则下列各式中为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令且，则， 所以，当的值变化时，不确定， 则的值不为定值； ，当的值变化时，不确定， 则的值不为定值； ，为定值； ，当的值变化时，不确定， 则的值不为定值. 方法技巧 1.熟记三大运算法则（，，，）： 积的对数：； 商的对数：； 幂的对数：（）。 2.换底公式：（，，，，）。常用推论：，。 3.恒等式：（，，），常用于化简指数与对数混合的式子。 4.化简原则： 将同底的对数合并或拆分； 将系数化为真数的指数； 结果中尽量不含根式、负指数，真数尽量为最简形式。 【变式训练1-1】若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得 ，所以． 【变式训练1-2】已知，且，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】运用对数运算性质及换底公式即可求解. 【详解】，由得， 则 所以 故选：A． 【变式训练1-3】已知函数（为常数），若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，所以两式相除得. 【变式训练1-4】已知，则等比数列，，的公比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数换底公式将，转化为以2为底的对数，结合等比中项性质，解出和的关系式，再代入数列的项，利用等比数列公比的定义计算公比. 【详解】，，为等比数列， ，整理得； 或. ，，得. ，，. 公比. 题型2 对数函数的定义域 例1-1（2026·北京顺义·一模）函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 例1-2（25-26高三下·北京·开学考试）函数 的定义域为_____． 【答案】 【分析】根据对数函数，根式的性质得，再解不等式即可求得答案. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为 方法技巧 1.求对数函数 （，）的定义域，只需令真数大于 ，即 。 2.对于复合型 ，需令 ，再解此不等式。 3.对于更复杂的对数型函数（如分母含对数、偶次根号内含对数），需同时满足： 真数大于 ； 分母不为 ； 偶次根号下被开方数大于等于 。 4.结果用集合或区间表示，注意多个条件需取交集。 【变式训练1-1】（2026·北京延庆·一模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合A,B，利用并集的定义可求得. 【详解】由题意可得：根据对数函数真数大于零可得，集合， 集合或， 根据并集的定义可得或，即. 【变式训练1-2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，根据集合的交集运算求解即可. 【详解】∵，∴，即，∴， ∵，∴，解得，∴， ∴. 故选：B 【变式训练1-3】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 题型3 对数函数的图象与性质 例1-1（25-26高三上·北京昌平·期末）已知，是函数的图象上的不同两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象即可求解. 【详解】如图，由，得的中点， 点在函数的图象上，且轴，则， 由图可知，点在的左侧，即. 故选：A 例1-2已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过图象的单调性判断出，再通过时的函数值小于e判断出，最后结合指数函数图象的性质比较与的大小，对于D，取特值即可证明有可能成立. 【详解】对于A，由图象知函数单调递增,故，A一定成立； 对于B，且，则,进而，B一定成立； 对于C，由A,B已得，，则，故一定不成立； 对于D，若，则，故有可能成立. 方法技巧 1.图象特征：对数函数 （，）的图象恒过定点 ，且以 轴为渐近线。 当 时，图象从左到右上升（单调递增），底数越大，图象在 时越靠近 轴； 当 时，图象从左到右下降（单调递减），底数越小，图象在 时越靠近 轴。 2.图象变换： 平移变换： 的图象由 向左（）或向右（）平移 个单位，再向上（）或向下（）平移 个单位得到。 对称变换： 与 的图象关于 轴对称； 与 的图象关于 轴对称；。 3.应用：利用图象可直观判断方程根的个数、不等式解集，以及比较真数或底数的大小。 【变式训练1-1】若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 【变式训练1-2】已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 【答案】A 【分析】由函数所过的点和推知，根据对数函数的图象无限靠近轴，类比分析得到，从而列方程组得解. 【详解】由题知，，即， 又，则，解得， 由对数函数性质，无限接近， 则时，，即， 故，解得，则 【变式训练1-3】已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数对数函数图像数形结合即可得到，，的大小关系. 【详解】在同一平面直角坐标系内作出 的图像 过点；过点； 过点；过点， 则与图像交点横坐标依次增大， 又与图像 交点横坐标分别为，则. 故选：C 题型4 对数函数的单调性 例1-1（2026·北京昌平·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，直接根据反比例函数性质判断；对于B，根据二次函数性质判断；对于C，根据复合函数单调性法则判断；对于D，转化为分段函数，再结合指数函数性质判断. 【详解】对于A，由反比例函数性质知在上单调递增，故错误； 对于B，， 由二次函数性质在上单调递减，在上单调递增，故错误； 对于C，函数在上单调递增，在单调递减， 故由复合函数单调性法则（同增异减）得在上单调递减，故正确； 对于D，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，故错误； 例1-2设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数在上单调递减，且， 所以，所以. 方法技巧 1.直接判断：对于 ，当 时单调递增；当 时单调递减。 2.复合函数 ：遵循“同增异减”原则： 当 时， 与 的单调性相同； 当 时， 与 的单调性相反。 3.含参讨论：若底数 为参数且范围不明确，需分 和 两类讨论。 4.解不等式：利用单调性将对数不等式转化为真数之间的不等关系，转化时务必注意真数大于 的前提条件。 