第一章 第6节 函数的概念及其表示 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的概念及其表示，覆盖函数三要素、解析式与求值、定义域、值域、分段函数及抽象函数等核心考点，按“基础概念—方法技巧—能力提升”逻辑架构知识点，通过考点梳理、典例精讲、方法总结、真题变式训练四个环节，帮助学生系统构建知识网络，突破解析式求解、定义域值域求法等难点。 资料以“数学思维”培养为核心，采用分层设计（基础变式与提高变式结合）和真题导向（融入北京卷、新高考卷原题），如通过例1归纳待定系数法、换元法等解题策略，变式训练涵盖选择、填空、解答题型，培养学生抽象能力与模型意识。设置即时反馈练习，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生函数问题的应考能力。

2026-2027学年度高三数学总复习 第一章 第6节 函数的概念及其表示 函数是高考的核心考点，分值比较重，在整个试卷中约为分．常考查函数的概念、图象与性质、三角函数、导函数等．本节重在掌握函数的基本概念，为后面复习作准备． 一、高考核心考点 1．函数的概念：函数的三要素为定义域、值域、对应关系．若两个函数的三要素对应相同，则为同一（相等）函数． 2．函数的解析式与求值：待定系数法、换元法、解方程组法、赋值法 3．函数的定义域 求函数定义域的依据是，使函数的解析式有意义的自变量的取值范围，常考查带有分式、对数、偶次根式等函数定义域的求法． 4．求函数的值域 求函数值域的常见方法有：利用基本初等函数的值域，利用基本不等式、图象法、换元法、求导法等． 二、典例分析 1．求函数的解析式与求值 【例1】根据下列条件，分别求函数的解析式． （1）已知； （2）已知满足，求的解析式； （3）已知，对任意的实数，都有，求的解析式． 【解析】（1）方法1（换元法）：令，则，．所以，所以函数的解析式为． 方法2（配凑法）：．因为，所以函数的解析式为． （2）将代入，得，因此、消去，得． （3）令，得，所以，即． 【感悟提升】已知函数类型常用待定系数法；对于复合函数常用换元法；括号内同时出现与，或与时常用解方程组法；对含多个变量的抽象函数常用赋值法． 【题组变式1】 变式1-1：（2022北京卷）己知函数，则对任意实数，有（ ） A.． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故选C． 变式1-2：设若,则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为，，所以，又解得， 故选C． 变式1-3：已知函数,（）. 计算的值． 【解析】．由，得，故 ． 变式1-4：（2024新高考1卷）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，所以，又，则，，， ，， ，， ，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确．故选B． 2．求函数的定义域 【例2】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得，所以，解得． 【感悟提升】求解数学问题前，优先考虑函数的定义域，一般有如下几点： (1)多项整式函数……的定义域为； (2)在中，； (3)分式中的分母不为零； (4)偶数次方根式（为正偶数）的被开方数≥； (5)奇数次方根式（为正奇数）的定义域为； (6)对数式的底数，且，真数大于零； (7)指数函数式的底数，且； (8)实际问题还需要考虑使题目本身有意义. (9)正切函数的定义域为． 若函数由一些基本函数通过四则运算组合而成，其定义域为各基本函数定义域的交集． 【题组变式2】 变式2-1：函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】由，得，解得，故定义域为． 变式2-2：函数的定义域为（　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，解得，即的定义域为． 变式2-3：下列函数中，其定义域和值域分别与的定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域为，值域为， D符合． 3．函数的值域 【典例3】（1）求函数的值域； 【答案】 【解析】由，得，即值域为. （2）（提高）函数的值域是 ． 【答案】 【解析】令，则， 得，故． 【感悟提升】求函数值域或最值的常用手段与方法： ①利用对勾函数或一元二次函数的图象、性质； ②判别式法； ③代数换元或三角换元； ④利用函数的单调性或函数（二次函数、指数函数、三角函数）的有界性、奇偶性、对称性等； ⑤分离常数变形或分子、分母有理化变形； ⑥利用不等式的性质，尤其是基本不等式、柯西不等式； ⑦运用数形结合思想，转化为直线与圆锥曲线的关系或构造两点间距离； ⑧利用极限或导数工具． 【题组变式3】 变式3-1：下列函数中，其值域为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在A中，，时，，故函数的值域为； 在B中，，时，，故函数的值域为； 在C中，，时，，故函数的值域为； 在D中，易知，当时，；当时，．所以的值域为． 故选D． 变式3-2：函数，的值域为 ． 【答案】 【解析】，，由二次函数的图象知，原函数的值域为． 变式3-3：函数的值域为 ． 【答案】 【解析】，故原函数的值域为． 变式3-4：函数，的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，，则，则，故选A． 变式3-5（提高）：函数的值域为 ． 【答案】 【解析】，令，则，对勾函数在上为增函数，所以，即值域为． 变式3-6（提高）：若函数在区间上的最大值是，最小值是， 则（ ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【解析】易知抛物线的对称轴方程为． 若，即时，函数在上递增，所以，，此时； 若，即时，函数在上递减，所以，，此时； 若，即时，，，从而，或． 综上知，与有关，且与无关．故选B． 4．分段函数 【例4】（1）设则不等式的解集是（ 　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，由，得，解得或，；当时，由得，解得，；不等式的解集是．故选A． （2）已知实数，函数若，求实数的值． 【解析】当时，，，所以 ；当时，，， ．故或． 【感悟提升】分段函数一般采用分段处理的方式，常从数与形的角度出发，有两种常见方法：①数形结合法，②分段讨论法． 【题组变式4】 变式4-1：已知函数若，则实数的取值范围是（ ） A．　 　B. C． D． 【答案】D 【解析】方法1：当时，由得，解得； 当时，由得，解得； 当时，显然符合条件．故的取值范围是．故选D． 方法2：作出的图象，易知为偶函数，则，由图象得． 变式4-2（提高）：设函数若在区间上的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图所示： 由，，，知， 实数的取值范围是． 变式4-3（提高）：设函数则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象，由及图象知，解得．故选D． 变式4-4（提高）：设函数则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，由，得，得； 当时，由，得，即，而，所以； 当时，由，得，而，所以． 综上知，． 5．抽象函数（能力提升） 【例5】已知函数对一切实数都有成立，且，求函数的解析式． 【答案】 【解析】方法1：令，得，因为，所以. 令，，则，所以． 方法2：令，，则，则.令，，则 ． 方法3：令，，得，用代，得 ． 方法4：令，得，所以，即． 【感悟提升】对于抽象函数的解析式问题，常用赋值法；对于抽象函数的求值问题，常用有赋值法或构造函数法． 【题组变式5】 变式5-1：已知偶函数对任意的，恒有 ，求函数的解析式． 【答案】 【解析】令，得，所以.令，即， 得，即，所以，即． 变式5-2：已知，都有，则 ． 【答案】 【解析】在中，令，得…①， 令，得…②，由①②，得，，令，得，所以． 变式5-3：（1994年澳大利亚竞赛题改编）写出一个满足：的函数解析式为 ． 【答案】（答案不唯一，都可以） 【解析】中，令，解得，令，得，故，不妨设，经检验满足要求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三数学总复习 第一章 第6节 函数的概念及其表示 函数是高考的核心考点，分值比较重，在整个试卷中约为分．常考查函数的概念、图象与性质、三角函数、导函数等．本节重在掌握函数的基本概念，为后面复习作准备． 一、高考核心考点 1．函数的概念：函数的三要素为定义域、值域、对应关系．若两个函数的三要素对应相同，则为同一（相等）函数． 2．函数的解析式与求值：待定系数法、换元法、解方程组法、赋值法 3．函数的定义域 求函数定义域的依据是，使函数的解析式有意义的自变量的取值范围，常考查带有分式、对数、偶次根式等函数定义域的求法． 4．求函数的值域 求函数值域的常见方法有：利用基本初等函数的值域，利用基本不等式、图象法、换元法、求导法等． 二、典例分析 1．求函数的解析式与求值 【例1】根据下列条件，分别求函数的解析式． （1）已知； （2）已知满足，求的解析式； （3）已知，对任意的实数，都有，求的解析式． 【感悟提升】已知函数类型常用待定系数法；对于复合函数常用换元法；括号内同时出现与，或与时常用解方程组法；对含多个变量的抽象函数常用赋值法． 【题组变式1】 变式1-1：（2022北京卷）己知函数，则对任意实数，有（ ） A.． B． C． D． 变式1-2：设若,则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式1-3：已知函数,（）. 计算的值． 变式1-4：（2024新高考1卷）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2．求函数的定义域 【例2】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【感悟提升】求解数学问题前，优先考虑函数的定义域，一般有如下几点： (1)多项整式函数……的定义域为； (2)在中，； (3)分式中的分母不为零； (4)偶数次方根式（为正偶数）的被开方数≥； (5)奇数次方根式（为正奇数）的定义域为； (6)对数式的底数，且，真数大于零； (7)指数函数式的底数，且； (8)实际问题还需要考虑使题目本身有意义. (9)正切函数的定义域为． 若函数由一些基本函数通过四则运算组合而成，其定义域为各基本函数定义域的交集． 【题组变式2】 变式2-1：函数的定义域为 ． 变式2-2：函数的定义域为（　 ） A． B． C． D． 变式2-3：下列函数中，其定义域和值域分别与的定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 3．函数的值域 【典例3】（1）求函数的值域； （2）（提高）函数的值域是 ． 【感悟提升】求函数值域或最值的常用手段与方法： ①利用对勾函数或一元二次函数的图象、性质； ②判别式法； ③代数换元或三角换元； ④利用函数的单调性或函数（二次函数、指数函数、三角函数）的有界性、奇偶性、对称性等； ⑤分离常数变形或分子、分母有理化变形； ⑥利用不等式的性质，尤其是基本不等式、柯西不等式； ⑦运用数形结合思想，转化为直线与圆锥曲线的关系或构造两点间距离； ⑧利用极限或导数工具． 【题组变式3】 变式3-1：下列函数中，其值域为的是（ ） A． B． C． D． 变式3-2：函数，的值域为 ． 变式3-3：函数的值域为 ． 变式3-4：函数，的值域是（ ） A． B． C． D． 变式3-5（提高）：函数的值域为 ． 变式3-6（提高）：若函数在区间上的最大值是，最小值是， 则（ ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 4．分段函数 【例4】（1）设则不等式的解集是（ 　） A． B． C． D． （2）已知实数，函数若，求实数的值． 【感悟提升】分段函数一般采用分段处理的方式，常从数与形的角度出发，有两种常见方法：①数形结合法，②分段讨论法． 【题组变式4】 变式4-1：已知函数若，则实数的取值范围是（ ） A．　 　B. C． D． 变式4-2（提高）：设函数若在区间上的值域为，则实数的取值范围是 . 变式4-3（提高）：设函数则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式4-4（提高）：设函数则满足的的取值范围是 ． 5．抽象函数（能力提升） 【例5】已知函数对一切实数都有成立，且，求函数的解析式． 【感悟提升】对于抽象函数的解析式问题，常用赋值法；对于抽象函数的求值问题，常用有赋值法或构造函数法． 【题组变式5】 变式5-1：已知偶函数对任意的，恒有 ，求函数的解析式． 变式5-2：已知，都有，则 ． 变式5-3：（1994年澳大利亚竞赛题改编）写出一个满足：的函数解析式为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $