第二章 课时9 函数的零点与方程的解讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点与方程的解，涵盖零点定义、等价关系、存在定理及二分法等核心考点，按“基础梳理-考点突破-真题应用”逻辑架构知识，通过知识梳理夯实概念，考点扫描（区间判断、个数确定、参数应用）结合典例精讲与分层训练，帮助学生构建系统解题思路。 讲义突出数形结合与逻辑推理，如利用二次函数图象分析零点个数培养数学眼光，通过零点存在定理推导参数范围训练数学思维。设置基础回顾（判断正误、选择填空）与考点对点训练（选择、填空、解答），配合2026年高考真题示例，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

课时9 函数的零点与方程的解 一、课标要求 1. 结合具体函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系． 2. 结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 二、知识梳理 1. 函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使得 的实数x叫作函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点⇔函数y＝f(x)有 ． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在定理． 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 3. 二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 【拓展知识】 1．关注两个易错点 (1) 函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根． (2) 函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件． 2．记牢三个结论 (1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2) 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3) 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. （ ） （2）连续函数在区间内有零点，则. （ ） （3）若连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点． （ ） （4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值. （ ） 2．函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 3. 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　　) A．a>b>c B． b> c>a C．c>a>b D．b>a>c 4. 设f(x)=|x2－2x|，则函数y=f(x)－2 025的所有零点之和为　　　　　　.  四、考点扫描 考点一 函数零点所在区间的判断 例1 (1)（2026·天津高考）函数的零点所在区间是　　 A． B． C． D． (2)（多选题）若，则函数的零 点所在的区间可以为(　　) A．(－∞，a) B．(a，b) C．(b，c) D．(c，＋∞) 规律方法: 对点训练 （1）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． （2）已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝ ． 考点二 函数零点个数的判断 例2 (1) 函数f(x)=的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 规律方法： 对点训练（1）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）已知函数是定义在R上的偶函数且满足，当时，，则函数的零点个数为 . 考点三 函数零点的应用 考向1 由零点个数确定参数范围 例3 若函数在上有2个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考向2 由零点范围确定参数范围 例4 (2026·陕西渭南市模拟)设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ） A． B．e C． D．e2 规律方法： 对点训练 （1）已知函数的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A. B．(0，＋∞) C. D．(0,2] （2）（2026·山西阳泉市模拟）若函数在区间上存在零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课时9 函数的零点与方程的解参考答案 二、知识梳理 1．(1)f(x)＝0 (2) x轴 零点 (3) f(a)f(b)＜0 (a，b) f(c)＝0 3. 三、基础回顾 1．（1）×【解析】函数的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标. （2）×【解析】例如函数在区间内有零点（函数图象连续不断），但. （3）× 【解析】如f(x)=x2，f(1)f(－1)>0，但f(x)在区间(－1，1)上有零点0. （4）×【解析】只有图象穿过x轴的函数零点才可以用二分法求出零点的近似值. 2．B【解析】因为，，所以，所以零点所在区间为.故选B. 3. B 【解析】对于函数f(x)＝2x＋x，令2x＋x＝0，所以2x，所以，即；对于函数g(x)＝log2x＋x，令log2x＋x＝0，所以log2x，在同一坐标系中作图可得；对于函数h(x)＝x3+x＝x（x2+1），令h(x)＝0，得x=0，即c=0.综上，b> c>a.故选B. 4.　2 【解析】　由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)=|x2－2x|的图象如图所示， 根据图象可知y=f(x)－2 025共有2个零点，且2个零点关于直线x=1对称， 所以零点之和为2. 四、考点扫描 例1 (1) B 【解析】因为，， 又因为与在，上均单调递减， 所以在，上单调递减. 又因为，， ， 由零点存在定理可得，，使， 即函数的零点所在区间为．故选B． （2）BC 【解析】由于a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－a)(b－c)＜0， f(c)＝(c－b)(c－a)＞0.根据零点的存在定理可知， 函数的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.故选BC. 对点训练 （1） B 【解析】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是.故选B. （2）2 【解析】对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1；当x＝3时，可得y>1. 在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，所以函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2． 例2 (1)　D 【解析】　当x≤0时，x2－1=0，解得x=－1； 当x>0时，f(x)=x－2+ln x在(0，+∞)上单调递增，并且f(1)=1－2+ln 1=－1<0， f(2)=2－2+ln 2=ln 2>0，即f(1)f(2)<0， 所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点. 综上，函数f(x)的零点个数为2. （2） C【解析】　依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)， 所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，即函数f(x)是以2为周期的偶函数，令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示． 由图象可知，两函数图象共有12个交点，即函数g(x)共有12个零点．故选C. 对点训练（1）C 【解析】当时，由，得或0（舍去）； 当时，由解得或. 故共有3个零点.故选C. （2） 4 【解析】因为函数是定义在R上的偶函数且满足， 所以，所以，所以函数的周期为2. 由可得，所以函数的零点个数转化为函数的图象与的图象交点个数. 对于的定义域为， 因为， 所以为偶函数， 所以画出和在轴右侧的图象如图所示，有2个交点， 又和都是偶函数，所以轴左边也有2个交点. 综上所述，的图象与的图象交点个数为4， 即的零点个数为4. 例3 D【解析】令.依题意，方程在上有两个零点，即函数的图象与在上有两个交点.作出函数与的图象如图. 又，由图象可知，．故选D． 例4 D 【解析】设零点为t，则， 因此， 考虑函数，其导数， 因此函数在上单调递减，从而的最小值为．故选D. 对点训练（1）D 【解析】如图所示，作出函数f(x)的大致图象(实线)，平移直线y＝k－x， 由k－x＝x2＋2x＋2可得，x2＋3x＋2－k＝0，Δ＝9－8＋4k＝0，解得k＝－， 故当k＝－时，直线y＝－－x与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)相切； 当k＝0时，直线y＝－x经过点(0,0)，且与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)有2个不同的交点； 当k＝2时，直线y＝2－x经过点(0,2)，且与f(x)的图象有3个不同的交点． 由图分析可知，当k∈(0,2]时，f(x)的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点．故选D. （2） B 【解析】由在上单调递增，在上单调递增， 得函数在区间上单调递增. 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是.故选B. . 学科网（北京）股份有限公司 $