2.5 指数与指数函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕指数与指数函数专题，系统梳理根式、分数指数幂、运算性质及指数函数图象性质等核心考点，按知识复习、典型例题分层架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练，帮助学生构建知识网络，突破运算、单调性等难点，体现系统性与针对性。 资料以“数学思维”培养为核心，设计13类典例分层突破，如典例六通过分析内外层函数单调性推理复合函数单调区间，强化逻辑推理能力，结合“数学语言”构建指数模型解决最值问题。设置基础到综合例题梯度，配合即时方法总结，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供支持。

2.5 指数与指数函数（精讲） 第一部分：知识复习 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars； (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． (2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． (3)指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 [常用结论] 指数函数图象的特点 (1)指数函数y＝ax (a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)函数y＝ax与y＝x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 第二部分：典型例题 典例一：指数与指数幂的运算 1．（25-26高三上·福建泉州·期中）计算____________ 2．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·暑假作业）计算：（   ） A．6 B．7 C．8 D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，求以及的值． 5．（2026高三·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 6．（25-26高三上·浙江杭州·阶段检测）化简：______． 典例二：指数函数的概念 7．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 8．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 9．（2026高三·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 10．（25-26高三上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 11．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 12．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）指数函数的图象经过点___________. 典例三：指数型函数图象过定点问题 13．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 14．（25-26高三上·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（    ） A． B．8 C．4 D． 典例四：根据指数型函数图象求参数 17．（25-26高三上·河北邯郸·期中）（多选）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·上海·课后作业）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是________． 19．（25-26高三上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 20．（25-26高二下·福建福州·期末）如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线____．（填曲线序号） 21．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知函数，且的图象如图所示，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 典例五：指数函数图象应用 23．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·山东聊城·期末）若直线与函数的图象有两个交点，且这两个交点关于轴对称，则实数的值为______. 典例六：判断指数型复合函数单调性 29．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 31．（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·云南·开学考试）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断函数在上的单调性，并证明． 典例七：由指数（型）函数单调性求参数 33．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 35．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 36．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高三下·山东菏泽·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 典例八：利用单调性比较大小 39．（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）已知，，，则“ ”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 41．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 42．（2026高三·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 43．（2026·浙江金华·三模）已知实数，，则a，b，c的大小关系为（   ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 44．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 典例九：根据指数函数单调性解不等式 45．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 46．（2026·河北邢台·三模）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 47．（2026·四川内江·二模）已知，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数（其中a，b为常量，且）的图象经过点， (1)求函数的解析式 (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 49．（2026·广东佛山·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例十：求已知指数型函数的值域或最值 51．（25-26高二下·北京延庆·期中）函数的值域为___________． 52．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 53．（2026·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是______. 54．（25-26高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）函数的值域是____________． 55．（2026高三上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 56．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 典例十一：根据指数函数最值（值域）求参数 57．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 58．（25-26高三上·江苏无锡·开学考试）若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 59．（25-26高三上·贵州遵义·开学考试）若函数有两个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 60．（25-26高三上·河北承德·期末）（多选）取整函数又称“高斯函数”，表示不超过的最大整数（例如）．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间与上均为减函数 B．的值域是 C．方程的所有实根为0，1 D．当关于的方程有2个实根时，实数的取值范围是 61．（25-26高三上·上海·期末）已知函数为偶函数，其中. (1)求的值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 62．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，． (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围． 典例十二：含参指数（型）函数最值 63．（25-26高三上·河南·阶段检测）若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 64．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)若，求在区间上的最大值. 65．（25-26高三上·四川眉山·阶段检测）已知函数且的图象经过． (1)设函数，求的定义域； (2)若，求的取值范围． 66．（25-26高三上·浙江·期中）（多选）已知函数，，下列成立的是（    ） A．若是偶函数，则 B．的值域为 C．在上单调递减 D．当时，方程都有两个实数根 67．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上有最大值和最小值. (1)求，的值； (2)若不等式在时有解，求实数的取值范围. 68．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知函数且. (1)若，求的值； (2)若在上的最大值为，求的值. 典例十三：指数函数最值与不等式的综合问题 69．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 70．（25-26高三上·天津河北·开学考试）已知函数，． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若方程有实根，求实数的取值范围． 71．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 72．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 指数与指数函数（精讲） 第一部分：知识复习 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars； (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． (2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． (3)指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 [常用结论] 指数函数图象的特点 (1)指数函数y＝ax (a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)函数y＝ax与y＝x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 第二部分：典型例题 典例一：指数与指数幂的运算 1．（25-26高三上·福建泉州·期中）计算____________ 【答案】4 【详解】． 2．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）计算：（   ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，求以及的值． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式和立方和公式，逐步求出、、的值即可求解 【详解】对两边平方可得，则， 对平方可得，所以， 即， 根据立方和公式可得， 所以， 对两边平方，可得，则， 所以． 5．（2026高三·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先利用二次根式性质化简左侧表达式，根据等式成立的条件列不等式，然后解出的取值范围. 【详解】因为， 要使成立， 需，解得， 即实数的取值范围是. 6．（25-26高三上·浙江杭州·阶段检测）化简：______． 【答案】 【详解】设，则， ， ， ． 典例二：指数函数的概念 7．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 【答案】/ 【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解. 【详解】设的图象过点， 解得． 8．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 9．（2026高三·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 10．（25-26高三上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 11．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A 12．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）指数函数的图象经过点___________. 【答案】81 【分析】设指数函数，且，代入点可得，即可得结果. 【详解】设指数函数，且， 因为指数函数的图象经过点，则， 即，可得， 则，所以. 故答案为：81. 典例三：指数型函数图象过定点问题 13．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 14．（25-26高三上·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 【答案】 【详解】令，解得， 将代入函数，得， 故函数恒过定点． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 16．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】先根据指数函数的性质求出定点的坐标，再将其代入直线方程得到与的关系式，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】过定点，所以， 因为点在函数的图象上，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为4. 典例四：根据指数型函数图象求参数 17．（25-26高三上·河北邯郸·期中）（多选）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果. 【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以． 当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得． 故选：BC． 18．（25-26高三上·上海·课后作业）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据指数函数性质得函数过点，再根据题意列不等式，解得结果． 【详解】解：指数函数过点，则函数过点， 若图像不经过第二象限，则， 即． 故答案为：． 19．（25-26高三上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果． 【详解】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 20．（25-26高二下·福建福州·期末）如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线____．（填曲线序号） 【答案】② 【分析】由指数函数的性质先确定曲线③是函数的图象，由对称性得的图象. 【详解】由指数函数的单调性可知，函数和的图象分别是曲线③④中的一条， 当时，，所以曲线③是函数的图象， 函数的图象与函数的图象关于轴对称， 所以的图象是曲线②. 故答案为：②. 21．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知函数，且的图象如图所示，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用指数函数的单调性，求解出的取值范围，从而求解出各个选项不等式的正确与否. 【详解】根据函数，且的图象， 知函数是单调递增函数，所以. 又时，，所以，解得， 所以是增函数，，A正确. 由，得，B正确. 由，得，C正确. 由是单调递减函数，得，D错误. 故选：ABC. 22．（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得且，求出a，即可求解. 【详解】因为函数图象过原点，所以， 得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交， 所以，则， 所以. 故选：C 典例五：指数函数图象应用 23．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 24．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 当时，，此时函数的图象在轴上方，排除C； 由，得，因此函数只有1个零点，其图象与轴只有1个交点，排除B； 又，当时，，因此，排除A，D符合题意.. 25．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图所示： 由时，则与矛盾，故A错误； 选项B，如图所示： 由时，则与矛盾，故B错误； 对于C，如图所示： 由时，，但是此时，故C错误； 对于D，由函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 若时，有，则，无法确定， 如图所示： 由，则，即， 由，所以，故D正确. 26．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得与的图象有三个不同的交点，作出与的图象，根据二次函数的对称性，可得，根据图象可得k的范围，进而可得的范围，即可得答案. 【详解】因为函数有三个不同的零点， 所以，即有三个不同的根， 则与的图象有三个不同的交点， 作出与的图象，如下图所示 当时，为开口向下，对称轴为的抛物线， 则关于对称，所以，即， 由图象可得， 令，解得，令，解得， 所以， 则， 即的取值范围为. 27．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系下画出和的图像，然后在坐标系中作水平直线即可得解. 【详解】 在同一坐标系下画出和的图像， 从上到下的三条虚线分别可以推出，，， 则ACD选项有可能，B选项不可能. 故选：B 28．（25-26高三上·山东聊城·期末）若直线与函数的图象有两个交点，且这两个交点关于轴对称，则实数的值为______. 【答案】 【分析】设两个交点为,且，则，，再结合对称性得解得，再说明时不成立即可. 【详解】设直线与函数的图象有两个交点为,且 所以，，即， 又因为这两个交点关于轴对称，所以 所以，即， 所以，即，解得， 当时，，为上的单调递增函数，图象与直线至多只有一个交点，不满足题意，舍去； 所以 故答案为： 典例六：判断指数型复合函数单调性 29．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 30．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 31．（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为正数可得，根据为正数及为上的增函数可得，从而可得正确的选项. 【详解】因为为正数，故. 由题设有， 而，故，故， 故，且， 故 设，因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而，故， 故A正确，BCD错误. 32．（25-26高三上·云南·开学考试）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断函数在上的单调性，并证明． 【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数，证明见解析 (2)在单调递增，在单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义判断即可； （2）根据复合函数的单调性判断方法证明即可. 【详解】（1）函数既不是奇函数也不是偶函数． 证明：要使函数有意义，则， 解得，所以的定义域是， 因为函数的定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数． （2）函数在单调递增，在单调递减. 证明：令，， 所以函数在单调递增，在单调递减， 令，则， 由指数函数性质可知在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，在单调递增，在单调递减． 典例七：由指数（型）函数单调性求参数 33．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】外层函数单调递减，复合函数在上单调递增，故内层函数需在上单调递减，结合二次函数性质分类讨论． 【详解】外层函数在上单调递减，根据“同增异减”可知内层函数需在上单调递减； 当时，，在上单调递减，符合条件； 当时，二次函数开口向上，对称轴为，需满足，解得； 当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，符合条件； 综上可得. 故选 ：B． 34．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 35．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 36．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可. 【详解】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 37．（25-26高三下·山东菏泽·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 由指数函数性质知：在上单调递减． 根据复合函数“同增异减”，在上单调递增， 则在上单调递减． 二次函数的对称轴为， 单调递减区间为， 故，即． 38．（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． 典例八：利用单调性比较大小 39．（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 40．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）已知，，，则“ ”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的判断，构造幂函数与指数函数求解. 【详解】令，因为，所以函数在上单调递减，又， 若，则， 令，因为，所以函数在上单调递增，又， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 41．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过指数函数性质判断函数单调递增得出，结合，，由此即可求解. 【详解】因为，单调递增，单调递减， 单调递增，则单调递增， 故，且，，所以. 42．（2026高三·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数是减函数，又， 则， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 43．（2026·浙江金华·三模）已知实数，，则a，b，c的大小关系为（   ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数分析单调性，可判断，再利用指对运算得到；构造函数，利用导数分析单调性，可判断，从而判断，由此可得. 【详解】令，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在 处取得极大值，极大值为. 所以，即， 所以，即，即. 令，则恒成立， 所以是增函数，所以， 即，即，即，即. 综上所述，. 44．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，在同一坐标系下画出与的图象，结合图象可知A，B，D可能成立．故选ABD． 典例九：根据指数函数单调性解不等式 45．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是一个减函数，所以当时，函数最小值为， 因此，即，化简可得，即， 因为，所以解得或， 即不等式的解集为. 46．（2026·河北邢台·三模）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，为单调递增函数，当时，，所以此时. 当时，为单调递增函数，也为单调递增函数， ∴ 在上单调递增，且. ∴ 函数是定义域为的单调递增函数. 令，当时，有. 设（），则，整理得. 解得或，∵ ，∴ 不符合题意，舍去. ∴ ，即. ∵ 在上单调递增， ∴ 等价于，解得. ∴ 实数的取值范围为，故选A. 47．（2026·四川内江·二模）已知，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以是奇函数， 则等价于， 则，得， 故关于的不等式的解集为. 48．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数（其中a，b为常量，且）的图象经过点， (1)求函数的解析式 (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入法得到关于,的方程组，求解即可. （2）利用恒成立问题的解决方法，结合复合函数与指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）将点、代入得方程组： 两式相除得，将代入， 得，解得， 因此函数解析式为 ：. （2）不等式在恒成立， 等价于： 对任意恒成立， 即大于等于的最大值， 因为底数，所以是上的单调递减函数， 最大值在处取得： 因此，即的取值范围为 . 49．（2026·广东佛山·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶函数的定义确定函数的奇偶性，再变形不等式，借助指数函数单调性求解. 【详解】当时，，；当时，，； ，则当时，，即函数是R上的偶函数， 不等式， 整理得，解得，所以原不等式的解集为. 50．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，证明函数的奇偶性，推理得到其单调性，利用函数的单调性和奇偶性求解不等式即可. 【详解】设，该函数的定义域为， ，都有，且， 所以函数是奇函数， 因是上的增函数，则是上的增函数且恒为正数， 故是上的减函数，是上的增函数， 由，得，则， 则，解得. 典例十：求已知指数型函数的值域或最值 51．（25-26高二下·北京延庆·期中）函数的值域为___________． 【答案】（0,1] 【分析】分别求出在上的值域以及在上的值域可得答案. 【详解】因在上单调递增，则时，； 又在上单调递增，则时，. 则的值域为. 52．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 53．（2026·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是______. 【答案】16 【分析】求出的范围，根据复合函数的单调性求解. 【详解】由，而， 因为单调递增，所以，则的最大值是16. 故答案为：16 54．（25-26高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）函数的值域是____________． 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解， 【详解】 令则， 由于在单调递减,单调递增， 所以，故的值域为. 故答案为: . 55．（2026高三上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 【答案】 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，求出函数的最值即可． 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减， ∴． 56．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 【详解】函数， 因为单调递增，所以； 因为单调递减，所以； 所以当时，；当时，； 则的最大值与最小值之差为. 典例十一：根据指数函数最值（值域）求参数 57．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 58．（25-26高三上·江苏无锡·开学考试）若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在和上都递增， 且当时，， 则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且时，，而， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增， 当时，， 所以，解得， 此时，， 综上所述，． 59．（25-26高三上·贵州遵义·开学考试）若函数有两个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的零点即方程的解，化简得， 解得或， 由于函数在R上单调递增，值域为， 函数有两个零点，则方程和各有一个不同的解， 所以，解得，即实数b的取值范围为. 60．（25-26高三上·河北承德·期末）（多选）取整函数又称“高斯函数”，表示不超过的最大整数（例如）．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间与上均为减函数 B．的值域是 C．方程的所有实根为0，1 D．当关于的方程有2个实根时，实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据题意，当时，；当时，，结合选项，利用指数函数的图像与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，当时，可得，则， 由指数函数的性质，可得在上为单调递减函数； 当时，可得，则， 由指数函数的性质，可得在上也为单调递减函数， 所以函数在和上均为减函数，所以A正确； 对于B，当时，，可得， 当时，，可得， 当时，，， 综上可得，的值域为，所以B正确； 对于C，当时，令，解得， 当时，，解得， 当时，， 所以方程的所有实数根为，所以C错误； 对于D，由方程，即，则，可得， 令， 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 要使得方程有2个实根时，即和的图像有两个公共点， 作出函数的图像，如图所示， 结合图像，可得实数的取值范围是，所以D正确. 故选：ABD. 61．（25-26高三上·上海·期末）已知函数为偶函数，其中. (1)求的值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义化简求值； （2）根据基本不等式求得，根据恒成立问题可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数为偶函数， 所以，即，亦即， 因为，所以，约分可得，即，解得. （2）由（1）得， 又，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立， 又对恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 62．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，． (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式恒成立利用基本不等式计算可得， （2）利用方程有根并根据对勾函数性质，求出函数在上的值域即可. 【详解】（1）由可得， 因此， 又易知，当且仅当，即时，等号成立； 所以满足即可，解得， 因此实数的取值范围为. （2）由可得， 所以，即； 令，则，即， 易知函数在上单调递增，所以可得. 因此实数的取值范围为. 典例十二：含参指数（型）函数最值 63．（25-26高三上·河南·阶段检测）若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的性质，结合存在性质的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 显然在上单调递减， 所以，即实数a的取值范围为. 故选：D 64．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)若，求在区间上的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）当时，解方程可得函数的零点； （2）令，将问题转化为求函数在区间上的最大值，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可求得的表达式. 【详解】（1）解：当时，， 由可得，，所以. 即当时，函数的零点为. （2）解：令，即求在区间上的最大值. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则； ②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，，则； ③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，，则； ④当时，即当时，函数在区间上单调递减，所以. 综上所述. 65．（25-26高三上·四川眉山·阶段检测）已知函数且的图象经过． (1)设函数，求的定义域； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶次根式和分母的要求解指数不等式,即可得定义域; （2）恒成立问题转化为,再解一元二次不等式即可得到的取值范围. 【详解】（1）由题可知，解得或(舍去)． 令，即，则或，解得或， 所以的定义域为. （2）令， 则， 又，所以． 又，所以， 解得， 即的取值范围为． 66．（25-26高三上·浙江·期中）（多选）已知函数，，下列成立的是（    ） A．若是偶函数，则 B．的值域为 C．在上单调递减 D．当时，方程都有两个实数根 【答案】ACD 【分析】对于A选项，由偶函数定义可得答案. 对于B选项，因，则. 对于C选项，由复合函数单调性可得答案. 对于D选项，结合单调性可画出大致图像，方程根的个数即是与图像交点个数. 【详解】对于A选项，由于是偶函数，则即可得，故A正确. 对于B选项，注意到，又在R上单调递增， 则值域为，故B错误. 对于C选项，由B选项可知，在上单调递减，又在R上单调递增，由复合函数单调性“同增异减”可知，在上单调递减，故C正确. 对于D选项，由选项B，C可知，在上单调递增，在上单调递减，据此可画出大致图像如下，由图可知图像最高点所对应的纵坐标为.则当时，与图像交点个数为2，即方程都有两个实数根，故D正确. 故选：ACD 67．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上有最大值和最小值. (1)求，的值； (2)若不等式在时有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则原函数可转化为，再根据其最值和单调性即可求出的值； （2）设，化简得到，设，求函数的最大值得到答案. 【详解】（1）解：令，则原函数可转化为， 因为且对称轴， 所以在上单调递增， 由已知可得，解得； （2）解：由（1）知，. 令，由，得，则在上有解， 即在上有解. 令，，则， ，， 即实数k的取值范围为. 68．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知函数且. (1)若，求的值； (2)若在上的最大值为，求的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断是奇函数，再由即可求解； （2）讨论和时，函数在上的单调性，根据单调性求出最值列方程，解方程可得的值. 【详解】（1）因为的定义域为关于原点对称， ， 所以为奇函数，故. （2）， 若，则单调递减，单调递增， 可得为减函数， 当时，， 解得：，符合题意； 若，则单调递增，单调递减， 可得为增函数， 当时， 解得：，符合题意， 综上所述：的值为或. 典例十三：指数函数最值与不等式的综合问题 69．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 70．（25-26高三上·天津河北·开学考试）已知函数，． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若方程有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，再利用奇函数的定义验证即可； （2）由结合参变量分离可得，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围； （3）由参变分离得出，令，则，可得，构造函数，其中，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且该函数为奇函数， 所以，解得，则， 对任意的，，即函数为奇函数， 综上所述，. （2）对任意的，，则， 由可得， 所以， 因为函数在上为增函数，当时，，故， 因此实数的取值范围是. （3）因为， 由得，可得， 所以， 对任意的，，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 令，则，可得， 构造函数，其中， 对任意的、且， ，即，故函数在上单调递减， 故当时，，且， 所以函数在上的值域为，故实数的取值范围是. 71．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 72．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简，利用对勾函数的性质求其值域. （2）将化为分段函数后分类讨论，分别分离参数求解. （3）先根据函数的性质缩小的取值范围，然后根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时，. 当时，， 则，当，即时等号成立， 即在上的值域为． （2）. 当时，由，得， 因为，所以，所以，所以． 当时，由， 法一：当时，由， 得， 令，， 则， 由对勾函数的性质，可知， ，即． 综上所述，实数的取值范围． 法二：令，，则不等式化为， 由上述分析可知，只需考虑时的情况： 当时，有在上恒成立； 当时，则，故在时恒成立． 综上所述，实数的取值范围． （3）当时，，因为当时，， 所以在区间内必须恒大于等于0，且单调递减， 所以，解得． 当时，． 令，，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 故只需，即. 故实数的取值范围为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $