4.7 三角函数图象与性质的综合应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图象与性质的综合应用，整合单调性、对称性、最值等核心考点及三角函数模型应用，按知识逻辑构建体系，通过考点梳理、方法指导（换元法、数形结合）、真题讲解（2025天津高考题等）、分层练习（基础到综合应用题）环节，帮助学生系统突破难点。 讲义以数学思维与模型观念为特色，如通过水轮高度函数、弹簧振子运动等实例，引导学生用数学语言表达现实问题，配合分层练习和真题训练，高效提升复习效果，助力学生强化应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第7节　三角函数图象与性质的综合应用 三角函数图象与性质的综合应用 （2025·天津高考8题）f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－π＜φ＜π）在［－，］上单调递增，且x＝为f（x）图象的一条对称轴，（，0）是f（x）图象的一个对称中心，当x∈［0，］时，f（x）的最小值为（　　） A.－ B.－ C.－1 D.0 解析：A　因为f（x）在上单调递增且x＝为f（x）图象的一条对称轴，所以×≥－（ －），f（ ）＝sin（ ω＋φ）＝1，得0＜ω≤2，且ω＋φ＝＋2k1π（k1∈Z）①.因为（ ，0）是f（x）图象的一个对称中心，所以f（ ）＝sin（ ω＋φ）＝0，得ω＋φ＝k2π（ k2∈Z）②，由①②得ω＝－2＋4（ k2－2k1）（ k1，k2∈Z），结合0＜ω≤2，得ω＝2，则φ＝＋2k1π（ k1∈Z），又－π＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（ 2x＋）.当x∈时，2x＋∈，所以f（x）的最小值为f（ ）＝sin＝－，故选A. 规律方法 1.研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性及最值等. 2.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题）常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象分析. 练1 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在（，π）上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　（－2，－1）　. 解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin（2x＋），x∈（，π）.设2x＋＝t，则t∈（，），所以题目条件可转化为＝sin t，t∈（，）有两个不同的实数根.即直线y＝和函数y＝sin t，t∈（，）的图象有两个不同的交点，作出y＝，y＝sin t的图象，如图中实线部分所示. 由图象观察知，的取值范围是（－1，－），故m的取值范围是（－2，－1）. 三角函数模型的应用 〔多选〕如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（　　） A.点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4cos（ t＋）＋2 B.点P第一次到达最高点需要20秒 C.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 D.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 解析：BCD　设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为h＝Asin（ωt＋φ）＋B（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜），由题意得解得故h＝4sin（ t－）＋2＝－4cos（ t＋）＋2，故A错误；对于B，令h＝6，即h＝4sin（ t－）＋2＝6，解得t＝20，故B正确；对于C，令t＝155，代入h＝4sin（ t－）＋2，解得h＝2，故C正确；对于D，令t＝50，代入h＝4sin（ t－）＋2，解得h＝－2，故D正确. 规律方法 三角函数模型的应用 （1）已知函数模型求解数学问题； （2）把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 练2 （1）某弹簧振子做简谐振动，其位移函数为y＝sin（ ωt＋）（ω＞0），其中t表示振动的时间，y表示振动的位移，当t∈[0，2]时，该振子刚好经过平衡位置（平衡位置即位移为0的位置）5次，则在该过程中该振子离平衡位置的距离最远的次数为（　D　） A.3 B.2 C.5 D.5或6 （2）某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况. 月份x 1 2 3 4 收购价格y/（元/斤） 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格（单位：元/斤）与相应月份之间的函数关系为　y＝sin（ x－）＋6（答案不唯一）　. 解析：（1）根据题意，画出草图，由图可知2∈[t1，t2），当t∈[0，2]时，该振子离平衡位置的距离最远的次数为5或6，故选D. （2）设y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0），由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin（ x＋φ）＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin（ ＋φ）＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin（ x－）＋6. （时间：50分钟，满分：60分） 1.（15分）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0≤φ＜π），f（0）＝. （1）求φ； （2）设函数g（x）＝f（x）＋f（x－），求g（x）的值域和单调区间. 解：（1）因为f（0）＝cos φ＝，且0≤φ＜π，所以φ＝. （2）g（x）＝f（x）＋f（x－）＝cos（2x＋）＋cos 2x＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝（cos 2x－sin 2x）＝cos（2x＋）， 故函数g（x）的值域为[－，]. 令2kπ－π≤2x＋≤2kπ（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ－（k∈Z）， 所以g（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ－］（k∈Z）. 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， 所以g（x）的单调递减区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. 2.（15分）（2026·四川绵阳模拟）已知函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的最小正周期为，且f（）＝1. （1）求函数f（x）的解析式； （2）函数y＝g（x）的图象是由函数y＝f（x）的图象向左平移λ（λ＞0）个单位长度得到的，若g（）＝－f（0），求λ的最小值. 解：（1）因为T＝＝，且ω＞0，解得ω＝. 因为f（）＝tan（＋φ）＝1，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z， 解得φ＝＋kπ，k∈Z，且｜φ｜＜，可得k＝0，φ＝，所以f（x）＝tan（x＋）. （2）由题意可知g（x）＝tan（x＋λ＋）， 因为－f（0）＝－tan＝tan（－），由g（）＝－f（0）， 即tan（λ＋）＝tan（－），可知λ＋＝－＋kπ，k∈Z，解得λ＝－＋，k∈Z，且λ＞0，所以λ的最小值为. 3.（15分）（2026·安徽合肥模拟预测）某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知∠OCB＝∠COA＝，OC＝10米，BC＝10米，区域OBC为三角形，区域OAB是以OA为半径的扇形，且∠AOD＝. （1）若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； （2）在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为促销展示区，求促销展示区的面积S的最大值. 解：（1）因为OC＝10，BC＝10，∠OCB＝， 所以∠BOC＝，OB＝＝20， 则OA＝20，∠BOA＝－＝，的长为l＝×20＝， 所以广告带的总长度为OA＋OC＋BC＋l＝米. （2）如图，连接OF.设∠FOA＝θ. 因为OF＝20，所以FI＝GH＝20sin θ，OI＝20cos θ， 因为∠AOD＝，所以OG＝＝20sin θ，所以GI＝20cos θ－20sin θ， 所以S＝（20cos θ－20sin θ）·20sin θ ＝400sin θcos θ－400sin2θ ＝200 ＝200， 因为2θ＋∈，当2θ＋＝，即θ＝时取得最大值. 所以S≤200（2－）＝400－200， 所以促销展示区的面积S的最大值为（400－200）平方米. 4.（15分）（2026·山东济宁质检）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面的高度为100 m，转盘直径为90 m，均匀设置了标号为1～48号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要24 min. （1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求t为何值时高度差h最大. （参考公式：sin θ－sin φ＝2cossin，cos θ－cos φ＝2sinsin） 解：（1）设H＝Asin（ωt＋φ）＋B（ω＞0，｜φ｜≤），则ω＝＝. 由题知解得 令t＝0，则45sin φ＋55＝10，可得sin φ＝－1，φ＝－. 所以H＝45sin（t－）＋55＝55－45cos t，t∈[0，24]. （2）由题意得，1号与9号座舱的角度差为.不妨假设1号座舱出发早于9号座舱， t min时1号与9号的高度分别为H1，H9，则H1＝45sin（ t－）＋55，H9＝45sin（ t－－）＋55＝45sin（t－）＋55， 所以高度差h＝｜H1－H9｜＝45｜sin（ t－）－sin（ t－）｜. 由参考公式得，上式＝90｜cos（ t－）sin ｜＝45｜cos（ t－）｜，从而高度差h＝45｜cos（ t－）｜，t∈[0，24]. 当｜cos（ t－）｜＝1，即t－＝kπ，k∈N时，解得t＝8＋12k，k∈N. 又t∈[0，24]，所以t＝8 min或t＝20 min时，高度差h取得最大值45 m 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7节　三角函数图象与性质的综合应用 　　 三角函数图象与性质的综合应用 （2025·天津高考8题）f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－π＜φ＜π）在［－，］上单调递增，且x＝为f（x）图象的一条对称轴，（，0）是f（x）图象的一个对称中心，当x∈［0，］时，f（x）的最小值为（　　） A.－ B.－ C.－1 D.0 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性及最值等. 2.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题）常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象分析. 练1 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在（，π）上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　　　　. 三角函数模型的应用 〔多选〕如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（　　） A.点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4cos（ t＋）＋2 B.点P第一次到达最高点需要20秒 C.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 D.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三角函数模型的应用 （1）已知函数模型求解数学问题； （2）把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 练2 （1）某弹簧振子做简谐振动，其位移函数为y＝sin（ ωt＋）（ω＞0），其中t表示振动的时间，y表示振动的位移，当t∈[0，2]时，该振子刚好经过平衡位置（平衡位置即位移为0的位置）5次，则在该过程中该振子离平衡位置的距离最远的次数为（　　） A.3 B.2 C.5 D.5或6 （2）某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况. 月份x 1 2 3 4 收购价格y/（元/斤） 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格（单位：元/斤）与相应月份之间的函数关系为　　　　. 第7节　三角函数图象与性质的综合应用 （时间：50分钟，满分：60分） 1.（15分）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0≤φ＜π），f（0）＝. （1）求φ； （2）设函数g（x）＝f（x）＋f（x－），求g（x）的值域和单调区间. 2.（15分）（2026·四川绵阳模拟）已知函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的最小正周期为，且f（）＝1. （1）求函数f（x）的解析式； （2）函数y＝g（x）的图象是由函数y＝f（x）的图象向左平移λ（λ＞0）个单位长度得到的，若g（）＝－f（0），求λ的最小值. 3.（15分）（2026·安徽合肥模拟预测）某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知∠OCB＝∠COA＝，OC＝10米，BC＝10米，区域OBC为三角形，区域OAB是以OA为半径的扇形，且∠AOD＝. （1）若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； （2）在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为促销展示区，求促销展示区的面积S的最大值. 4.（15分）（2026·山东济宁质检）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面的高度为100 m，转盘直径为90 m，均匀设置了标号为1～48号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要24 min. （1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求t为何值时高度差h最大. （参考公式：sin θ－sin φ＝2cossin，cos θ－cos φ＝2sinsin 学科网（北京）股份有限公司 $