2.11 函数的零点与方程的解 讲义——2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数零点与方程的解，涵盖零点概念、零点与方程解的关系、零点存在定理、二分法及零点应用等高考核心考点，按概念-定理-方法-应用逻辑架构，通过考点梳理、规律总结、真题精讲、分层练习环节，帮助学生系统突破难点。 资料以数学思维和数学语言为导向，创新采用数形结合与分类讨论策略，如判断零点个数时结合图象与零点存在定理分析，设计基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第11节　函数的零点与方程的解 课标要求 1.了解函数的零点与方程的解的关系. 2.了解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 函数的零点 1.概念 对于一般函数y＝f（x），我们把使　f（x）＝0　的实数x叫做函数y＝f（x）的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系 3.函数零点存在定理 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有　f（a）f（b）＜0　，那么，函数y＝f（x）在区间　（a，b）　内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得　f（c）＝0　，这个c也就是方程f（x）＝0的解. 提醒：若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f（x）＝0的实根. 角度1　函数零点所在区间的判定 （1）（2025·天津高考7题）函数f（x）＝0.3x－的零点所在区间是（　B　） A.（0，0.3） B.（0.3，0.5） C.（0.5，1） D.（1，2） 解析： 易知f（x）单调递减，又f（0）＝1＞0，f（0.3）＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f（0.5）＝0.30.5－＝－＜0，所以f（x）的零点所在区间是（0.3，0.5），故选B. （2）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　A　） A.（a，b）和（b，c）内 B.（－∞，a）和（a，b）内 C.（b，c）和（c，＋∞）内 D.（－∞，a）和（c，＋∞）内 解析：函数y＝f（x）是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0.所以f（a）f（b）＜0，f（b）f（c）＜0，即f（x）在区间（a，b）和区间（b，c）内各有一个零点. 规律方法 1.确定函数的零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 2.函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断. 角度2　函数零点个数 （1）函数f（x）＝的零点个数为（　D　） A.5 B.4 C.3 D.2 解析： 当x≤0时，由x2－1＝0，解得x＝－1；当x＞0时，f（x）＝x－2＋ln x在（0，＋∞）上单调递增，并且f（1）＝1－2＋ln 1＝－1＜0，f（2）＝2－2＋ln 2＝ln 2＞0，即f（1）f（2）＜0，所以函数f（x）在区间（1，2）内必有一个零点，综上，函数f（x）的零点个数为2. （2）函数f（x）＝2x｜log2x｜－1的零点个数为（　C　） A.0 B.1 C.2 D.4 解析：令f（x）＝0，得｜log2x｜＝，在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝｜log2x｜与y＝的图象如图所示，由图可知，函数y＝｜log2x｜与y＝的图象有2个交点，即函数f（x）有2个零点.故选C. 规律方法 函数零点个数的判定方法 直接求零点 令f（x）＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点 利用函数 零点存在 定理 利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）f（b）＜0，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点 图象法 画两个函数的图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 练1 （1）〔一题多解〕函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是（　B　） A.0 B.1 C.2 D.3 （2）已知x0是函数f（x）＝＋ln x的一个零点，若x1∈（1，x0），x2∈（x0，＋∞），则（　D　） A.f（x1）＜0，f（x2）＜0 B.f（x1）＞0，f（x2）＞0 C.f（x1）＞0，f（x2）＜0 D.f（x1）＜0，f（x2）＞0 解析：（1）法一　因为f（0）·f（1）＝（－1）×1＝－1＜0，函数在定义域上单调递增且连续，所以函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.故选B. 法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间（0，1）内，两图象的交点个数即为f（x）的零点个数.故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.故选B. （2）在同一坐标系中作出函数y＝ln x与y＝的图象，如图所示.由图象易知，＞ln x1，从而ln x1－＜0，故ln x1＋＜0，即f（x1）＜0.同理f（x2）＞0.故选D. 二分法 （求函数零点近似值） 1.定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间　一分为二　，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤 （1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0； （2）求区间（a，b）的中点c； （3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间： ①若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点； ②若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c； ③若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c. （4）判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）. 用二分法求方程－＋1＝0在区间（2，3）内的根的近似值，至少经过　　4　　次二分后精确度达到0.1. 解析：∵开区间（2，3）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有＜0.1，解得n≥4，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1. 规律方法 二分法求函数零点的关注点 （1）验证零点所在的区间是否符合精确度要求； （2）区间内的任一值都可以作为零点的近似值，一般取端点作为零点的近似值. 练2 已知函数f（x）＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f（x）的零点的一个近似值（精确度为0.1）为（　　） x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 f（x） 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007 A.0.55 B.0.57 C.0.65 D.0.7 解析：B　易知f（x）在[0，1]上单调递增，由表格得f（0.562 5）f（0.625）＜0，且｜0.625－0.562 5｜＝0.062 5＜0.1，∴函数零点在（0.562 5，0.625）内，∴根据选项可知，函数f（x）的零点的一个近似值为0.57. 函数零点的应用 角度1　由零点个数求参数 已知函数f（x）＝若函数y＝f（x）－2只有两个零点，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，2） B.（－3，4） C.（－3，6） D.（－∞，－3]∪{6} 解析：D　当x≥1时，由f（x）－2＝ln x－1＝0，得x＝e，此时函数有一个零点，所以当x＜1时，y＝f（x）－2＝x2＋4x＋a－2有且仅有一个零点，即a＝－x2－4x＋2在（－∞，1）上有唯一解，即y＝－x2－4x＋2（x＜1）的图象与直线y＝a有且仅有一个交点.作出y＝－x2－4x＋2（x＜1）的图象如图所示，由图象可知：当a≤－3或a＝6时，y＝－x2－4x＋2（x＜1）的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，所以实数a的取值范围为（－∞，－3]∪{6}. 角度2　由零点的范围求参数 函数f（x）＝log2x＋x2＋m在区间（1，2）内存在零点，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，－5） B.（－5，－1） C.（1，5） D.（5，＋∞） 解析：B　由y1＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，y2＝x2＋m在（0，＋∞）上单调递增，得函数f（x）＝log2x＋x2＋m在区间（0，＋∞）上单调递增.因为函数f（x）＝log2x＋x2＋m在区间（1，2）内存在零点，所以即解得－5＜m＜－1，所以实数m的取值范围是（－5，－1）. 规律方法 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数（范围）； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 练3 （1）（2026·山东齐鲁名校大联考模拟）已知函数f（x）＝3x－.若存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（　B　） A.（－∞，） B.（0，） C.（－∞，0） D.（，＋∞） （2）设c∈R，函数f（x）＝ 若f（x）恰有一个零点，则c的取值范围是（　C　） A.［－，0） B.［，＋∞） C.{0}∪［，＋∞） D.[0，＋∞） 解析：（1）由f（x）＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g（x）＝3x－，其中x∈（－∞，－1），由于存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围即为函数g（x）在（－∞，－1）上的值域.由于函数y＝3x，y＝－在区间（－∞，－1）上均单调递增，所以函数g（x）在（－∞，－1）上单调递增.当x∈（－∞，－1）时，g（x）＝3x－＜g（－1）＝3－1＋1＝，又g（x）＝3x－＞0，所以函数g（x）在（－∞，－1）上的值域为（0，）.因此，实数a的取值范围是（0，）. （2）画出函数g（x）＝的图象如图所示，函数f（x）＝可由g（x）＝分段平移得到，易知当c＝0时，函数f（x）恰有一个零点，满足题意；当c＜0时，代表图象向上平移，显然没有零点，不符合题意；当c＞0时，图象向下平移，当0＜2c＜1时，函数有两个零点；当2c≥1时，f（x）恰有一个零点，满足题意，即c≥.综上，c的取值范围是{0}∪. （时间：60分钟，满分：91分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（　　） 解析：A　根据二分法的概念可知A不能用二分法求零点. 2.函数y＝（x－2）（2x＋1）的零点是（　　） A.2 B.（2，0） C.－2 D.2或－1 解析：A　由题意令y＝（x－2）（2x＋1）＝0，因为2x＋1＞1＞0，所以x－2＝0，即x＝2.故选A. 3.（2026·陕西安康模拟）函数f（x）＝e2x＋5x－2的零点所在区间为（　　） A.（－1，0） B.（0，） C.（，） D.（，1） 解析：B　∵f（0）＝－1＜0，f（）＝－＞0，且f（x）＝e2x＋5x－2为增函数，∴f（x）＝e2x＋5x－2的零点所在区间为（0，）.故选B. 4.函数f（x）＝的零点的个数为（　　） A.0　　　　B.1 C.2　　　　D.3 解析：C　当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，则（x－1）·（x＋3）＝0，解得x＝1（舍去）或x＝－3.当x＞0时，令ex－2＝0，解得x＝ln 2，所以f（x）的零点个数为2. 5.设函数f（x）＝x＋log2x－m，若函数f（x）在（，8）上存在零点，则实数m的取值范围是（　　） A.（－，5） B.（－，11） C.（，5） D.（，11） 解析：B　由函数f（x）＝x＋log2x－m在（，8）上单调递增，且函数f（x）在（，8）上存在零点，则解得－＜m＜11. 6.〔多选〕（2026·江苏徐州质检）已知函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则（　　） x 1 2 3 y 202.301 52.013 －10.581 x 4 5 6 y 3.273 －10.733 －156.314 A.f（x）在区间（2，3）内不一定单调 B.f（x）在区间（5，6）内可能存在零点 C.f（x）在区间（5，6）内一定不存在零点 D.f（x）至少有3个零点 解析：ABD　由题表可知f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，所以f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＜0，f（4）f（5）＜0，因为函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f（x）在区间（2，3），（3，4），（4，5）均存在零点，即f（x）至少有3个零点，故D正确；对于A，由于只知道f（2），f（3）的函数值，故无法判断f（x）在区间（2，3）内的单调性，故A正确；对于B、C，虽然f（5）＜0，f（6）＜0，但是函数f（x）在（5，6）内的取值情况未知，所以函数f（x）在（5，6）内可能存在零点，故B正确，C错误.故选A、B、D. 7.〔多选〕（2026·广东湛江调研）已知函数f（x）＝｜2x－1｜－a，g（x）＝x2－4｜x｜＋2－a，则（　　） A.当g（x）有2个零点时，f（x）只有1个零点 B.当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点 C.当f（x）有2个零点时，g（x）有2个零点 D.当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点 解析：BD　作出y＝｜2x－1｜，y＝x2－4｜x｜＋2的大致图象，如图所示.由图可知，当g（x）有2个零点时，f（x）无零点或只有1个零点；当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点；当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点. 8.已知函数f（x）＝（a∈R）在R上没有零点，则实数a的取值范围是　（－∞，－1）∪{0}　. 解析：设g（x）＝g（x）的图象如图所示.问题转化为g（x）与函数y＝－a的图象没有交点，所以－a＝0或－a＞1，解得a＝0或a＜－1. 9.函数f（x）＝·cos x的零点个数为　6　. 解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f（x）的定义域为[－6，6].令f（x）＝0得36－x2＝0或cos x＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，∴x为－，－，，.故f（x）共有6个零点. 10.（13分）函数f（x）＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. （1）求b，c的值； （2）若函数g（x）＝f（x）＋mx的两个零点分别在区间（1，2），（2，4）内，求m的取值范围. 解：（1）由题意知2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，∴∴ （2）由（1）知f（x）＝x2－5x＋6. ∴g（x）＝x2＋（m－5）x＋6， 依题意得解得－＜m＜0， 故实数m的取值范围是. 11.“a≤0”是“函数f（x）＝有且只有一个零点”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　当x＞0时，令f（x）＝0，则ln x＝0，∴x＝1，∴当x＞0时，f（x）有一个零点为1，∵函数f（x）只有一个零点，∴当x≤0时，f（x）＝－2x＋a无零点，即a＞2x或a＜2x，∵当x≤0时，2x∈（0，1]，∴a＞1或a≤0，∴“a≤0”是“函数f（x）＝有且只有一个零点”的充分不必要条件.故选A. 12.已知函数f（x）＝则函数y＝f（f（x）＋1）的零点个数是（　　） A.2　　　　B.3 C.4　　　　D.5 解析：D　令t＝f（x）＋1＝①当t＞0时，f（t）＝ln t－，易知函数f（t）在（0，＋∞）上单调递增，因为f（1）＝－1＜0，f（2）＝ln 2－＞0，所以由零点存在定理可知，存在t1∈（1，2），使得f（t1）＝0；②当t≤0时，f（t）＝t2＋2t，由f（t）＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f（x）＋1的图象，直线t＝t1、t＝－2、t＝0，如图所示.由图象可知：直线t＝t1与函数t＝f（x）＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f（x）＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f（x）＋1的图象有一个交点.综上所述，函数y＝f（f（x）＋1）的零点个数为5.故选D. 13.〔多选〕已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则（　　） A.x1＋x2＞0 B.x1x2＜0 C.＋ln x2＝0 D.x1x2－x1＋x2＞1 解析：BC　依题意，x1＋＝0⇔＝－x1，x2＋ln x2＝0⇔ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x的图象交点的横坐标，而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点（x1，）与点（x2，ln x2）关于直线y＝x对称，则x2＝＝－x1＞0，于是x1＋x2＝0，x1x2＜0，＋ln x2＝0，B、C正确，A错误；易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，则x1x2－x1＋x2－1＝（x1＋1）（x2－1）＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，D错误.