【变式训练1-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合一次、二次函数，以及指数函数与对数函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，所以A不符合题意； 对于B，函数，因为函数和在上都是单调递增函数， 所以函数在上是单调递增函数，所以B符合题意； 对于C，函数， 根据指数函数的性质，可得在上单调递减，所以C不符合题意； 对于D，因为函数在上单调递减，且在上单调递增， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上是单调递减函数， 所以D不符合题意； 【变式训练1-2】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【详解】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 【变式训练1-3】已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数以及对数函数的单调性，可得内层二次函数的单调性，根据二次函数以及对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意，且在上单调递增， 则函数在上单调递减， 可得，即，解得. 故选：B 题型5 对数函数的值域与最值 例1-1函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 例1-2若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 方法技巧 1.换元法：对于 ，令 ，先求 的取值范围（注意 ），再根据 的单调性确定值域。 2.配方法：若真数 为二次函数，先对 配方，求出其在定义域内的取值范围（取正值部分），再利用对数函数的单调性求整体值域。 3.分离常数法：对于分式型对数函数，先对真数部分进行变形（如分离常数），再求值域。 4.注意定义域：求值域前务必先确定函数的定义域，定义域的变化会直接影响真数的取值范围，从而影响值域。 【变式训练1-1】已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数的值域包含，利用导数分析该函数的单调性与极值，可知，即可解出实数的取值范围. 【详解】令，因为函数的值域为，故函数的值域包含， 求导得，又因为且，由可得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 【变式训练1-2】已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数求最值的方法结合对数型复合函数的值域求解. 【详解】的定义域为， 当时， ，，所以 当时， ，,所以. 所以. . 【变式训练1-3】已知且，若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，单调递增，则， 当时，，要使函数的值域为， 则需在时的值域包含，故需满足， 解得. 题型6 对数函数中奇偶性的应用 例1-1“”是“函数为奇函数”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求函数定义域后分析函数为奇函数的条件，最后根据充分、必要条件判断即可 【详解】由，解得,即函数的定义域为，关于原点对称， 令，因为，所以为奇函数. 此时，则， 若为奇函数，则，即， 因为不恒为0，所以对所有成立，展开得，即. 若，则,,则为奇函数. 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 例1-2已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性，结合复合函数单调性的性质、对数函数、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的定义域为全体实数， ， 所以函数是偶函数， 当时，， 因为函数是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数， 因为是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数，且， 所以函数在上单调递增， 所以由 ，或，解得，或， 所以不等式的解集. 方法技巧 1.判断奇偶性：先求定义域，若定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；若对称，再计算 与 的关系： 若 ，则为偶函数； 若 ，则为奇函数。 2.常见奇函数模型： （定义域 ）为奇函数； 为奇函数。 3.应用：利用奇偶性可简化函数值的计算（如 与 的关系）、对称区间上的最值问题，以及解不等式时的等价变形。 【变式训练1-1】若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数性质建立关于方程求解. 【详解】由可得， ， 若为奇函数，则有， 即，整理得， 则，解得， 当时，，令，解得或， 此时定义域为关于原点对称， 符合为奇函数，故符合题意． 【变式训练1-2】若函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，根据奇函数的性质代入特殊值求出的值，再进行检验即可. 【详解】由，可得， 即函数的定义域为， 显然， 又因为函数奇函数， 所以. 当时，，定义域为， 且，满足题意. 所以. 【变式训练1-3】已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求解，再利用奇函数的性质求解，最终计算. 【详解】 函数有意义需满足且，即， 由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内， 代入分子得，解得， 求参数： 将代入得： ， 由于在定义域内，奇函数满足，代入得： ，解得， 此时函数，， 则 ， 即，则是奇函数，满足题意， 故 . 题型7 对数函数值的大小比较 例1-1（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 例1-2（2026·北京海淀·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对数函数单调性，利用中间量“”比较大小即可. 【详解】因为，所以 又，即； 因为， 所以，即， 综上，，即. 方法技巧 1.同底数、异真数：利用对数函数 的单调性直接判断。当 时，真数越大，函数值越大；当 时，真数越大，函数值越小。 2.同真数、异底数：利用换底公式 转化为同底数，或借助图象在第一象限的高低位置进行比较（也可利用倒数关系判断）。 3.底数、真数均不同： 引入中间量：通常选 或 作为桥梁，将要比较的数分别与 、 比较，再确定大小关系。 化为同底或同真：通过换底公式或恒等变形，转化为上述两种情况再比较。 4.利用对数运算性质：将真数进行分解或合并（如将真数写成乘积或商的形式），再借助已知的对数值进行比较。 【变式训练1-1】（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过对数的运算法则将化简，再根据对数函数的单调性，即可判断的大小. 【详解】由题意，， 根据对数函数的图象性质，在上单调递增，在上单调递增， 又，所以， 又，所以， 即，所以. 【变式训练1-2】（2026·北京石景山·一模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对数函数的单调性得出，再利用对数的运算性质得出即可. 【详解】，，则， ， ， 则，则. 【变式训练1-3】（2026·北京丰台·一模）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过比较与的大小关系，结合指数函数，三角函数，对数函数的性质，即可判断. 【详解】，因为在上单调递增，故，故； ，因为，在单调递减，故，故； ，因为在单调递增，故，故； 综上所述：. 题型8 对数型糖水不等式的应用 例1-1设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的形式构造函数，利用导数求解函数的单调性即可得解. 【详解】由于， 故构造函数，则， 令， 故，因此在上单调递增， 故，故在恒成立，故在上单调递增，因此，即. 例1-2设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，得到，根据得到，而，从而比较出大小. 【详解】因为， 所以，， 故，，， 又， 所以，， 故，，， 因为，， 所以，， 故，，， ， 结合正弦函数图象，的正弦值，随着角度的增加， 正弦值可约等于也在成比例的增加， 其中， ， 故， 事实上，查阅正弦表，可知， 故， 综上， 故选：A 【点睛】关键点点睛：得到，，而，利用中间值比较出大小 方法技巧 对数型糖水不等式：当 ， 时，有 （糖水加糖变甜）。将其推广到对数中，常用结论为： 或等价形式： 1.适用范围：常用于比较形如 与 或 与 等对数式的大小。 2.变形技巧：将真数化为“底数加某数”的形式，再利用糖水不等式的结论直接判断。 3.与其他方法结合：若无法直接套用结论，可先取倒数、换底或构造函数（如 ），利用函数的单调性进行证明或比较。 【变式训练1-1】已知则（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，利用对数公式整理成，构造函数，利用导数法得到在上是单调递减函数，由，得到，即，从而得到. 【详解】， ， ， 设，则， 设，， ，，在上是单调递增函数， ，，， ， ， ，在上是单调递减函数， ， ， ， . 故选：A. 【变式训练1-2】已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用基本不等式证明，从而得，使用证明，再证明可得. 【详解】由题知、均在和之间， ，于是， 当时，令，则， 所以在上为减函数， 故，故， 所以， ，于是. 所以. 故选：C 【变式训练1-3】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解. 【详解】由对数函数的性质知， ， ， 所以，，； 当时，， 所以 ， 取，则， 所以 ，即， 综上，. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【详解】函数，所以. 故答案为：1 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【详解】 解得，即且. 故选：D 2．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：因为，所以； （2）解：因为，所以，所以，因为且，所以； （3）解：因为，所以，所以； （4）解：因为，所以，即，所以，所以 3．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：因为，所以； （2）解：因为，所以； （3）解：因为，所以； （4）解：因为，所以； （5）解：因为，所以； （6）解：因为，所以； 4．已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】利用对数的运算法则及对数的性质计算可得. 【详解】， 解：（1）. （2） （3）. （4）. 【点睛】本题考查对数的运算法则及对数的性质的应用，属于基础题. 5．求下列各式中x的值： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以， 又因为且，所以. （3）因为，所以. （4）. （5） . 【点睛】本题主要考查对数的运算，同时考查了指数、对数互化公式，属于简单题. 6．求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）首先解方程求出的值，再根据对数恒等式计算可得； （2）根据对数恒等式计算可得. 【详解】解：（1） ， ； （2），. 【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题. 7．用表示. 【答案】 【解析】根据对数的运算性质,化简即可得解. 【详解】由对数的运算性质,化简可得 【点睛】本题考查了对数的运算性质及简单应用,属于基础题. 8．求下列函数的定义域. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）由对数的真数大于0，列出式子计算即可； （2）由对数的真数大于0，及偶次方根被开方数非负，列出式子计算即可； （3）由对数的真数大于0，及偶次方根被开方数非负，列出式子计算即可； （4）由对数的底数大0且不为1，及真数大于0，列出式子计算即可. 【详解】（1）由题意，，即定义域为. （2）由题意，，即， 所以，解得. 所以该函数的定义域为. （3）由题意，，即， 所以，解得. 所以该函数的定义域为. （4）由题意，，解得或， 所以该函数的定义域为. 【点睛】本题考查函数的定义域，注意偶次方根被开方数非负、对数的真数大于零、对数的底数大于零且不为1，属于基础题. 9．比较下列各题中三个值的大小: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【解析】(1)利用换底公式分析即可. (2)分别两两作差,根据基本不等式分析作差后的正负再判定即可. 【详解】解:(1) 因为, 且,故 (2) , 同理可证. 【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性以及作差比较大小的问题,属于中档题. 10．函数，，的图象如图所示， (1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； (2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象； (3)从（2）的图中你发现了什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴，所以①对应函数，②对应函数，③对应函数. （2） （3）从（2）的图中发现的图象分别与的图象关于轴对称. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的互化及对数的运算性质求解即可. 【详解】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，， 所以． 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 由且，得， 由，得， 所以． 4．已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以，又且，所以， 而 的定义域为，处无定义， 当时，，因为，所以对数函数在上单调递增； 当时，， 根据复合函数性质得，内层在单调递减， 外层单调递增，因此在上单调递减. 则的递增区间是． 5．下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一验证各选项是否同时满足在区间上单调递减且为奇函数两个条件即可求解． 【详解】对A选项，的定义域为，， 既不满足也不满足，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对B选项，的定义域为， 满足，是奇函数， 根据幂函数性质，在上单调递增，在上单调递增，不符合单调递减的要求，故B错误； 对C选项，的定义域为，关于原点对称， 满足，是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，两个条件均满足，故C正确； 对D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性质，在上单调递增，不符合要求，故D错误． 6．已知，若，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由对数的运算先求解p对应的a的取值范围，由此判断充分性与必要性即可. 【详解】，因为，则，解得， 所以可以由推出，但不能推出，故是的充分不必要条件. 7．若实数满足，则与的值最接近的是（   ）（参考数据： A．0.26 B．0.41 C．0.51 D．1.10 【答案】C 【详解】由，两边取对数得，则. 8．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：集合， 且集合， 所以. 9．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，无意义，所以推不出， 当时，，所以， 即能推出， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 10．已知函数，则（     ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【详解】函数，则， 所以. 重难·创新演练 11．已知函数 ，实数满足.若对任意的，总有不等式成立， 则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，对任意的，总有不等式成立，即成立，作出函数与直线的图像，求出交点坐标即可求解. 【详解】因为对任意的，总有不等式成立，即成立，即的图像在直线的下方（包括交点）， 作出图像，如图所示， 当时，， 令，解得；令，解得. 当时，，令，解得. 所以的图像与直线的交点为和， 所以，又， 所以，即的最大值为. 故选：C. 12．若，，，则、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法、换底公式、基本不等式可得出、、的大小关系. 【详解】因为 ，即， ，即，因此，. 故选：A. 13．已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数单调性可求得，再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数的大小，即可得出结论. 【详解】易知，所以可得， 即； 再由基本不等式可得，即； 显然，即； 因此可得，即最小的是. 故选：C 14．下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性定义，结合指对幂函数的性质、正弦函数性质及基本不等式判断是否符合题设. 【详解】A：，且定义域为R，满足； B：，且定义域为， 在上，故在上，不符合； C：且定义域为R，不符合； D：且定义域为， 当时，，当且仅当时取等号，不符合. 故选：A 15．已知，则符合条件的k的个数为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质求出的范围即可得解. 【详解】由，得，则， 解得，而，则符合条件的k的个数为53. 故选：C 16．已知函数，，若，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式、导数的性质进行逐一判断即可. 【详解】由题可得，即， 在同一坐标系中分别绘出函数，，的图象，    由，可知，由，可得， 联立，解得， 因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称， 则，，且，， 对于A，，故A错误； 对于B，由，， 则，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 17．已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】理解这个条件，它表明函数是增函数.对于分段函数是增函数，需要每一段函数都递增，并且在分段点处也要满足递增的条件.然后分别分析每一段函数的单调性以及分段点处的函数值关系，从而确定的取值范围. 【详解】对于对数函数，当时，函数在上单调递增. 因为这里，要使在上递增，所以. 对于一次函数，其斜率为，当时，函数在上单调递增. 所以要使在上递增，. 在这个分段点处，需要满足在处的值不大于在处的值. 当时，；. 所以，即. 综合前面的条件，需要同时满足，，. 取交集可得，的取值范围是. 故答案为：. 18．已知函数的值域是，若，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】先判断出在上单调递增，在上单调递减，然后作出与在上的图象，求出在上的值域，再结合图象可求得结果. 【详解】当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为， 作出与在上的图象如图所示： 当，时，，此时， 此时， 因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知, 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $