第二章 课时1 函数的概念及表示讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念及表示这一高考基础核心考点，依据课标要求梳理函数三要素、表示方法及分段函数等知识，构建“概念理解-要素分析-表示应用”的逻辑体系。通过知识梳理夯实基础，考点扫描结合典例精讲与对点训练，帮助学生突破定义域求解、解析式确定等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义注重数学思维与数学语言的培养，创新采用“考点分类+方法归纳”策略，如求定义域时通过分式、根式等类型题归纳限制条件，求解析式时用换元法、待定系数法等强化逻辑推理。设置基础判断、选择及解答题分层训练，配合即时反馈的参考答案，确保学生高效掌握函数核心技能，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

课时1 函数的概念及表示 一、课标要求 1．理解函数的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．理解分段函数的定义及表示，并能简单应用(函数分段不超过三段)． 二、知识梳理 1．函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的________，与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{y|y=f(x),x∈A}叫作函数的________． 2．函数的表示方法 (1) 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫作________． (2) 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫作________． (3) 列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫作________． 3．函数的三要素 (1) 函数的三要素：________、对应关系、值域．一般考虑其中的________和________两要素即可． (2) 两个函数相等：若两个函数的 ________相同，则称这两个函数是同一个函数． 4．分段函数 若函数在定义域的不同子集上的________不同，则这种形式的函数叫作分段函数，它是一类重要的函数． 【拓展知识】 1．求函数定义域的类型 (1) 分式型；(2) 根式型；(3) 0次幂型；(4) 指数函数型（底数的范围）；(5) 对数函数型（底数与真数的范围）． 2．关于复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫作复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫作y＝f(g(x))的内层函数． 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）和是同一个函数． （ ） （2）的定义域和值域相同． （ ） （3）函数的图象是一条线段. （ ） （4）函数的定义域为R. (　　) 2．下列图象中，不是函数图象的为(　　) A B C D 3．(多选题)下列各组函数中，表示同一个函数的有(　　) A．y＝与y＝ B．y＝x2与y＝(x－1)2 C．y＝与y＝x D．y＝x与 4．已知函数则f(f(－2))=　　　　　　.  四、考点扫描 考点一 函数的概念 例1 （多选题）下列各项不能表示同一个函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 对点训练 存在定义域为R的函数，满足对任意，使得下列等式成立的为（    ） A． B． C． D． 规律方法： 考点二 求函数的定义域 例2 （1） （2026·北京通州区二模）函数的定义域为 ． （2）已知函数y＝f(x)的定义域为(0，1)，则函数F(x)＝f(|2x－1|)的定义域为(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0，1) C．(0，＋∞) D．[0，1) 对点训练 （1）（2026·安徽合肥一中期末）函数f(x)=+ln(x－1)的定义域为(　　) A.(1，+∞) B.(1，2)∪(2，+∞) C.(－∞，1) D.(0，2)∪(2，+∞) （2）已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数f(2x－1)的定义域为________． 考点三 求函数的解析式 例3 分别求满足下列条件的函数f(x)的解析式： （1）； （2）二次函数最大值是8，且满足； （3）. 规律方法： 对点训练 （1）已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； （2）已知f(x)是一次函数，且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； （3）若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式． 考点四 分段函数 例4 （1）（2026·湖南长郡中学期中）已知函数则（    ） A． B． C． D． （2）已知函数若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________________． 规律方法： 对点训练 （1）(2026·江西南昌二中期末）设函数，若，则（    ） A．14 B．16 C．2 D．6 （2）（2026·八省联考）已知函数．若当时，，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 课时1 函数的概念及表示参考答案 二、知识梳理 1. 唯一 定义域 值域 2. 解析法 图象法 列表法 3.（1）定义域 定义域 对应关系 （2）三要素 4. 对应关系 三、基础回顾 1．（1）× 【解析】的定义域为R，的定义域是，所以不是同一个函数，所以错误. （2）√ 【解析】的定义域和值域都是，所以正确. （3）× 【解析】图象应该是3个点，所以错误. （4） √ 【解析】根据分段函数定义． 2．B【解析】在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中，图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函数图象．故选B. 3．AD【解析】对于选项A，y＝的定义域是[－3,3)，y＝的定义域是[－3,3)， 并且＝，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数； 对于选项B，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数； 对于选项C，y＝＝|x|，所以两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数； 对于选项D，两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数．故选AD. 4．　1 【解析】　因为f(－2)=(－2)2=4，所以f( f(－2))=f(4)=log44=1. 四、考点扫描 例1 ABD 【解析】对于选项A，定义域为，定义域为R，A不能表示同一个函数,A选项正确； 对于选项B，与解析式不同，B不能表示同一个函数，B选项正确； 对于选项C，解析式及定义域都相同，C选项是同一函数，C选项不正确； 对于选项D，定义域为R，定义域为，D不能表示同一个函数，D选项正确.故选:ABD. 对点训练 　D 【解析】对于选项A，因为有两个不相等的根和，所以当时，；当，，与函数的定义不符，故A不成立； 对于选项B，令，则，令，则，与函数定义不符，故B不成立； 对于选项C，令，则，令，则，与函数定义不符，故C不成立； 对于选项D，，，唯一确定，符合函数定义.故D成立. 故选D. 例2 （1） 【解析】根据题意，可得,解得，故定义域为. （2）B 【解析】因为y＝f(x)的定义域为(0，1)，所以0<|2x－1|<1，即 所以解得x<1且x≠0，所以F(x)＝f(|2x－1|)的定义域为(－∞，0)∪(0，1).故选B. 对点训练 （1）　B 【解析】 因为f(x)=+ln(x－1)， 所以要使函数有意义，则 解得x>1且x≠2， 所以f(x)的定义域为(1，2)∪(2，+∞).故选B. （2）　 【解析】由－2≤2x－1≤3，解得－≤x≤2，所以函数f(2x－1)的定义域为. 例3 【解】（1）f＝x2＋=. 因为x>0，所以由基本不等式可得，当且仅当x=1时取等号， 所以. （2）根据题意,由得图象的对称轴为， 设二次函数为. 因的最大值是8,所以,当时,， 即二次函数. 由得,解得， 则二次函数. （3） ①－2×②得， 所以，． 对点训练 【解】(1) (换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，则sin x＝1－t. 因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， 所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]． 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)． (2) (待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， 所以解得 所以f(x)＝2x＋7(x∈R)． (3) (解方程组法)因为f(x)－2f(－x)＝9x＋2 ①， 所以f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2 ②. 由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6， 所以f(x)＝3x－2(x∈R)． 例4 （1） B 【解析】因为 由于，则．故选B. （2）－2或5；[－3，－1)∪[4，＋∞) 【解析】若f(a)＝4，则或 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2，则或 解得－3≤a<－1或a≥4， 所以a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)． 对点训练 （1）A 【解析】因为的定义域为，则，解得， 若，则，可得，不合题意； 若，则，可得，解得. 综上所述，.所以.故选A. （2）B 【解析】根据题意，． 当时，恒成立，即在上的最小值大于0． 若，则(a)，在上的最小值小于0，不符合题意，所以． ① 当时，，在，上是增函数， 结合，，可得在上是增函数， 此时(2)恒成立，可知(2)，即，解得． ② 当时，， 此时在上的值域为，恒成立，符合题意． ③ 当时，，在，上是增函数， 根据，，，可得在上是增函数， 所以(2)，即，整理得，解得． 综上所述，，即实数的取值范围是，． . 学科网（北京）股份有限公司 $