故选B、C. 14.（15分）（2026·甘肃天水模拟）已知函数f（x）＝log2（2＋x）－log2（2－x）. （1）判断f（x）的奇偶性； （2）若关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根，求实数a的取值范围. 解：（1）f（x）为奇函数，理由如下： 由题意得解得－2＜x＜2，即函数f（x）的定义域为（－2，2），故定义域关于原点对称. 又f（－x）＝log2（2－x）－log2（2＋x）＝－f（x）， 故f（x）为奇函数. （2）由f（x）＝log2（a＋x）， 得log2（2＋x）－log2（2－x）＝log2（a＋x）， 所以＝a＋x，所以a＝－x＝－x＝＋（2－x）－3， 故方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根可转化为方程a＝＋（2－x）－3在区间（－2，2）上有两个不同的实数根， 即函数y＝a与y＝＋（2－x）－3在区间（－2，2）上的图象有两个交点. 设t＝2－x，x∈（－2，2），则y＝＋t－3，t∈（0，4）. 作出函数y＝＋t－3，t∈（0，4）的图象，如图所示. 当1＜a＜2时，函数y＝a与y＝＋t－3，t∈（0，4）的图象有两个交点，即关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根， 故实数a的取值范围是（1，2） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11节　函数的零点与方程的解 1.了解函数的零点与方程的解的关系. 2.了解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 　　 函数的零点 1.概念 对于一般函数y＝f（x），我们把使　　　　的实数x叫做函数y＝f（x）的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系 3.函数零点存在定理 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有　　　　　，那么，函数y＝f（x）在区间　　　　内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得　　　，这个c也就是方程f（x）＝0的解. 提醒：若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f（x）＝0的实根. 角度1　函数零点所在区间的判定 （1）（2025·天津高考7题）函数f（x）＝0.3x－的零点所在区间是（　　） A.（0，0.3） B.（0.3，0.5） C.（0.5，1） D.（1，2） （2）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　　） A.（a，b）和（b，c）内 B.（－∞，a）和（a，b）内 C.（b，c）和（c，＋∞）内 D.（－∞，a）和（c，＋∞）内 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.确定函数的零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 2.函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断. 角度2　函数零点个数 （1）函数f（x）＝的零点个数为（　　） A.5　　　　B.4 C.3　　　　D.2 （2）函数f（x）＝2x｜log2x｜－1的零点个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.4 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 函数零点个数的判定方法 直接求 零点 令f（x）＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点 利用函数零点存在 定理 利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）f（b）＜0，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点 图象法 画两个函数的图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 练1 （1）〔一题多解〕函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 （2）已知x0是函数f（x）＝＋ln x的一个零点，若x1∈（1，x0），x2∈（x0，＋∞），则（　　） A.f（x1）＜0，f（x2）＜0 B.f（x1）＞0，f（x2）＞0 C.f（x1）＞0，f（x2）＜0 D.f（x1）＜0，f（x2）＞0 二分法 （求函数零点近似值） 1.定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间　　　　　　，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤 （1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0； （2）求区间（a，b）的中点c； （3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间： ①若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；②若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；③若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c. （4）判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）. 用二分法求方程－＋1＝0在区间（2，3）内的根的近似值，至少经过　　　　次二分后精确度达到0.1. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二分法求函数零点的关注点 （1）验证零点所在的区间是否符合精确度要求； （2）区间内的任一值都可以作为零点的近似值，一般取端点作为零点的近似值. 练2 已知函数f（x）＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f（x）的零点的一个近似值（精确度为0.1）为（　　） x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 f（x） 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007 A.0.55 B.0.57 C.0.65 D.0.7 函数零点的应用 角度1　由零点个数求参数 已知函数f（x）＝若函数y＝f（x）－2只有两个零点，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，2） B.（－3，4） C.（－3，6） D.（－∞，－3]∪{6} 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度2　由零点的范围求参数 函数f（x）＝log2x＋x2＋m在区间（1，2）内存在零点，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，－5） B.（－5，－1） C.（1，5） D.（5，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数（范围）； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 练3 （1）（2026·山东齐鲁名校大联考模拟）已知函数f（x）＝3x－.若存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，） B.（0，） C.（－∞，0） D.（，＋∞） （2）设c∈R，函数f（x）＝ 若f（x）恰有一个零点，则c的取值范围是（　　） A.［－，0） B.［，＋∞） C.{0}∪［，＋∞） D.[0，＋∞） 第11节　函数的零点与方程的解 （时间：60分钟，满分：91分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.函数y＝（x－2）（2x＋1）的零点是（　　） A.2 B.（2，0） C.－2 D.2或－1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.（2026·陕西安康模拟）函数f（x）＝e2x＋5x－2的零点所在区间为（　　） A.（－1，0） B.（0，） C.（，） D.（，1） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.函数f（x）＝的零点的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.设函数f（x）＝x＋log2x－m，若函数f（x）在（，8）上存在零点，则实数m的取值范围是（　　） A.（－，5） B.（－，11） C.（，5） D.（，11） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.〔多选〕（2026·江苏徐州质检）已知函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则（　　） x 1 2 3 y 202.301 52.013 －10.581 x 4 5 6 y 3.273 －10.733 －156.314 A.f（x）在区间（2，3）内不一定单调 B.f（x）在区间（5，6）内可能存在零点 C.f（x）在区间（5，6）内一定不存在零点 D.f（x）至少有3个零点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.〔多选〕（2026·广东湛江调研）已知函数f（x）＝｜2x－1｜－a，g（x）＝x2－4｜x｜＋2－a，则（　　） A.当g（x）有2个零点时，f（x）只有1个零点 B.当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点 C.当f（x）有2个零点时，g（x）有2个零点 D.当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.已知函数f（x）＝（a∈R）在R上没有零点，则实数a的取值范围是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.函数f（x）＝·cos x的零点个数为　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.（13分）函数f（x）＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. （1）求b，c的值； （2）若函数g（x）＝f（x）＋mx的两个零点分别在区间（1，2），（2，4）内，求m的取值范围. 11.“a≤0”是“函数f（x）＝有且只有一个零点”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12.已知函数f（x）＝则函数y＝f（f（x）＋1）的零点个数是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.〔多选〕已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则（　　） A.x1＋x2＞0 B.x1x2＜0 C.＋ln x2＝0 D.x1x2－x1＋x2＞1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14.（15分）（2026·甘肃天水模拟）已知函数f（x）＝log2（2＋x）－log2（2－x）. （1）判断f（x）的奇偶性； （2）若关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根，求实数a的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $