2.4 函数性质的综合应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数性质综合应用，整合奇偶性、单调性、对称性、周期性四大核心考点，按性质交汇逻辑分设四个重难考点，通过考点梳理（如综合应用技巧总结）、方法指导（解题步骤拆解）、真题训练（典型例题与分层练习），帮助学生构建知识网络，突破交汇命题难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以数学抽象和逻辑推理为核心，采用“考点-技巧-例题-练习”递进教学，如在奇偶性与周期性综合中，通过推导周期公式培养逻辑推理，设置基础到拓广的分层练习。助力学生高效掌握性质转化方法，提升解题速度与准确性，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

2．4　函数性质的综合应用 课标要求 考情分析 　　会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题． ◎考点考法：函数的奇偶性、单调性、周期性及对称性多交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择题为主，为中等偏上难度． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理． 考点一　函数的单调性与奇偶性的综合应用　重难考点　师生共研 已知函数f(x)＝，则不等式f(2x－3)＜2的解集是(　　) A．(1，2) B． C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．∪ 综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 (1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． (2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2(或x1＞x2)求解． 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 考点二　函数的奇偶性与周期性的综合应用　重难考点　师生共研 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)＝2，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2023)＋f(2024)＝(　　) A．4 B．0 C．－2 D．－4 (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)单调递增，则(　　) A．f(6)＜f(－7)＜f B．f(6)＜f＜f(－7) C．f(－7)＜f＜f(6) D．f＜f(－7)＜f(6) 综合应用奇偶性与周期性解题的技巧 (1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期． (2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化． (3)代入已知的解析式求解即得要求的函数值． (多选)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x＋3)是偶函数 D．f(x)＝f(x＋4) 考点三　函数的对称性与周期性的综合应用　重难考点　师生共研 (多选)设函数f(x)的定义域为R，f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝ax＋b.若f(0)＋f(3)＝－1，则(　　) A．b＝－2 B．f(2024)＝0 C．f(x)为偶函数 D．f(x)的图象关于点对称 综合应用对称性与周期性解题的技巧 函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆． 已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x都有f(x＋4)＝－f(x)，若函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(－1)＝2，则f(2025)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考点四　函数的对称性、周期性与单调性的综合应用　重难考点　师生共研 (1)(多选)已知f(x)的定义域为R，函数f(x)的图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)在[－6，－3]上单调递减 C．f(x)的图象关于直线x＝3对称 D．f(100)＝9 (2) 已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f是奇函数，且f(x)＋g＝－4，y＝g(x)的图象关于x＝1对称，f(4)＝2，则f＋g＝(　　) A．4 B．8 C．－4 D．－6 解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式． 已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2025)等于(　　) A．－1 B．1 C．0 D．3 A级　基础过关 1．如果奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在[－7，－3]上(　　) A．单调递增且最小值为－5 B．单调递减且最小值为－5 C．单调递增且最大值为－5 D．单调递减且最大值为－5 2．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称且f(1)＝1，则f(2025)＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．3 3．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m 4．已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1)f(x)，若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 5．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f(2－x)＝f(x)成立，且f(1)＝1，则(　　) A．(1，0)是函数f(x)的一个对称中心 B．函数f(x)的一个周期是4 C．f(3)＝－1 D．f(2)＝0 6．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋1，且f(1)＝0，当x＞1时，f(x)＜0，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝1 B．f(－1)＝2 C．y＝f(x)－1为奇函数 D．f(x)为增函数 7．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围为________． 8．已知f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，则满足不等式f(2a)＜f(4a－1)的a的取值范围是________． B级　能力提升 9．已知对于每一对正实数x，y，函数f(x)满足：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－xy－1，若f(1)＝1，则满足f(n)＝n(n∈N)的n为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知函数f(x)的定义域为R，g(x)＝f(2－x)－f(2＋x)，h(x)＝f(2－x)＋f(x)，则下述结论正确的是(　　) A．g(x)的图象关于点(1，0)对称 B．g(x)的图象关于y轴对称 C．h(x)的图象关于直线x＝1对称 D．h(x)的图象关于点(1，0)对称 11．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．f(x)的周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 12．(多选)函数y＝f(x)的图象关于点M(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是(　　) A．f(x)＝x＋－1图象的对称中心是(2，1) B．f(x)＝x＋－1图象的对称中心是(2，－1) C．类比可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是y＝f(x＋a)为偶函数 D．类比可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是y＝f(x－a)为偶函数 13．已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(0)＝2，g(x)＝f(x－1)是奇函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝________． 14．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)＞f(－1)的解集为________． C级　拓广探索 15．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　) A．f(f(1))＜f(f(2)) B．f(g(1))＜f(g(2)) C．g(f(1))＜g(f(2)) D．g(g(1))＜g(g(2)) 16．对于定义域为D的函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足①f(x)在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”． (1)求证：[0，2]是函数f(x)＝x2的一个“优美区间”； (2)求证：函数g(x)＝4＋不存在“优美区间”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．4　函数性质的综合应用 课标要求 考情分析 　　会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题． ◎考点考法：函数的奇偶性、单调性、周期性及对称性多交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择题为主，为中等偏上难度． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理． 考点一　函数的单调性与奇偶性的综合应用　重难考点　师生共研 已知函数f(x)＝，则不等式f(2x－3)＜2的解集是(　　) A．(1，2) B． C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．∪ [解析]　显然f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝＝＝4－单调递增．又f(1)＝2，所以f(2x－3)＜2可化为f(2x－3)＜f(1)，可得|2x－3|＜1，解得1＜x＜2.故选A． [答案]　A 综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 (1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． (2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2(或x1＞x2)求解． 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 解析　由题意，知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，因为奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)＞g(－log25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.故选C. 答案　C 考点二　函数的奇偶性与周期性的综合应用　重难考点　师生共研 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)＝2，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2023)＋f(2024)＝(　　) A．4 B．0 C．－2 D．－4 (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)单调递增，则(　　) A．f(6)＜f(－7)＜f B．f(6)＜f＜f(－7) C．f(－7)＜f＜f(6) D．f＜f(－7)＜f(6) [解析]　(1)因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(2＋x)＝f(1－(1＋x))＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2023)＋f(2024)＝f(3)＋f(0)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故选C. (2)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数，∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，f＝f＝－f＝f，f(－7)＝f(1)，又当x∈[0，1]时，f(x)单调递增，∴f(0)＜f＜f(1)，即f(6)＜f＜f(－7). [答案]　(1)C　(2)B 综合应用奇偶性与周期性解题的技巧 (1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期． (2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化． (3)代入已知的解析式求解即得要求的函数值． (多选)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x＋3)是偶函数 D．f(x)＝f(x＋4) 解析　∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2).∵f(x－1)是偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2).∴f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．∵f(－x－1)＝f(x－1)，∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数． 答案　CD 考点三　函数的对称性与周期性的综合应用　重难考点　师生共研 (多选)设函数f(x)的定义域为R，f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝ax＋b.若f(0)＋f(3)＝－1，则(　　) A．b＝－2 B．f(2024)＝0 C．f(x)为偶函数 D．f(x)的图象关于点对称 [解析]　由f(2x＋1)为奇函数，得f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，则f(－x＋1)＝－f(x＋1)，∴f(x)的图象关于点(1，0)对称，D错误；由f(x＋2)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(x)的周期为4×(2－1)＝4，于是f(－x)＝f(x＋4)＝f(x)，C正确；在f(－x＋1)＝－f(x＋1)中，令x＝0，得f(1)＝0，由x∈[0，1]时，f(x)＝ax＋b，可得f(0)＝1＋b，f(3)＝f(1)＝a＋b＝0，又f(0)＋f(3)＝－1，∴f(0)＝1＋b＝－1，解得b＝－2，A正确；f(2024)＝f(4×506)＝f(0)＝－1，B错误．综上，故选AC. [答案]　AC 综合应用对称性与周期性解题的技巧 函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆． 已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x都有f(x＋4)＝－f(x)，若函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(－1)＝2，则f(2025)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，可知函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．又由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，则f(2025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)＝2. 答案　B 考点四　函数的对称性、周期性与单调性的综合应用　重难考点　师生共研 (1)(多选)已知f(x)的定义域为R，函数f(x)的图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)在[－6，－3]上单调递减 C．f(x)的图象关于直线x＝3对称 D．f(100)＝9 (2)(2025·福建漳州质量检测)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f是奇函数，且f(x)＋g＝－4，y＝g(x)的图象关于x＝1对称，f(4)＝2，则f＋g＝(　　) A．4 B．8 C．－4 D．－6 [解析]　(1)因为f(x)的图象关于直线x＝－3对称，所以f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，所以f(x)的周期T＝6，所以f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故选项A正确；当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，因为T＝6，所以f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故选项B不正确；因为f(x)的图象关于直线x＝－3对称且T＝6，所以f(x)的图象关于直线x＝3对称，故选项C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故选项D正确．故选ACD. (2)因为y＝g(x)的图象关于x＝1对称，所以g(3－x)＝g(x－1).因为f(x)＋g(3－x)＝－4①，所以f(4－x)＋g(3－(4－x))＝－4，即f(4－x)＋g(x－1)＝－4②，①－②得，f(x)＝f(4－x)，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称．令h(x)＝f(2x＋1)，则h(x)是奇函数，所以h＋h＝f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，即f(x＋1)＝－f(－x＋1)，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，所以f(4－x)＝－f(x－2)，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)＋g(x－1)＝－4，所以g(x)＝－4－f(x＋1).因为f(x)是以4为周期的周期函数，所以g(x)也是以4为周期的周期函数，取x＝0，f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0.因为f(4)＝2，所以f(0)＝2，所以f(2)＝－f(0)＝－2，f(3)＝－f(1)＝0.取x＝3，所以f(3)＋g(0)＝－4，所以g(0)＝－4，所以f＋g＝f(2)＋g(0)＝－2－4＝－6，故选D. [答案]　(1)ACD　(2)D 解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式． 已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2025)等于(　　) A．－1 B．1 C．0 D．3 解析　∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(－x)＝f(x＋2)， ∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(2025)＝f(1)＝f(5)＝1. 答案　B A级　基础过关 1．如果奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在[－7，－3]上(　　) A．单调递增且最小值为－5 B．单调递减且最小值为－5 C．单调递增且最大值为－5 D．单调递减且最大值为－5 解析　奇函数的图象关于原点对称，因为奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，所以f(x)在[－7，－3]上单调递增且最大值为－5，故选C. 答案　C 2．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称且f(1)＝1，则f(2025)＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．3 解析　∵f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－x)＝f(x＋2)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2025)＝f(1)＝1. 答案　B 3．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m 解析　∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，∴函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0，1)对称，∴xi＝0，yi＝×2＝m，∴ (xi＋yi)＝0＋m＝m. 答案　B 4．已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1)f(x)，若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析　因为g(x＋1)是偶函数，所以g(x)的图象关于直线x＝1对称，又g(x＋1)＝xf(x＋1)，所以f(x＋1)是奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，又f(x)为偶函数，所以f(x)的周期T＝4，所以f(－0.5)＝f(0.5)＝－f(1.5)＝－f(5.5)＝－2，所以g(－0.5)＝－1.5×f(－0.5)＝3. 答案　D 5．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f(2－x)＝f(x)成立，且f(1)＝1，则(　　) A．(1，0)是函数f(x)的一个对称中心 B．函数f(x)的一个周期是4 C．f(3)＝－1 D．f(2)＝0 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(x)关于(0，0)对称，因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，f(x＋4)＝f(x)，且f(1)＝1，所以函数f(x)的周期为4，f(3)＝f(－1)＝－1，f(2)＝f(0)＝0.故选BCD. 答案　BCD 6．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋1，且f(1)＝0，当x＞1时，f(x)＜0，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝1 B．f(－1)＝2 C．y＝f(x)－1为奇函数 D．f(x)为增函数 解析　对于选项A，令x＝y＝0，得f(0)＝1，故选项A正确；对于选项B，令x＝－1，y＝1，得f(－1)＝2，故选项B正确；对于选项C，令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝2，故f(x)－1＋f(－x)－1＝0，所以y＝f(x)－1为奇函数，故选项C正确；对于选项D，因为 f(0)＞f(1)，所以f(x)不是增函数，故选项D错误．故选ABC. 答案　ABC 7．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围为________． 解析　∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，∴f(5)＝2a－3＜1，即a＜2. 答案　(－∞，2) 8．已知f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，则满足不等式f(2a)＜f(4a－1)的a的取值范围是________． 解析　因为f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，所以f(x)在[0，1]上单调递增，所以－1≤2a≤1，－1≤4a－1≤1，|2a|＜|4a－1|，所以0≤a＜. 答案　 B级　能力提升 9．(2025·郑州模拟)已知对于每一对正实数x，y，函数f(x)满足：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－xy－1，若f(1)＝1，则满足f(n)＝n(n∈N)的n为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)＋x＋2，即f(x＋1)－f(x)＝x＋2，所以f(x)－f(x－1)＝x＋1，f(x－1)－f(x－2)＝x，…，f(2)－f(1)＝3，累加得f(x)－f(1)＝，则f(x)＝－1，所以f(n)＝－1，又f(n)＝n，解得n＝－2或n＝1，又n∈N，所以n＝1.故选A． 答案　A 10．已知函数f(x)的定义域为R，g(x)＝f(2－x)－f(2＋x)，h(x)＝f(2－x)＋f(x)，则下述结论正确的是(　　) A．g(x)的图象关于点(1，0)对称 B．g(x)的图象关于y轴对称 C．h(x)的图象关于直线x＝1对称 D．h(x)的图象关于点(1，0)对称 解析　因为函数f(x)的定义域为R，且g(x)＝f(2－x)－f(2＋x)，所以g(2－x)＝f(2－(2－x))－f(2＋(2－x))＝f(x)－f(4－x)，则g(x)＋g(2－x)不一定为0，所以函数g(x)的图象不一定关于点(1，0)对称，选项A错误；g(－x)＝f(2＋x)－f(2－x)，即g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，则函数g(x)的图象不一定关于y轴对称，选项B错误；因为h(x)＝f(2－x)＋f(x)，所以h(2－x)＝f(2－(2－x))＋f(2－x)＝f(x)＋f(2－x)，所以h(2－x)＝h(x)，所以函数h(x)的图象关于直线x＝1对称，所以选项C正确，选项D错误．故选C. 答案　C 11．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．f(x)的周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； ∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确． 答案　ACD 12．(多选)函数y＝f(x)的图象关于点M(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是(　　) A．f(x)＝x＋－1图象的对称中心是(2，1) B．f(x)＝x＋－1图象的对称中心是(2，－1) C．类比可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是y＝f(x＋a)为偶函数 D．类比可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是y＝f(x－a)为偶函数 解析　y＝x＋是奇函数，其图象的对称中心为(0，0)，将y＝x＋的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得f(x)＝x－2＋＋1＝x＋－1的图象，所以f(x)＝x＋－1图象的对称中心是(2，1)，故A正确，B不正确；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形，则将其图象向左平移a个单位长度可得y＝f(x＋a)的图象，y＝f(x＋a)的图象关于直线x＝0，即y轴对称，所以y＝f(x＋a)为偶函数，反之也成立，故C正确，D不正确．故选AC. 答案　AC 13．已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(0)＝2，g(x)＝f(x－1)是奇函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝________． 解析　∵f(x)是R上的偶函数，且g(x)＝f(x－1)为奇函数，∴f(x)的图象关于点(－1，0)对称，f(x－1)＝－f(－x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4.∵f(0)＝2，∴f(1)＝f(－1)＝0，f(2)＝－f(0)＝－2，f(3)＝－f(1)＝0，f(4)＝－f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2025)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×506＋f(1)＝0. 答案　0 14．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)＞f(－1)的解集为________． 解析　∵f(x＋2)是偶函数， ∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)＞f(－1)， ∴－x2＞－1，即x2＜1，∴－1＜x＜1， ∴原不等式的解集为(－1，1). 答案　(－1，1) C级　拓广探索 15．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　) A．f(f(1))＜f(f(2)) B．f(g(1))＜f(g(2)) C．g(f(1))＜g(f(2)) D．g(g(1))＜g(g(2)) 解析　因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，即g(x)在R上为减函数，所以f(1)＜f(2)，g(2)＜g(1)＜g(0)＝0，所以f(g(1))＜f(g(2))，g(f(1))＞g(f(2))，g(g(1))＜g(g(2))，故B、D正确，C不正确；若f(1)＜f(2)＜0，则f(f(1))＞f(f(2))，故A不正确．综上所述，故选BD. 答案　BD 16．对于定义域为D的函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足①f(x)在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”． (1)求证：[0，2]是函数f(x)＝x2的一个“优美区间”； (2)求证：函数g(x)＝4＋不存在“优美区间”． 证明　(1)f(x)＝x2在区间[0，2]上单调递增， 又f(0)＝0，f(2)＝2， ∴f(x)＝x2的值域为[0，2]， ∴区间[0，2]是f(x)＝x2的一个“优美区间”． (2)设[m，n]是已知函数g(x)的定义域的子集． 由x≠0，可得[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)， ∴函数g(x)＝4＋在[m，n]上单调递减． 假设[m，n]是已知函数的“优美区间”， 则两式相减得，－＝n－m. 则＝n－m，∵n＞m，∴mn＝6，∴n＝， 则4＋＝，显然等式不成立， ∴函数g(x)＝4＋不存在“优美区间”． 学科网（北京）股份有限公司 $