第二章 课时5 二次函数与幂函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦二次函数与幂函数核心考点，按课标要求系统梳理幂函数定义、图象规律及二次函数解析式、图象性质，通过知识梳理夯实基础，基础回顾检测漏洞，考点扫描结合真题示例与对点训练强化解题方法，构建针对性复习体系。 讲义创新采用分类突破策略，如二次函数最值分“定轴动区间”“动轴定区间”专题讲解，培养学生数学思维与逻辑推理能力。拓展延伸一次分式、对勾函数等特殊函数性质，配合分层练习与即时反馈，高效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

课时5 二次函数与幂函数 一、课标要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 二、知识梳理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，把形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为 ；当α为偶数时，y＝xα为 ． 2．二次函数 (1) 二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ ． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的 ． (2) 二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递 ； 在上单调递 在上单调递 ； 在上单调递 【拓展知识】 1.幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质； 2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数. （ ） （2）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0 . (　 　) （3）二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)． (　 ) （4）若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数． (　 　) 2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2)，则f(9)的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 3.若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　) A B C D 4．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 四、考点扫描 考点一 幂函数的图象与性质 例1 (1) 幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A.a>b>c>d B.d>b>c>a C.d>c>b>a D.b>c>d>a (2)（2025春·上海高考）已知幂函数在上是严格减函数，且图象过点，则的值可能是　　 A． B． C． D．3 （3）(2025·河北石家庄市调研)已知幂函数的图象过点 是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 规律方法： 对点训练 （1）设，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.a>b>c D.b<c<a （2）(2025·山东德州市模拟)已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 考点二 二次函数的图象及其性质 例2 （1）(2025·重庆市模拟)已知函数，且m，n是方程的两根，则实数a，b，m，n的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． （2） (多选题)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的有(　　) A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0 C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0 对点训练 （1）已知函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  （2）已知二次函数f(x)的图象过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且对任意x∈R，都有f(2－x)=f(2+x)，则f(x)=　　　　　 .  考点三　二次函数的最值 考向1　定轴动区间 例3 已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b=(　　) A．－4 B. C．2 D. 考向2　动轴定区间 例4 (2025·福建福州一中检测)已知函数，其中是实数． (1)在区间上的最大值记为，求的表达式； (2)在区间上的最小值记为，求的表达式； (3)若，求实数的值． 规律方法： 对点训练 （1）(2025·江苏镇江市模拟)若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . （2）已知函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 拓展与延伸4 几类特殊函数及其性质 一、 考情分析 高考中以几个常见的函数为载体，考查数学建模、逻辑推理和数学运算的素养. 二、知识梳理 1. 一次分式函数 (1)定义：我们把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数. (2)图象 (3)性质 ①定义域：，值域； ②图象的对称中心：； ③渐近线方程：x＝－和y＝； ④单调性：当ad＞bc时，函数在区间(－∞，－)和上分别单调递减；当ad＜bc时，函数在区间和(－，＋∞)上分别单调递增. 2. 对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0) (1)性质 ①奇偶性：奇函数； ②单调性：单调递增区间：，，单调递减区间：，； ③渐近线：y＝ax和x＝0. (2)图象 3. 飘带函数y＝ax－(a＞0，b＞0) (1)性质 ①奇偶性：奇函数； ②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增； ③渐近线：x＝0. (2)图象 4. 高斯函数y＝[x] (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数. (2)性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. (3)图象 5. 狄利克雷函数D(x)＝的性质 (1)定义域为R；值域为{0，1}. (2)奇偶性：偶函数. (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. (4)无法作出函数的图象，但其图象客观存在. 6. 最值函数的概念 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样地，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. 二、考点扫描 考点一 一次分式函数 例1 (多选题)对于函数f(x)＝(x∈R)，下列结论正确的有(　　) A.f(－x＋1)＋f(x－1)＝0 B.当m∈(0，1)时，方程f(x)＝m有唯一实数解 C.函数f(x)的值域为(－∞，＋∞) D.∀x1≠x2，>0 考点二 对勾函数、飘带函数 例2 (1)函数f(x)＝|x|－(x∈R)的图象不可能是(　　) A B C D (2)已知函数f(x)＝(a∈R)，方程f(x)＝4在其定义域内上有两个解x1，x2，记g(a)＝|x1－x2|，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的值域是[0，＋∞) B.若a＝－1，则f(x)的增区间为[－1，0)和[1，＋∞) C.若a＝4，则g(a)＝0 D.函数g(a)的最大值为4 考点三 高斯函数、双曲正余弦函数、最值函数 例3 (1)(2025·广东一模)设表示不大于的最大整数，记，则对任意实数，有（ ） A. B. C. D. (2) (多选题)（2025·八省联考）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数，定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则有　　 A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 三、巩固提升 1. 函数y=－在区间[1，2]上的最大值为(　　) A.－ B.－ C.－1 D.不存在 2. 函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 3. (2025·四川成都市诊断)已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝2(x＋1)2，∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}.则当x∈R时，函数M(x)的最小值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 4. (多选题)(2024·山东济南市质检)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数.则下列关于函数f(x)的叙述正确的有(　　) A.函数y＝f(x)的图象是两条直线 B.f(f(x))＝1 C.f()＞f(1) D.∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x) 5. 函数y=的值域为　　　　　　.  课时5 二次函数与幂函数参考答案 二、知识梳理 1．（1）y＝xα （3）(1,1) (0,0)， (1,1) 奇函数 偶函数 2．（1）ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 零点 （2） － 减 增 增 减 三、基础回顾 1． （1）√ （2） √ （3） × （4） × 2．B 【解析】设幂函数为f(x)＝xa，图象过点(8,2)，故f(8)＝8a＝2， 故a＝，f(x)＝，f(9)＝＝3.故选B. 3.C 【解析】设幂函数的解析式为y＝xα. 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝， 所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项知C正确.故选C. 4．(－∞，4] 【解析】 由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，可得－≥－3，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4]. 四、考点扫描 例1 (1) D 【解析】观察函数图象可知在(1，＋∞)上，函数图象与x轴的距离由远及近为y＝xb，y＝xc，y＝xd，y＝xa，所以其函数的指数的大小为b>c>d>a.故选D. （2）B 【解析】对于选项A，若，则，当时，， 所以幂函数的图象过点，故A错误； 对于选项B，若，则，当时，， 所以幂函数的图象过点，故B正确； 因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误．故选B． （3）D 【解析】设幂函数， 因为的图象经过点，则，解得，所以. 因为函数在定义域内单调递增， 则当时，， 所以，且，故选项错误； 又因为函数单调递增， 则当时，，且， 故选项D正确，选项错误.故选D. 对点训练 （1）D 【解析】因为在上单调增，所以，即. 因为在上单调减，所以，即. 综上，.故选D. （2）D 【解析】因为函数的定义域为，且在上单调递减， 所以0.因为函数的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数，即p为偶数， 又p，q互质，所以q为奇数，所以选项D正确.故选D. 例2 （1） A 【解析】设，又， 分别画出这两个函数的图象， 其中的图象可看成是由的图象向上平移1个单位长度得到，如图， 由图可知：．故选A． （2） ACD 【解析】由二次函数的图象开口向下知a<0， 对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b>0.又因为f(0)＝c>0，所以abc<0. f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.故选ACD. 对点训练 （1）　(－∞，4] 【解析】　由函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(－∞，－3]上单调递减， 可得－≥－3，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4]. （2）　x2－4x+3 【解析】　因为f(2－x)=f(2+x)对x∈R恒成立， 所以y=f(x)的图象关于直线x=2对称. 又y=f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2， 所以f(x)=0的两根为2－1=1和2+1=3， 所以二次函数f(x)图象与x轴的两个交点的坐标为(1，0)和(3，0)， 因此设f(x)=a(x－1)(x－3). 又点(4，3)在y=f(x)的图象上， 所以3a=3，则a=1，故f(x)=(x－1)(x－3)=x2－4x+3. 例3 A 【解析】因为f(x)＝－x2＋x＝－(x—1)2＋≤的图象的对称轴为x＝1，开口向下，函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减. 依题意，3b≤，所以b≤，所以f(x)在区间[a，b]上单调递增， 所以 即所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根， 所以a＋b＝－＝－4. 故选A. 例4 【解】（1），对称轴为， 当，即时，， 当，即时，. 综上，. （2）当，即时，函数在区间上单调递增，， 当，即时，函数在区间上单调递减，， 当，即时，. 综上，. （3）当时，，， 由，得，解得（舍）； 当时，，， 由，得，即， 解得或（舍）； 当时，，， 由，得，即， 解得（舍）或； 当时，，， 由，得，解得（舍）. 综上，或. 对点训练 （1） 【解析】令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数的大致图象， 由于函数在区间上有最大值， 结合图象，由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）【解】， 由题意或，这时解得， 若，则，所以； 若，即， 所以，则. 综上，或． 拓展与延伸4 几类特殊函数及其性质 三、考点扫描 例1 ABD 【解析】　因为f(－x)＋f(x)＝＋＝0，故f(x)为奇函数， 令t＝x－1，即f(－t)＋f(t)＝0，故A正确； 当x>0时，f(x)＝＝1－， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(0)＝0，f(x)＝<1，且f(x)是奇函数， 所以f(x)的值域为(－1，1)， 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，故B正确，C错误， 故∀x1≠x2，>0，D正确.故选ABD. 例2 (1)　C 【解析】　当m＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，选项A有可能； 当m＝1时，f(x)＝易得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据对勾函数图象易得在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，选项D有可能； 当m＝－1时，f(x)＝易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能.故选C. (2)　B 【解析】　当a＝1时，f(x)＝，f(－x)＝＝＝f(x)，即f(x)为偶函数， 当x>0时，f(x)＝x＋，则函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 由偶函数性质知f(x)min＝1＋＝2，故A错误； 当a＝－1时，f(－x)＝＝＝f(x)，则f(x)为偶函数， 当x∈(0，1)时，f(x)＝－x＋，易知f(x)在(0，1)上单调递减， 当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x－，易知f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 由偶函数对称性知，f(x)的增区间为[－1，0)，[1，＋∞)，故B正确； 若a＝4时，f(x)＝，令f(x)＝4时，则x1＝－2，x2＝2，此时g(a)＝4，故C错误； 若a＝0时，f(x)＝|x|，令f(x)＝4时，则x＝±4，g(a)＝8， 此时与函数g(a)的最大值为4矛盾，故D错误.故选B. 例3 (1) D 【解析】对于选项A，取，则， ，故错误； 对于选项B，取，，，所以，故错误； 对于选项C，取，则，， 所以，故错误； 对于选项D，令，其中为整数，.若，则，，此时成立；若，，，此时成立， 综上，D正确.故选D.　 (2)　ACD【解析】令，则恒成立， 故为增函数，A正确； 对于函数，和时，函数值相等，显然不是增函数，B错误； ，显然递增，C正确； 因为， ，D正确．故选ACD． 四、巩固提升 1.　A 【解析】　y=－在(－1，+∞)上单调递增，则y=－在区间[1，2]上单调递增， 所以ymax=－=－.故选A. 2.D 【解析】　函数y＝与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象均关于点(1，0)成中心对称， 从图象可知两函数共有8个交点，均关于点(1，0)成中心对称，即横坐标之和等于8.故选D. 3. B 【解析】　已知函数y＝2x在R上单调递增， 若x＋1≥(x＋1)2，则－1≤x≤0；若x＋1<(x＋1)2，则x>0或x<－1. 故当－1≤x≤0时，，即f(x)≥g(x)； 当x>0或x<－1时，，即f(x)<g(x). 综上，M(x)＝ 当x<－1时，易知函数y＝2u(u为自变量)在R上单调递增，函数u＝(x＋1)2在(－∞，－1)上单调递减，所以M(x)＝在(－∞，－1)上单调递减， 又＝1，所以此时M(x)>1.当－1≤x≤0时，函数y＝2u(u为自变量)在R上单调递增，函数u＝x＋1在[－1，0]上单调递增， 所以M(x)＝在[－1，0]上单调递增，故此时M(x)≥M(－1)＝＝1. 当x>0时，函数y＝2u(u为自变量)在R上单调递增，函数u＝(x＋1)2在(0，＋∞)上单调递增，所以M(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，又＝2，所以此时M(x)>2. 综上，M(x)的最小值为M(－1)＝1.故选B. 4. BD 【解析】对于选项A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误. 对于选项B，当x为有理数时，f(x)＝1，所以f(f(x))＝f(1)＝1， 当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，B正确. 对于选项C，f()＝0，f(1)＝1，所以f(1)＞f()，C错误. 对于选项D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数； 所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立， 故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)，所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，D正确.故选BD. 5.　(－1，1] 【解析】　因为y==－1+又函数的定义域为R，所以x2+1≥1， 所以0<≤2，则y∈(－1，1]. . 学科网（北京）股份有限公司 $