第二章 课时6 指数与指数函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数核心考点，涵盖根式、分数指数幂的概念及运算性质，指数函数的图象特征与单调性、特殊点等性质，按“概念-运算-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过知识梳理夯实基础，考点扫描（含例析、规律方法、对点训练）突破重点，真题演练提升实战能力，形成系统性复习路径。 资料突出“数学思维”与“数学语言”素养培养，如在指数函数性质应用中，通过比较大小、解不等式等考向，引导学生运用函数单调性进行逻辑推理，借助换元法解决复合函数问题。设置基础回顾与分层对点训练，配合2025年模拟题实例，帮助学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

课时6 指数与指数函数 一、课标要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 二、知识梳理 1．根式 (1)如果xn＝a(n>1，且n∈N*)，那么 称为a的n次方根． (2)式子叫作 ，这里n叫作根指数，a叫作被开方数． (3)()n＝ . 当n为奇数时，＝ ， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)． 正数的负分数指数幂：＝ ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 asat＝ ；(as)t＝ ；(ab)t＝ (a>0，b>0，s，t∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 性质 过定点 ，图象在x轴的上方 当x>0时， ； 当x<0时， 当x<0时， ； 当x>0时， 函数 函数 【拓展知识】 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2.如图所示为指数函数(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) . (　 　) (2) 2a·2b＝2ab. (　 　) (3) 指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (　 　) (4) 若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n. (　 　) 2．若a<则化简的结果是(　　) A.4a－1 B.1－4a C.－ D.－ 3. 已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b=(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 4. 函数，无论取何值，函数图象恒过一个定点，则该定点坐标为 . 四、考点扫描 考点一 指数幂的运算 例1 化简求值： （1） ；                （2）（； （3 设，求的值； 规律方法： 对点训练 计算化简： （1）＝________________； （2）＝________________. 考点二 指数函数的图象应用 例2 （1）（2025·北京高考）为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 (2)已知指数函数y=的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象可能是(　　) A B C D 规律方法： 对点训练 （1）(多选题)若函数f(x)=ax+b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则有(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.－1<b<0 D.b<－1 （2）(2025·安徽安庆市二模)已知函数的图象过坐标原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ） A. 函数不具有奇偶性 B. C. 函数的值域为 D. 函数的单调递增区间为 考点三 指数函数的性质的应用 考向1 比较大小 例3 (2025·海南海口市模拟)设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 考向2 解不等式 例4 设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A.(－∞，0) B.(0，+∞) C.(－∞，1) D.(0，1) 考向3 复合函数 例5 已知函数f(x)=2x+a·2－x. (1)若a=－4，解不等式：f(x)<0； (2)若关于x的方程f(x)+2=0有解，求实数a的取值范围. 规律方法： 对点训练（1）（2025秋·上海高考）设，．下列各项中，能推出的是（ ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 （2） 设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． （3）已知和是方程的两根，则 . 课时6 指数与指数函数参考答案 二、知识梳理 1．（1）x （2）根式 （3）a a 2. 0 3． ast atbt 4．（2）(0，＋∞) (0,1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 增 减 三、基础回顾 1． （1）× (2) ×　(3) √ (4) × 2. B【解析】　因为a<所以4a－1<0,所以=|4a－1|=－(4a－1)=1－4a.故选B. 3. C 【解析】由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1.由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1. 故选C. 4. 【解析】则定点坐标为. 四、考点扫描 例1（1）【解】（1） . （2）. （3）因为，. 对点训练（1） 0.09 【解析】＝()2＋－＝0.09＋＝0.09. （2） 【解析】＝ ＝ ＝ 例2 （1）A 【解析】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象.故选A. （2）　C 【解析】　由指数函数的图象和性质可知，0<<1， 若a，b均为正数，则a>b>0，此时函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限，C符合； 若a，b均为负数，则a<b<0，此时函数y=ax+b的图象过第二、三、四象限，没有选项符合.故选C. 对点训练 （1）　BD 【解析】　函数f(x)=ax+b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，根据图象的性质可得a>1，a0+b<0，即a>1，b<－1.故选BD. （3） D 【解析】函数的定义域为，且，故函数为偶函数，A错误； 由函数的图象过原点，有，即，所以，由于的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故，且，故，于是B，C错误； 由上面的分析得出函数，显然的单调递增区间为，故D正确.故选D. 例3 　C 【解析】　因为1.50.6>1.50=1，0.60.6<0.60=1，所以1.50.6>0.60.6， 又函数y=0.6x是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6， 所以0.61.5<0.60.6<1.50.6.即b<a<c.故选C. 例4 　C 【解析】　函数f(x)=的图象如图， 显然函数f(x)在R上单调递减， 因为f(x+1)<f(2x)，所以x+1>2x，解得x<1. 例5 【解】　(1)当a=－4时，f(x)<0，即2x－4·2－x<0，化简得<4， 又2x>0，所以0<2x<2，解得x<1， 所以原不等式的解集为(－∞，1). (2)方程f(x)+2=0，即a=－－2·2x， 令t=2x，t>0，则a=－t2－2t=－(t+1)2+1. 因为函数y=－(t+1)2+1在(0，+∞)上单调递减， 所以a<－(0+1)2+1=0， 所以要使方程f(x)+2=0有解，则a<0， 故实数a的取值范围是(－∞，0). 对点训练（1） D 【解析】对于选项A，取，，则，故A错误； 对于选项B，取，，则，故B错误； 对于选项C，取，，则，故C错误； 对于选项D，当时，是减函数，时，，故D正确．故选D． （2） D 【解析】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以.故选D. （3） 【解析】方程可化为，由根于系数的关系得，， 所以，得. 又，所以. . 学科网（北京）股份有限公司 $