2.10 函数的零点与方程的解讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点与方程的解核心考点，涵盖零点存在定理、个数判断、区间确定及含参问题等高考高频内容，按考向预测、双基自测、核心梳理、题型突破、限时训练的逻辑架构系统整合知识点。通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化实战应用，助力学生突破数形结合、分类讨论等难点，体现复习教学的系统性与针对性。 资料以数学思维与数学语言为导向，创新采用“题型分类+分层突破”教学策略，如在零点个数判断中结合函数图象与性质分析，引导学生用数学眼光抽象问题本质。设置基础巩固、能力提升、综合应用三级限时训练，配合即时反馈机制，确保高效利用复习时间。既培养学生逻辑推理与直观想象素养，又为教师提供精准复习节奏把控依据，有效提升学生应考能力。

第二章 函 数 §2.10　函数的零点与方程的解 【高考考向预测】 近三年高考函数零点与方程的解考查频次较高，多以选择填空为主，也常融入函数综合题，重点考查零点存在定理、零点个数判断、零点区间确定及数形结合转化交点问题，常结合各类基本函数联合出题；预测2027 年仍为热门考点，命题更侧重含参零点问题、分段函数零点分析与零点范围探究，强化函数与方程思想运用，注重结合不等式、导数综合设问，侧重逻辑分析与数形结合解题能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. (　 　) (2)连续函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0. (　 　) (3)连续函数y=f(x)在区间(a，b)上单调，则f(x)在区间(a，b)上有一个零点. (　 　) (4)求函数零点的近似值都可以用二分法. (　 　) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）× 2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　) 【答案】C 【解析】根据函数零点存在定理可知，函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线，若在区间[a，b]上满足f(a)f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上存在零点；根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足f(a)f(b)<0，所以C选项不能用二分法求图中函数零点近似值. 3.(2026·沈阳模拟)已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，且对应关系如表. x 1 1.5 1.75 1.875 2 y -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则f(x)在[1，2]上的零点(　　) A.只有1个 B.至少有2个 C.至多有2个 D.只有2个 【答案】B 【解析】因为函数y=f(x)的图象是连续不间断的，且f(1.75)f(1.875)<0， 所以根据函数零点存在定理，函数f(x)在区间(1.75，1.875)上至少存在一个零点； 同理，由f(1.875)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1.875，2)上至少存在一个零点， 因此函数f(x)在区间[1，2]上至少存在2个零点. 4.设f(x)=|x2-2x|，则函数y=f(x)-2 026的所有零点之和为　　　　　　.  【答案】2 【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)=|x2-2x|的图象如图所示， 根据图象可知y=f(x)-2 026共有2个零点，且2个零点关于直线x=1对称，所以零点之和为2. 【核心梳理●明考点】 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 1.谨记三个相关性质 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实数解. (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 2.谨防两个易错易混 (1)连续函数f(x)在区间[a，b]上，若满足f(a)f(b)<0，则在区间[a，b]上至少有一个零点，反之不一定. (2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对二次项系数的讨论. 【题型突破●明方向】 题型一　函数零点所在区间的判定 例1　(1)(2025·天津)函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是 (　　) A.(0，0.3) B.(0.3，0.5) C.(0.5，1) D.(1，2) 【答案】B 【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知y=0.3x在R上单调递减，y=在[0，+∞)上单调递增， 所以f(x)=0.3x-在定义域[0，+∞)上单调递减，又f(0)=1>0，f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0， f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0， 所以根据函数零点存在定理可知，f(x)的零点所在区间为(0.3，0.5). (2)用二分法求方程ln x=2-x的近似解，最初选取的区间为[1，2]，要求精确度为0.01，则所需二分区间的次数最少为　　　　.  【答案】7 【解析】区间[1，2]的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n(n∈N*)次此操作后，区间长度变为. 要求精确度为0.01，所以<0.01，n∈N*. 因为=>0.01，=<0.01，所以n≥7，即所需二分区间的次数最少为7. 【思维升华】确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 【跟踪训练】1　(1)(2025·随州模拟)已知函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(m，m+1)(m∈Z)上，则m=　　　　　.  【答案】-2 【解析】因为函数f(x)=e-x-2x-5在R上单调递减， f(-2)=e2-1>0，f(-1)=e-3<0， 所以f(-2)f(-1)<0，所以函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(-2，-1)上，所以m=-2. (2)(2025·宣城期末)已知函数f(x)=x3+3x-6，利用二分法求f(x)的零点的近似值x0，若零点的初始区间为[0，2]，精确度为0.3，则x0可以是(　　) A.0.35 B.0.65 C.1.45 D.1.85 【答案】C 【解析】因为f(x)=x3+3x-6，则f(0)=-6<0，f(2)=23+3×2-6=8>0， 又f(1)=1+3-6=-2<0，f=+3×-6=>0， f=+3×-6=-<0， 由函数零点存在定理知，f(x)的零点位于区间上，且-=0.25<0.3，满足精确度，所以结合选项，x0可以是1.45. 题型二　函数零点个数的判定 例2　(1)函数f(x)=·cos x的零点个数为　　　　.  【答案】6 【解析】令36-x2≥0，解得-6≤x≤6， 所以f(x)的定义域为[-6，6]. 令f(x)=0得36-x2=0或cos x=0， 由36-x2=0得x=±6， 由cos x=0得x=+kπ，k∈Z， 又x∈[-6，6]，所以x的取值为-，-，，. 故f(x)共有6个零点. (2)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1]时，f(x)=x2，则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是(　　) A.9 B.10 C.11 D.18 【答案】B 【解析】由题意，分别画出函数y=f(x)和y=|lg x|的图象，如图所示， 显然f(x)的值域为[0，1]，易知lg 9<1，lg 10=1，lg 11>1，且当x>11时，两函数图象无交点， 由图可知，y=f(x)与y=|lg x|的图象共有10个交点，故原函数有10个零点. 【思维升华】求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)=0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点. (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 【跟踪训练】2　(1)函数f(x)=的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】当x≤0时，x2-1=0，解得x=-1； 当x>0时，f(x)=x-2+ln x在(0，+∞)上单调递增，并且f(1)=1-2+ln 1=-1<0， f(2)=2-2+ln 2=ln 2>0， 即f(1)f(2)<0， 所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2. (2)(2026·渭南模拟)函数f(x)=3x|log2x|-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】函数f(x)=3x|log2x|-1的零点， 即3x|log2x|-1=0的解， 即|log2x|=的解， 即y=|log2x|与y=图象的交点，如图所示， 从函数图象可知，y=|log2x|与y=有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2. 题型三　函数零点的应用 命题点1　根据函数零点个数求参数 例3　(2026·西宁期中)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，0]∪(2，+∞) B.(-1，1]∪(3，+∞) C.(-1，1] D.[1，+∞) 【答案】B 【解析】函数y=f(x)-a有且仅有2个零点，则y=f(x)与y=a的图象有2个交点， 当x>1时，f(x)=x+ln x单调递增，且f(x)>1； 当x≤1时，f(x)=x2+2x在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，1]上单调递增，且f(1)=3，最小值为f(-1)=-1， 可得函数y=f(x)的图象，如图所示， 由图象知实数a的取值范围是(-1，1]∪(3，+∞). 命题点2　根据函数零点的范围求参数 例4　已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(1，2)，使得f(x0)=0，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【答案】(1，8) 【解析】令f(x)=3x-=0，可得a=3x-， 令g(x)=3x-，其中x∈(1，2)， 由于存在x0∈(1，2)，使得f(x0)=0， 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(1，2)上的值域. 由于函数y=3x，y=-在区间(1，2)上均单调递增，所以函数g(x)在(1，2)上单调递增. 又因为g(1)=1，g(2)=8， 所以函数g(x)在(1，2)上的值域为(1，8). 因此实数a的取值范围是(1，8). 【思维升华】根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围. (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 【跟踪训练】3　(1)(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点，则a等于(　　) A.-1 B. C.1 D.2 【答案】D 【解析】令h(x)=f(x)-g(x) =ax2+a-1-cos x，x∈(-1，1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零点， 因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x) =ax2+a-1-cos x=h(x)， 则h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0， 即h(0)=a-2=0，解得a=2. (2)(2025·宁波模拟)已知曲线y=+ax与直线y=x在y轴右侧无交点，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【答案】[1，+∞) 【解析】当x>0时，y=+ax与y=x的图象无交点， 即方程+ax=x无正实数解. 当a=1时，方程即为=0，显然无正实数解，符合题意； 当a≠1时，由+ax=x，解得x=， ∴≤0，∴1-a<0，即a>1. 综上，a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞). 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线， 由函数零点存在定理可知，当f(a)·f(b)<0时，函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点，充分性成立； 而函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点时，f(a)·f(b)<0不一定成立， 则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的充分不必要条件. 2.在用二分法求方程3x+2x-10=0在(1，2)上的近似解时，构造函数f(x)=3x+2x-10，依次计算得f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是(　　) A.(1，1.5) B.(1.5，1.625) C.(1.625，1.75) D.(1.75，2) 【答案】C 【解析】由f(1)<0，f(1.5)<0，f(1.625)<0，f(1.75)>0，f(2)>0，根据二分法可知该近似解所在的区间是(1.625，1.75). 3.已知函数f(x)=3x-4，则方程f(x)=2x的根的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】方程f(x)=2x即为2x=3x-4，即3x=2x+4， 则方程f(x)=2x的根的个数，即为函数y=3x和y=2x+4的图象交点的个数， 作出函数y=3x和y=2x+4的图象，如图， 由图可知，两个图象有2个交点，所以方程f(x)=2x有2个根. 4.(2026·武汉期中)函数f(x)=cos 2x·(ln x-2π+1)，x∈(0，2π]的零点个数为(　　) A.4 B.5 C.3 D.2 【答案】A 【解析】f(x)=0⇒cos 2x=0或ln x-2π+1=0. 若cos 2x=0⇒2x=kπ+，k∈Z⇒x=+，k∈Z， ∵x∈(0，2π]，∴x=或或或； 若ln x-2π+1=0，解得x=e2π-1>e5>2π，舍去， 故函数f(x)只有4个零点. 5.函数f(x)=+x2+m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-18) B.(4+，+∞) C.(4+，18) D.(-18，-4-) 【答案】D 【解析】函数f(x)=+x2+m在(2，4)上的图象连续不断，且f(x)单调递增， 若f(x)=+x2+m在区间(2，4)上存在零点， 根据函数零点存在定理可知，只需满足f(2)f(4)<0， 即(m+4+)(m+18)<0， 解得-18<m<-4-， 所以实数m的取值范围是(-18，-4-). 6.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x-a，若函数g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.[-1，0) B.[1，+∞) C.(-∞，1] D.[2，+∞) 【答案】D 【解析】由函数f(x)= 因为g(x)=f(x)-x-a，令g(x)=0， 即f(x)=x+a，由函数g(x)有2个零点，即y=f(x)和y=x+a的图象有两个交点， 在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示， 结合函数的图象，要使函数g(x)有2个零点，则a≥2， 所以实数a的取值范围为[2，+∞). 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.在下列区间内，函数f(x)=9lg x-x2+9有零点的是(　　) A.(0，1) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 【答案】AC 【解析】因为f(x)的定义域为(0，+∞)，分别画出函数y=9lg x与y=x2-9的图象，如图所示， 结合图象可知两函数图象的交点有2个， 易知f(x)在(0，1)内有零点， 又因为f(3)=9lg 3-9+9=9lg 3>0， f(4)=9lg 4-16+9=3lg 64-7<3lg 100-7=-1<0， 所以f(3)f(4)<0，所以f(x)在(3，4)内有零点. 8.(2025·大连模拟)已知x1，x2分别是函数f(x)=2x-和g(x)=log2x-的零点，则(　　) A.-x2=0 B.log2x1+log2x2=0 C.x2>2 D.·log2x2=1 【答案】ABD 【解析】由题设知，f(x)的零点为函数y=2x与函数y=图象交点的横坐标；g(x)的零点为函数y=log2x与函数y=图象交点的横坐标，由y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称，y=的图象关于直线y=x对称， 所以x1，x2关于直线y=x对称，y=2x，y=log2x，y=的图象如图所示， 所以点(x1，)与点(x2，log2x2)关于直线y=x对称， 即 故-x2=0，·log2x2=1， log2x1+log2x2=log2(x1x2)=0，A，B，D对； 若x2>2，即x2=>2⇒x1>1，此时x1x2>2，与x1x2=1矛盾，C错. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)=则函数y=f(x)的零点是　　　　　　.  【答案】-1和4 【解析】依题意，或 解得x=-1或x=4. 10.(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)=若∃m∈R，方程f(x)=m有三个实数根，则实数a的取值范围是　　　　　.  【答案】 【解析】当a≥0时，函数y=x2在[a，+∞)上单调递增，且最小值为a2，函数y=2x+3在(-∞，a)上单调递增，且y<2a+3，如图1所示， 由图象可知，无论2a+3≥a2，还是2a+3<a2，函数f(x)的图象与直线y=m都不可能有三个交点，不符合题意； 当a<0时，函数y=x2在(0，+∞)上单调递增，在[a，0)上单调递减，则有y≥0， 函数y=2x+3在(-∞，a)上单调递增，且y<2a+3，如图2所示， 要想函数f(x)的图象与直线y=m可能有三个交点， 只需2a+3>0，即-<a<0. 综上，实数a的取值范围为. 四、解答题(共28分) 11.(13分)已知二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，且有一个零点为c. (1)求c；(6分) (2)若函数g(x)=f(x)-mx+1在(1，3)上有两个零点，求m的取值范围.(7分) 【解析】(1)由二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)， 可得=2，解得b=4. 又因为f(x)有一个零点为c， 则f(c)=c2-4c+c=0， 解得c=3或c=0(舍去). 故c=3. (2)由(1)可知g(x)=x2-4x+3-mx+1 =x2-(4+m)x+4， 因为g(x)在(1，3)上有两个零点， 则满足 解得0<m<， 所以实数m的取值范围为. 12.(15分)(2025·天水模拟)已知函数f(x)=log2(2+x)-log2(2-x). (1)判断f(x)的奇偶性；(6分) (2)若关于x的方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.(9分) 【解析】(1)f(x)为奇函数，理由如下： 由题意得解得-2<x<2，即函数f(x)的定义域为(-2，2)，故定义域关于原点对称. 又f(-x)=log2(2-x)-log2(2+x)=-f(x)， 故f(x)为奇函数. (2)由f(x)=log2(a+x)， 得log2(2+x)-log2(2-x)=log2(a+x)， 所以=a+x， 所以a=-x=-x =+(2-x)-3， 故方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根可转化为方程a=+(2-x)-3在区间(-2，2)上有两个不同的实数根，即函数y=a与y=+(2-x)-3在区间(-2，2)上的图象有两个交点. 设t=2-x，x∈(-2，2)，则y=+t-3，t∈(0，4). 作出函数y=+t-3，t∈(0，4)的图象，如图所示. 当1<a<2时，函数y=a与y=+t-3，t∈(0，4)的图象有两个交点，即关于x的方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根， 故实数a的取值范围是(1，2). [每小题5分，共10分] 13.(2025·石家庄模拟)函数f(x)=sin在上的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】令t=x+，根据对勾函数的性质可知，函数t=x+在上单调递减，在(1，10)上单调递增，且t(1)=2，t=t(10)=. 所以当x∈时，t∈， 由y=sin t=0⇒t=kπ，k∈Z. 只有当k=1，2，3时，t的值分别对应π，2π，3π∈. 又因为x+=π，2π，3π在上各有2个解， 所以f(x)在上有6个零点. 14.(2026·银川模拟)当x∈[0，4]时，函数y=2x-2+mx2与y=4mx-2-x+2的图象有唯一的交点，则实数m的值为　　　　.  【答案】 【解析】当x∈[0，4]时，函数y=2x-2+mx2与y=4mx-2-x+2的图象有唯一的交点， 则关于x的方程2x-2+mx2=4mx-2-x+2在[0，4]上有唯一解， 即f(x)=2x-2+2-x+2+mx2-4mx在[0，4]上有唯一零点， 因为f(x)=2x-2+2-x+2+m(x-2)2-4m， 所以f(x)的图象关于直线x=2对称， 又f(x)在[0，4]上存在唯一零点， 所以f(2)=0，解得m=. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函 数 §2.10　函数的零点与方程的解 【高考考向预测】 近三年高考函数零点与方程的解考查频次较高，多以选择填空为主，也常融入函数综合题，重点考查零点存在定理、零点个数判断、零点区间确定及数形结合转化交点问题，常结合各类基本函数联合出题；预测2027 年仍为热门考点，命题更侧重含参零点问题、分段函数零点分析与零点范围探究，强化函数与方程思想运用，注重结合不等式、导数综合设问，侧重逻辑分析与数形结合解题能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. (　 　) (2)连续函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0. (　 　) (3)连续函数y=f(x)在区间(a，b)上单调，则f(x)在区间(a，b)上有一个零点. (　 　) (4)求函数零点的近似值都可以用二分法. (　 　) 2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　) 3.(2026·沈阳模拟)已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，且对应关系如表. x 1 1.5 1.75 1.875 2 y -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则f(x)在[1，2]上的零点(　　) A.只有1个 B.至少有2个 C.至多有2个 D.只有2个 4.设f(x)=|x2-2x|，则函数y=f(x)-2 026的所有零点之和为　　　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 1.谨记三个相关性质 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实数解. (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 2.谨防两个易错易混 (1)连续函数f(x)在区间[a，b]上，若满足f(a)f(b)<0，则在区间[a，b]上至少有一个零点，反之不一定. (2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对二次项系数的讨论. 【题型突破●明方向】 题型一　函数零点所在区间的判定 例1　(1)(2025·天津)函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是 (　　) A.(0，0.3) B.(0.3，0.5) C.(0.5，1) D.(1，2) (2)用二分法求方程ln x=2-x的近似解，最初选取的区间为[1，2]，要求精确度为0.01，则所需二分区间的次数最少为　　　　.  【跟踪训练】1　(1)(2025·随州模拟)已知函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(m，m+1)(m∈Z)上，则m=　　　　　.  (2)(2025·宣城期末)已知函数f(x)=x3+3x-6，利用二分法求f(x)的零点的近似值x0，若零点的初始区间为[0，2]，精确度为0.3，则x0可以是(　　) A.0.35 B.0.65 C.1.45 D.1.85 题型二　函数零点个数的判定 例2　(1)函数f(x)=·cos x的零点个数为　　　　.  (2)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1]时，f(x)=x2，则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是(　　) A.9 B.10 C.11 D.18 【跟踪训练】2　(1)函数f(x)=的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)(2026·渭南模拟)函数f(x)=3x|log2x|-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 题型三　函数零点的应用 命题点1　根据函数零点个数求参数 例3　(2026·西宁期中)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，0]∪(2，+∞) B.(-1，1]∪(3，+∞) C.(-1，1] D.[1，+∞) 命题点2　根据函数零点的范围求参数 例4　已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(1，2)，使得f(x0)=0，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【跟踪训练】3　(1)(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点，则a等于(　　) A.-1 B. C.1 D.2 (2)(2025·宁波模拟)已知曲线y=+ax与直线y=x在y轴右侧无交点，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在用二分法求方程3x+2x-10=0在(1，2)上的近似解时，构造函数f(x)=3x+2x-10，依次计算得f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是(　　) A.(1，1.5) B.(1.5，1.625) C.(1.625，1.75) D.(1.75，2) 3.已知函数f(x)=3x-4，则方程f(x)=2x的根的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 4.(2026·武汉期中)函数f(x)=cos 2x·(ln x-2π+1)，x∈(0，2π]的零点个数为(　　) A.4 B.5 C.3 D.2 5.函数f(x)=+x2+m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-18) B.(4+，+∞) C.(4+，18) D.(-18，-4-) 6.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x-a，若函数g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.[-1，0) B.[1，+∞) C.(-∞，1] D.[2，+∞) 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.在下列区间内，函数f(x)=9lg x-x2+9有零点的是(　　) A.(0，1) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 8.(2025·大连模拟)已知x1，x2分别是函数f(x)=2x-和g(x)=log2x-的零点，则(　　) A.-x2=0 B.log2x1+log2x2=0 C.x2>2 D.·log2x2=1 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)=则函数y=f(x)的零点是　　　　　　.  10.(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)=若∃m∈R，方程f(x)=m有三个实数根，则实数a的取值范围是　　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)已知二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，且有一个零点为c. (1)求c；(6分) (2)若函数g(x)=f(x)-mx+1在(1，3)上有两个零点，求m的取值范围.(7分) 12.(15分)(2025·天水模拟)已知函数f(x)=log2(2+x)-log2(2-x). (1)判断f(x)的奇偶性；(6分) (2)若关于x的方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.(9分) [每小题5分，共10分] 13.(2025·石家庄模拟)函数f(x)=sin在上的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 14.(2026·银川模拟)当x∈[0，4]时，函数y=2x-2+mx2与y=4mx-2-x+2的图象有唯一的交点，则实数m的值为　　　　.  第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $