3.1 函数的概念及其表示 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念及其表示核心考点，涵盖具体与抽象函数定义域、解析式求解、分段函数求值及相关方程不等式等高考高频题型，按“概念梳理-题型突破-方法提炼”逻辑架构知识体系，通过考点分类讲解、解题方法归纳、真题实例演练等环节，帮助学生系统构建函数知识网络，精准突破定义域求解、复合函数分析等难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”培养为导向，创新采用“方法提炼+分层训练”模式，如在解析式求解中通过待定系数法、换元法等策略引导学生逻辑推理，在分段函数问题中强化分类讨论思想。设置选择、填空、解答题梯度练习，配合即时反馈机制，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用教学工具。

§3.1 函数的概念及其表示·复习讲义 目录 题型1：具体函数的定义域 2 题型2：抽象（复合）函数的定义域 3 题型3：根据定义域求参数 4 题型4：函数解析式的求解 4 题型5：分段函数求值 6 题型6：与分段函数有关方程、不等式的求解 6 1. 函数的概念 2. 同一函数/函数相等 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，则这两个函数为同一个函数，这是判断两函数相等的依据． 3. 函数的表示方法 解析法、列表法、图像法 4. 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 5. 复合函数 对于两个函数和，如果通过中间变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 题型1：具体函数的定义域 方法提炼 常见函数的定义域： (1) 分式型函数，分母不为零； (2) 偶次方根型函数，被开方式非负，即中； (3) 奇次方根型函数，被开方式取全体实数，即中； (4) 对数函数的真数，底数且； (5) 指数函数的底数且； (6) 零次幂或负指数次幂的底数不为零，即和中； (7) 正切函数的定义域是； 【例1.1.】 函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 （1）函数的定义域是__________； （2）函数的定义域是__________． 题型2：抽象（复合）函数的定义域 方法提炼 (1) 已知的定义域为，则复合函数的定义域可由不等式求出. (2) 已知的定义域为，则的定义域为在上的值域； (3) 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集. 【例2.1.】 已知函数，则的定义域为__________. 【例2.2.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知函数的定义域为，则的定义域为___________ 题型3：根据定义域求参数 【例3.1.】 已知函数的定义域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 函数在上有意义，则实数a的取值范围为______． 【例3.4.】 已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为,求实数m的取值范围__________. 题型4：函数解析式的求解 方法提炼 函数解析式的求法： (1) 待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (2) 配凑法：已知，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便可得到的表达式. (3) 换元法：已知的解析式，可令，从中求出，然后代入表达式求出，再将换成，此时要注意新元的取值范围. (4) 方程组法：已知关于与或或或的表达式，可将原方程中的变量进行变量替换得另外一个式子组成方程组，通过解方程组求出． 【例4.1.】 若函数，则（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知，则的解析式为______． 【例4.4.】 已知函数满足，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【例4.5.】 已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知函数的定义域为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 题型5：分段函数求值 方法提炼 分段函数求值问题的解题思路： (1) 求函数值：根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.当出现的形式时，应从内到外依次求值． (2) 求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 【例5.1.】 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知函数 ，则 （    ） A． B．1 C． D． 【例5.3.】 已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【例5.4.】 已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 题型6：与分段函数有关方程、不等式的求解 方法提炼 1. 已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 2. 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 【例6.1.】 已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 【例6.2.】 已知函数若，则（    ） A．3或1 B．0或-2 C．0 D．1 【例6.3.】 已知，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例6.6.】 已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.1 函数的概念及其表示·复习讲义 目录 题型1：具体函数的定义域 2 题型2：抽象（复合）函数的定义域 5 题型3：根据定义域求参数 7 题型4：函数解析式的求解 9 题型5：分段函数求值 13 题型6：与分段函数有关方程、不等式的求解 15 1. 函数的概念 2. 同一函数/函数相等 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，则这两个函数为同一个函数，这是判断两函数相等的依据． 3. 函数的表示方法 解析法、列表法、图像法 4. 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 5. 复合函数 对于两个函数和，如果通过中间变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 题型1：具体函数的定义域 方法提炼 常见函数的定义域： (1) 分式型函数，分母不为零； (2) 偶次方根型函数，被开方式非负，即中； (3) 奇次方根型函数，被开方式取全体实数，即中； (4) 对数函数的真数，底数且； (5) 指数函数的底数且； (6) 零次幂或负指数次幂的底数不为零，即和中； (7) 正切函数的定义域是； 【例1.1.】 函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 【例1.2.】 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域. 【详解】由题可知且，所以函数的定义域为． 故选：D． 【例1.3.】 函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【详解】由题意得解得或．所以原函数的定义域是．故选C． 【例1.4.】 （1）函数的定义域是__________； （2）函数的定义域是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、解正弦不等式、解余弦不等式 【分析】根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，求得不等式组的解集，即可得到函数的定义域. 【详解】解：（1）由函数 ， 则满足，解得， 即或，所以函数的定义域为； （2）由函数，则满足 ， 解得或或，所以函数的定义域为. 故答案为：；． 题型2：抽象（复合）函数的定义域 方法提炼 (1) 已知的定义域为，则复合函数的定义域可由不等式求出. (2) 已知的定义域为，则的定义域为在上的值域； (3) 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集. 【例2.1.】 已知函数，则的定义域为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】先求出函数的定义域，再结合抽象函数的定义域求解即可. 【详解】由，解得且， 则的定义域为， 由，解得且， 则的定义域为. 故答案为：. 【例2.2.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据函数定义域的概念，以及抽象函数定义域的求法，根据换元法，求出结果即可. 【详解】因为的定义域为，所以，所以. 则的定义域为，故对于，令，解得. 故的定义域为， 故答案为：B. 【例2.3.】 若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解. 【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足： ，解得或， 故定义域为： 故选：D 【例2.4.】 已知函数的定义域为，则的定义域为___________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复合函数的定义域 【分析】先求函数的定义域，再求所给的复合函数的定义域. 【详解】因为在上单调递减， 且当时，；当时，， 所以，即函数的定义域为. 由. 故答案为： 题型3：根据定义域求参数 【例3.1.】 已知函数的定义域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知函数的定义域求参数、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数的真数部分大于零、被开方数不小于零、分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以恒成立，则，解得， 又，解得， 所以的取值范围是， 故选：A 【例3.2.】 已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 【例3.3.】 函数在上有意义，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】先由题设得在上恒成立，再由一元二次函数性质列出关于a的不等式组计算即可得解. 【详解】由题意可知在上恒成立， 则， 所以满足题意的实数a的取值范围为. 故答案为：. 【例3.4.】 已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为,求实数m的取值范围__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【详解】函数的定义域为，，令,则，由题意知，当时，，作出函数 的图象，      如图所示，由图可得，当或时，，当时，，时，实数的取值范围是，故答案为. 题型4：函数解析式的求解 方法提炼 函数解析式的求法： (1) 待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (2) 配凑法：已知，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便可得到的表达式. (3) 换元法：已知的解析式，可令，从中求出，然后代入表达式求出，再将换成，此时要注意新元的取值范围. (4) 方程组法：已知关于与或或或的表达式，可将原方程中的变量进行变量替换得另外一个式子组成方程组，通过解方程组求出． 【例4.1.】 若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】根据题意利用配凑法分析求解，注意函数的定义域. 【详解】因为， 且，所以． 故选：D. 【例4.2.】 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求解. 【详解】解：令，得， 所以， 则， 故选：A 【例4.3.】 已知，则的解析式为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求解析式，注意定义域. 【详解】设，则，，∵， ∴，，即，． 故答案为： 【例4.4.】 已知函数满足，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式、分段函数的性质及应用 【详解】对于A，，则，，不满足．对于B，，则，，不满足．对于C，，则，，不满足．对于D，当时，，，故；当时，，，故，此时满足，故D正确． 【例4.5.】 已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 【例4.6.】 已知函数的定义域为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】对于求函数解析式的题目，可使用方程组法，将原方程与令后得到得方程组成方程组，解出即可 【详解】因为①， 所以②， 得， 即， 所以． 故选：C. 【例4.7.】 已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 题型5：分段函数求值 方法提炼 分段函数求值问题的解题思路： (1) 求函数值：根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.当出现的形式时，应从内到外依次求值． (2) 求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 【例5.1.】 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求分段函数值 【分析】根据函数的解析式代值计算可得所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：D. 【例5.2.】 已知函数 ，则 （    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、比较对数式的大小 【详解】已知函数， 因为. 所以， 又 所以. 【例5.3.】 已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【详解】由题意得：当时，， 所以， 则. 【例5.4.】 已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 题型6：与分段函数有关方程、不等式的求解 方法提炼 1. 已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 2. 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 【例6.1.】 已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】解分段函数不等式 【分析】（方法1）分别在时，解不等式，在时，解不等式，再求并集得答案. （方法2）在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案. 【详解】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以； 当时，，不等式可化为，解得， 又，所以. 综上，使不等式成立的的取值范围是. 故选: A. （方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集. 由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围. 在中，令，得，所以点的横坐标为. 在中，令，得（舍去）或， 所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是. 故选：A. 【例6.2.】 已知函数若，则（    ） A．3或1 B．0或-2 C．0 D．1 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、根据分段函数的单调性求参数、求分段函数值 【分析】分析函数的单调性，列出关于的不等式组，求解可得，代入可求得其值. 【详解】由的解析式易得在区间上单调递增，在区间上单调递减. 由，得，所以解得. ． 故选：C. 【例6.3.】 已知，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式 【分析】分类讨论、与三种情况，由题设不等式与分段函数得到关于的不等式，解之即可得到所求. 【详解】因为， 当时，， 故由得，解得，故； 当时，， 故由得， 当时，上式恒成立；当，整理得， 所以，故； 当时，， 故由得，解得，故； 综上：，即的解集为. 故选：B. 【例6.4.】 已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】分类讨论，当时，根据解不等式，当时，即时根据函数的单调性求解, 【详解】当时，即时，， 故满足题意； 当时，即时，令，则+1在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以由可得，解得， 又，故. 综上，实数a的取值范围为. 【例6.5.】 已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、解分段函数不等式 【分析】先求出函数的解析式，再分、两种情况解不等式即可． 【详解】解：由，则， ，解得， ，解得， 综上，不等式的解集是． 【例6.6.】 已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解分段函数不等式、由对数函数的单调性解不等式 【详解】令，则，故，故, 所以或, 故． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $