广东广州大学附属中学2025-2026学年高二下学期6月学情调研数学试题

高二学情调研 数学参考答案及解析 三、填空题 120.15【解析】由对称性得P4<X<6)=P(2<X<4)=0.5-P(X<2)=0.15.故答案为0,15 4a3=a1+a4+16=4 13.18【解析】由题得 +写a+a,设a,的公比为9，则 ，即 数，所以9=3，所以0=a,9=18故答案为18 10m【解析】设PA,PB，P℃方向上的单位向量分别为e,8,6,由题意知 14. 日6=g-6=88-2.且PA=3G,PB=26,PC=G.设该三棱锥外接球的球心为0，半径为R, PO=xg+y吧+z,由外接球的性质得 mop-号，i-o-P-2 2.即2x+y+z=3, 3 3 1 1 x+y+Z 2,解得2，少 x= x+2y+z=2,x+y+2z=1,三式相加得4(x+y+2)=6,则 z=- 2, 2 所以R=P可=r+y+2+w+z+2x *y+r++y+]-月， 所以该三棱锥外接球的表面积S=4πR=10π.故答案为10π 四、解答题 P= C-3 15.解：(1)抽到的两把刀具质量均较好的概率为 (3分) (2)由题得 -2-35-2=26 6台 (5分) ∑1=1+4+9+16+25+36=91 t (7分) 2-00y-)2w-6 543.3-6×3.5×26.1_48 91-6×3.52 175 所以 立0-0 2r-6d ,(9分) =少-iM=1353 则 50,(10分) =-48+1353 -t+ 所以y关于的经验回归方程为 17550,(11分) 48 ,1353=25.14 当t=7时， ”=-175×1千50 故可预测时间为7h时刀具的厚度为25.14mm.(13分) (结果是分式或者化简成小数都正确，保留一位小数扣一分) 16解：山当a=1时，)=r-4+mre 1 则)=3x-4+3-4+13x-10c- xx ,(2分) 令f0=0:得x=1或=5，(3分) 0片e店.网0，刊单定磁4分 当xe,+o四)时，f()>0,f四单调递增，(5分) 质以在区上的小值为川=员(6分) 「1， (2)由题得 f)=3x-4a+gx>0 为)在x=2处取得极小值，所以2)6和+号0 2 解得a=2或a=6.(8分) 当a=2时，f6)-3x-8+4-3-8x+4_3x-2)0x-2) 2 令f)=0,得x=3或x=2,(9分) 当).网0，f单： 当号2时.<0，儿调蓝硬 当e2,+四时，（四>0，f单调递增， 此时)在x=2处取得极小值，符合愿意：(1分) 当a=6时，f(x)=3x-24+36-32-24x+36_3x-60-6) 令f"(x)=0,得x=2或x=6,(12分) 则当e02》时，f心)>0，f四单调递猫， 当xe20时，f四<0，单调递减： 当x∈6，+w)时，f>0,f)单调递增， 此时冈在x=2处取得极大值，在x=6处取得极小值，不符合题意(14分》 综上，a=2.(15分) 17解：(1)零假设H:学生的学习成绩与心理情况无关， 2200x80x60-45x15-8x1x55e3691>10828=3D 125×75×95×105 19×7 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H不成立，即认为学生的学习成绩与心理情况有关，此 推断犯错误的概率不超过0.001.(5分) 7× 3 45 (2)由题可得抽取的7人中，心理情况较好的人数为105 7x60 =4 心理情况较差的人数为105，(8分) 则X的可能取值为0,1,2,3， P0x=0-号3Px=)-名-号 C335 Px=2)-CS=18 C35 =-- ,(12分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 12 1 4 35 35 35 35 E(x)=0×+1× 12 35 35 *2x18 3x4=12 35 357 则 .(15分) (结果是分式或者化简成小数都正确) 18解：(1)因为S,=an+n-1.a,=1 所以当n=2时，4+4，=1+a,=2a,+1,得4，=0，(2分) 当n=3时，4+a,+a,=1+a,=3a,+2,得 2.(4分) (2)因为5n=nan+n-1 所以S1=(n+1)a1+n 两式相减得a1=(n+)a+1-nan+1 am-a,=-1 则 n.(6分) 当n=1时，4+ln1=1∈(0，：(7分) 当n≥2时， 4-aa-a8aa=a-+。1-2盟，8 设8(x)=x-ln1+x),x≥0， 则i=话20 所以(，在[0，+o)上单调递增，(10分) 所以由 eo=0,a>h+=m*+-nn于 ,得n i故a.<1-[n2-lhl++lnn-ln(n-l]=l-lhn,n≥2， 则a,+nn<1,n≥2，(12分) 对=-ad+0,x20, 设 x+1 '(x)=-x 则 (r+02s0 所以()在[0，+切)上单调递减，(14分) 所以由 <0y=0<1nn-lan-D,n≥2， ,得n 则a,>1-l-n2-lnl+…+ln(n-)-lnn-2】=-ln(n-l), 则a,+n(n-1)>0 故0，+l血n>0,n2≥2.(16分) 综上，0<a,+lnn≤1.(17分) 19解：(1)设P(x,y), 由题得 x-2y+y=-5到 即x-2+产=x- -+y=1 整理得4 3 x-+y =1 所以T的方程为43 .(4分) (2)(i)由题得 oFo-3x2=3 (5分) 当'的斜率为0时，可取A(-L,0),B(3,0) 则AO-BO=1×3=3=MO-F0,符合题意， 此时'的方程为y=0;(6分) 当的斜率不为0时，设'：x=my,Ax,),B(x2,y2), 3(x-1)2+4y2=12 联立(x=my ,得(3m2+4)y2-6my-9=0 则△=36(4m2+4)>0, 6m 9 y+%3nm+4,5=3m+4.c8分) |A0=+只=Vm2+1以， B0l=V好+y片=Vm2+1y,l ho=a4-- 即3m2+3=3m2+4,不成立.(10分) 综上，1'的方程为y=0.(11分) (ii)假设点N在定直线上， 由椭圆的对称性可知该定直线必然与x轴垂直.(12分) 由题可知'的斜率不为0，且直线BN:y=, ,3 _5+2v3 AM x=- y 直线 2 ,(14分) 3 3 x=2y- 2 联立y=2 ,(15分) 3 3 + x=- 3 得 3 my*2y:-2 3 3 my+20-）m4+20+)-3y y -9m36m =3m2+423m2+4-3=-3 y ,(16分) 所以点N在定直线x=-3上.(17分)理数 序号 题号 试题形式 LBDZ: 试题形式：主观题和客观题 题型 分值 题型 知识模块 知识点 认知水平 核心素养 预计难度 1 1 客观题 选择题 5 单选题 复数 复数虚部的求解 掌握 逻辑推理 易 2 2 客观题 选择题 5 单选题 集合 集合真子集个数的求解 掌握 数学运算 易 3 3 客观题 选择题 5 单选题 计数原理 二项式定理的应用 掌握 数学运算 逻辑推理 易 4 4 客观题 选择题 5 单选题 统计概率 概率计算 掌握 数学运算 易 5 5 客观题 选择题 5 单选题 数列 等差数列的实际应用 理解 数学运算 中 6 6 客观题 选择题 5 单选题 圆锥曲线与方程 直线与圆和基本不等式综合 理解 数学运算 中 7 7 客观题 选择题 5 单选题 函数概念与基本初等函数Ⅰ 抽象函数与函数性质综合 理解 数学运算 逻辑推理 中 8 8 客观题 选择题 5 单选题 计数原理 排列组合综合 理解 数学运算 逻辑推理 难 9 9 客观题 选择题 6 多选题 圆锥曲线与方程 双曲线综合 掌握 数学运算 数据分析 易 10 10 客观题 选择题 6 多选题 统计概率 条件概率与全概率综合 掌握 数学运算 逻辑推理 中 11 11 客观题 选择题 6 多选题 一元函数的导数及其应用 函数导数综合 理解 数学运算 逻辑推理 难 12 12 客观题 选择题 5 填空题 统计概率 正态分布求概率 掌握 数学运算 易 13 13 客观题 填空题 5 填空题 数列 等差等比数列综合 掌握 数学运算 数据分析 中 14 14 客观题 填空题 5 填空题 空间向量与立体几何 立体几何与球综合 理解 数学运算 逻辑推理 数据分析 难 15 15 客观题 填空题 13 解答题 统计分析 独立性检验 掌握 数学运算 数据分析 易 16 16 客观题 填空题 15 解答题 导数及其应用 函数导数综合 掌握 数学运算 数据分析 中 17 17 主观题 解答题 15 解答题 统计概率 回归方程综合 理解 数学运算 逻辑推理 直观想象 中 18 18 主观题 解答题 17 解答题 数列 数列求解证明 了解 数学运算 逻辑推理 难 19 19 主观题 解答题 17 解答题 圆锥曲线与方程 椭圆的计算 了解 数学运算 逻辑推理 数据分析 难 $高二学情调研 数学 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.复数：告的虚部为 A号 R号 c司 2.已知集合A={(x,y)x=2y},B={(x,y)|y=x2},则A∩B的真子集个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 3.(x+2y)5的展开式中x3y2的系数为 A.80 B.60 C.40 D.20 4.从点(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)中随机抽取2个点，恰有1个点在直线y=x上的概率为 A号 B司 c号 D子 5.在垄断条件下，常需要考虑边际要素成本，记边际要素成本为MFC,成本为L,当要素供给函数 为线性函数W(L)=a+bL(b>0,且a,b均为常数)时，可得MFC(L)=a+2bL,这里记b为供 给公差.当 习rCL)=+3a时，供给公差为 A号 B.1 D.2 6.已知直线x十y=一2与圆(x-a)2+(y-b)2=4ab(a,b>0)有公共点，则该圆面积的最小值为 A.4(3十2√2)π B.4(4+23)π C.4(5+2√2)π D.4(6+4√3)π 7.已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足f(f(x)一2x)=4,且f(x)在(0，+∞)上单调递增， f(x)>2x,则关于x的方程f(x)=x2的实数解的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 8.某博物馆有A,B,C,D四个不同的展厅，安保机器人每天需巡逻6次（某展厅可能未巡逻），每次 只访问一个展厅，若要求机器人不能连续两次访问同一个展厅，且每天A展厅恰好被访问2次， 则满足条件的巡逻路线共有 A.270条 B.360条 C.402条 D.480条 数学第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知双前线E:若若-1(a>0,6>0)的左焦点为F,右顶点为A,其右支上有一点P位于第一 象限，AF|=3,|PA|=√0，tan∠PAF=-3,则 A.点P的坐标可表示为(a十1,3) B.9a2=(3a+1)b C.E的渐近线方程为y=士√3x D.点P到E的右焦点的距离与PF之差为一2 10.已知集合S={1,2,3},从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子集A,B,记事件M为“A 是B的真子集”，事件N为“子集B中恰有2个元素”，则 A.P(N)- B.PMIN)=号 CPM)-器 D.P(NIM=是 11.已知函数f(x)=(x2十a)e(a∈R),则下列说法正确的是 A.若a>0,则函数f(x)一f(-x)无极值点 B.若a>0,则函数f(x)+f(-x)恰有1个极值点 C.若a≥2，则曲线y=f(x)存在1条斜率最小的切线 D.若a<1,则曲线y=f(x)恰有2条斜率为0的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若随机变量X服从正态分布N(4,o2),且P(X<2)=0.35,则P(4<X<6)= 13.在公比为整数的等比数列{an}中，a1,2a3,a4十16成等差数列，且a2=6,则a3= 14.在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，PA=3,PB=2,PC=1,若该三棱锥的 4个顶点均在一个球面上，则该球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 为测定常用刀具的磨损速度，每隔一个小时对刀具的厚度进行测量，记时间为，刀具的厚度 为y,得到如下数据： 时间t/h 1 2 3 4 5 6 厚度y/mm 26.7 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 y关于t的经验回归方程为y=bt十a, (1)现有五把刀具，其中三把质量较好，两把质量较差，从这五把中随机抽取两把，求这两把质 量均较好的概率； (2)求y关于t的经验回归方程，并预测时间为7h时刀具的厚度. 参考数据： ∑y,=543.3. 参考公式：对于经验回归方程y=x十a,b a=y-bi. 数学第2页（共4页） 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=多r-4ax十aln (1)当a=1时，求fx)在区间[号，十e)上的最小值： (2)若f(x)在x=2处取得极小值，求a的值. 17.(本小题满分15分) 某校对200名学生的心理情况与学习成绩进行问卷调查，通过对照表得到学生的心理测评分 数，经过统计得到下表 学习成绩较好 学习成绩较差 心理情况较好 80 45 心理情况较差 15 60 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析学生的学习成绩是否与心理情况有关； (2)从上述学习成绩较差的学生中采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽 取3人，记这3人中心理情况较差的人数为X,求X的分布列与数学期望. n(ad-bc)2 附：x=a+bC+i(a十c)b+d0n=a+b+c+d. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn=nan十n一1，a1=1. (1)求a3; (2)证明：0<am十lnn≤1. 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系x0y中，点P到点F(2,0)的距离与到直线1：x=5的距离之比为，记点 P的轨迹为曲线T. (1)求T的方程； (2)点M-是0）过点O的直线与T交于A,B两点. (i)当MO·FO=|AO·BO时，求1的方程； (ⅱ)直线AM与过点B且垂直于l的直线交于点N,判断点N是否在定直线上，并说明 理由. 数学第4页（共4页）高二学情调研 数学答题卡 学校： 班级： 姓名： 正确填涂 填 准考证号 考场号 ■ 涂范 错误填涂 ☒X 0II①I0M00)①I0I 座位号 图) DDDDDDDIDD 2刃刃2刀2刀2刃2刀2I2刃2刀2 ■ 姓名XXX 考号XXXXXXXXX 33I3I33I3I3333 4四④4I4四4④4④四4I4四4 ■ 贴条形码区 555515]515515 6的66的66的6616的661 7 1707 070707 7777 考场号XX 座位号XX 88I8888I8I888 99991999999 缺考 (填涂说明，缺考考生由监考员用2B 标记 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 选择题（每题5分，共40分） 1IB图CD 6AIB图D 2AB图UU 7 A BI CD 3AB图CMDI 8AIB图COD 4)B图D ■ 5IB图CUD 选择题（每题6分，共18分） ■ ■ 9IB图CID四 10AIB图CMD四 11 A B CD 非选择题（每题5分，共15分） 12 13 14. 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第2页（共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第6页（共6页）参考答案及解析 数学 高二学情调研 数学参考答案及解析 一、选择题 x2,得x2-2x-C=0,其判别式△=4十4C>0,又x 1.D 【解析】由题得之= 2+i= (2+i)(1+i) >0,所以方程f(x)=x2的实数解只有x= 1-i (1-i)(1+i) 2士2口=立受其虚部为受故选D 3 2+√4+4C=1十√+C.故选B. 2 2.D【解析】由题得A∩B={(x,y)x=2y且y 8.C【解析】首先安排展厅A的访问位置，要求不相邻 且共被访问2次，从6个位置中选取2个不相邻位置 x,则y=4y,得y=0或，则当y=0时，x=0:当 的方法数为C-5=10种.这2个A会将剩余的4个 y=时x=号所以AnB=(0,0).(分子)》 访问位置划分成k个非空区块，除A外可供选择的 展厅有3个（即B,C,D),对于任意一个非空区块，其 其真子集个数为22-1=3.故选D. 首个位置从这3个展厅中任选有3种选法，其后的每 3.C【解析】(x十2y)5的展开式的通项为T+1 个位置只需与前一个位置不同，均有2种选法，所以 Cx5-(2y)=C2x5-y,k=0,1,…,5,由k=2, 将剩余4个位置划分为k个非空区块，其余展厅的排 得x3y2的系数为C2=40.故选C. 布方法数为3×21-.当k=1时，说明2个A分别在 4.C【解析】易知点(1,1)和(2,2)在直线y=x上，从 序列两端，此时非空区块划分方式有1种，路径数为 4个点中随机抽取2个，总抽取方法数为C号，恰有1 1×3×2=24条；当k=3时，说明2个A既不在两 个点在直线y=x上的抽取方法数为CC,故所求概 率p-eC-号放运C 端也不相邻，相当于从中间4个位置中挑选2个不相 C 邻的位置，此时划分方式有C号-3=3种，路径数为3 5.B【解析】由等差数列求和可得 ∑MFC(L)=amn ×33×21=162条；当k=2时，即为剩余的划分情况， 划分方式有10一1一3=6种，此时路径数为6×3× 十2b(1+2十…+n)=am十bm(n十1)=bm2十 2=216条.综上，满足条件的巡逻路线共有24十162 (a+b)n,因为∑MFC(L)=m+3n,所以b=1.故 十216=402条.故选C. 选B. 二、选择题 6,A【解析】由题得圆心为(a,b),因为直线x十y= 9.ACD【解析】对于A,由题得A(a,0),设P(a十t, -2与圆(x-a)2十(y-b)2=4ab(a,b>0)有公共点， h),t,h>0,显然上=3,2+h=10,解得1=1，h=3, 所以2√≥a++2≥2历士2=E/a而+2， 则P(a十1,3)，故A正确；对于B,将P(a十1,3)代入 令 √2 即（√2-1）√ab≥1，当且仅当a=b=√2+1时等号 E的方程得a少是=1，即20=是所以财 成立，所以ab≥3十2√2，则该圆的面积S=4πab≥ =(2a十1)b,故B错误；对于C,|AF|=a十c=3,则 4(3十2√2)π，所以该圆面积的最小值为4(3十 9a2=(2a+a3)(c+a)(c-a)=(7a+c)(c-a),所 2√2)π.故选A. 以(c-2a)(c十8a)=0,可得c=2a,故b=√/e-a= 7.B【解析】由f(x)的单调性知f(x)一2x为常数，设 f(x)=2x十C,因为f(x)>2x,所以C>0,由f(x)= a,所以E的渐近线方程为y=士合：=士厅x,故 数学 参考答案及解析 C正确；对于D,由a十c=3,c=2a,得a=1,由双曲线 时，h'(x)=2x(e十ex)十(x2十a)(ex-ex)>0, 的定义得点P到E的右焦点的距离与|PF|之差为 则h(x)在(0，十o)上单调递增，所以h(x)在 -2a=-2,故D正确.故选ACD. (-o∞，0)上单调递减，则h(x)=f(x)十f(一x)有唯 10.ACD【解析】因为集合S中有3个元素，所以其子 一极值点x=0,故B正确；对于C,因为f(x)=(x 集总数为2=8，依次等可能地选取两个不同子集， 十a)e,所以f(x)=(x2+2x十a)e,令u(x)=(x 样本空间所包含的样本点总数为A=56.S的子集 +2x+a)e,取a=2,此时d(x)=(x十2)e≥0， 中元素个数为2的子集共有C号=3个，选定子集B 则u(x)即f(x)单调递增，无最小值，即当a=2时， 后，子集A只能从剩余的7个子集中选取，所以 曲线y=f(x)的斜率无最小值，故C错误；对于D, P(N)-=合，故A正确：在事件N发生的条 令f(x)=(x2+2x十a)e=0,得x2+2x十a=0,当 56 a<1时，判别式△=4-4a>0,方程有2个不等实根 件下，子集B已固定且其元素个数为2，此时B的真 x1与x2,将x2+a=-2x代入f(x)=(x2十a)e,得 子集共有22一1=3个，这3个真子集均在剩余的7 切点的纵坐标满足f(x)=一2xe,设k(x) 个可选取的集合之中，所以P(MN)=三，故B错 -2xe,假设k(x1)=k(x2),取x1=-1-√1-a, 误；设事件H:为“子集B中恰有k个元素”，其中 x2=-1+w1-a,令d=/1-a>0,则(1十d)ed k∈{0,1,2,3，满足条件的子集B共有C个，故 =(1-d)e,当d>1时，(1+d)ed>0,(1-d)e≤ PH)=号-号，当子集B周定且元素个数为k 0:不皮立，当0<1时， =e4,则ln(1十d)- 时，M发生的条件概率P(MH)=2,,则P(MD ln(1-d)-2d=0,设e(d)=ln(1+d)-ln(1-d) 7 2dde0,10.则9d)=a十已a-2=12 2 =2P(PM)=g×, 7 品（∑c2-∑c),由二项式定理得2c2 2=2 二>0，所以(d)在(0,1)上单调递增，所 以p(d)>e(0)=0,即ln(1+d)-ln(1-d)-2d> 1+2)=27,∑C=2=8,所以PM0=278 = 56 0,矛盾，所以k(x1)≠k(x2),则切点的纵坐标不同， ,故C正确；P(NIM)=PMN 19 所以曲线y=f(x)存在2条斜率为0的切线，故D P(M) 正确.故选ABD. 3 3 入7 三、填空题 P(N)P(MN) 8 9 P(M) 19 ,故D正确。故 12.0.15【解析】由对称性得P(4<X<6)=P(2<X 56 <4)=0.5-P(X<2)=0.15.故答案为0.15. 选ACD. 11.ABD【解析】对于A,令g(x)=f(x)-f(-x)= 13,18【解折】由题得4a,=a1十a十16=a十号a,十 (x2+a)(e2-er),则g'(x)=2x(e-er)十(x2+ a设a,的公比为g,则4ag=a(1+q十g）: a)(e十e),当x≠0时，2x(e-e)>0恒成立， 当x=0时，g(0)=2a>0,所以g'(x)>0恒成立， 由a≠0，得g-40+号q十1=0，即(g-3). 则g(x)=f(x)-f(一x)单调递增，无极值点，故A 正确；对于B,令h(x)=f(x)十f(-x)=(x十 (9-9-号)=0，又g为整数，所以9=3，所以a:= a)(e十er),易知h(x)定义域为R,且h(-x) a2q=18.故答案为18. h(x),所以h(x)=f(x)十f(一x)为偶函数，当x>014.10元【解析】设PA,PB,PC方向上的单位向量分别 ·2 参考答案及解析 数学 为cec,由题意知ee=eg=g6= 故可预测时间为7h时刀具的厚度为25.14mm. (13分) 且PA=3e,PB=2e2,P心=e.设该三棱锥外接球 的球心为O,半径为R,Pò=xe1十e十e,由外接 16.解：(1)当a=1时，f(x)= 球的性质得PA,Pò=号PA=号，pi·Pò xe[号to)小 31p:=2,P心.Pi=号1心=之，所以 则f(x)=3x-4+1 .=3x2-4x十1 3(x+2+2)=号2(2x+y+3)=23 (3.x-1)(x-1) (2分) 日y=名，即2r十y叶=3+2y+g=2x 令了()=0，得x=1或x=名， y十2z=1,三式相加得4(x十y十z)=6,则x十y十之 则当x∈[}，1)时，f(x)<0,f(x)单调递诚： =，解得=y==一，所以= 当x∈(1，十o∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， |P=x+y+2+xy+必十x=2[(x+y (5分) 所以f()在区间[号，十∞)上的最小值为1)= )》十十y十]=号，所以该三棱锥外接球的表 5 面积S=4πR2=10π.故答案为10π. 2 (6分) 四、解答题 (2)由题得∫(x)=3x-4a+4 >0， 15.解：(1)抽到的两把刀具质量均较好的概率为P= 因为f(x)在x=2处取得极小值， 是-品 (3分) 所以f(2)=6-4a+号-0，解得a=2或4=6. (2)由题得t= 1. t=3.5,y= 1 (8分) 6 6 y=26.1, (5分) 当a=2时，f(x)=3x-8十4=3x-8x十4 2:=1+4+9+16+25+36=1 (7分) =3x-2)(x-2). 2-0- ty:-6i 令f()=0,得x=号或x=2, 所以= t= 2a- ∑r-6 则当x∈(0，号)时，∫(x)>0,f(x)单调递增： =543.3-6×3.5×26.1_= 48 91-6×3.52 1751 (9分) 当x∈（号，2）时，(<0，f(x)单调递减： 则a=y-i=1353 50 (10分) 当x∈(2，十∞)时，f'(x)>0,∫(x)单调递增， 此时f(x)在x=2处取得极小值，符合题意： 48 所以y关于t的经验回归方程为y= 175t+ (11分) 1353 50 (11分) 当a=6时，f(x)=3x-24+36=3x-24x+36 当1=7时5=-4经×7+1353=25.14， =(3x-6)(x-6) 175 50 x ·3· 数学 参考答案及解析 令∫(x)=0,得x=2或x=6, 当n=3时，a1十a2十ag=1十ag=3ag十2， 则当x∈(0,2)时，f(x)>0,f(x)单调递增； 得a,=- (4分) 当x∈(2,6)时，(x)<0,(x)单调递减； (2)因为Sn=nan十n-1, 当x∈(6，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 所以Sn+1=(n十1)an+1十n, 此时f(x)在x=2处取得极大值，在x=6处取得 两式相减得a+1=(n十1)an+1一nan十1， 极小值，不符合题意。 (14分) 综上a=2. (15分) 则a+-a=一 n (6分) 17,解：(1)零假设H。:学生的学习成绩与心理情况 当n=1时，a1+ln1=1∈(0,1]； (7分) 无关， 当n≥2时，an=an一an-1十a-1-an-2十…十a2一a X2= 200×(80×60-45×15)2= 8×11×55 125×75×95×105 19×7 十a=a-1+…)=1-分，8分) 36.391>10.828=x0.01, (3分) 设g(x)=x-ln(1十x),x≥0， 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断 则g'(x)=1一1千x1 1 H。不成立，即认为学生的学习成绩与心理情况有 x≥0， 关，此推断犯错误的概率不大于0.001. (5分) 所以g(x)在[0，十∞)上单调递增， (10分) (2)由题可得抽取的7人中，心理情况较好的人数为 所以由g()>g(0)=0, 7x晨=3 得>n(1+子)=ln(n+1)-n: 心理情况较差的人数为7×品=4， (8分) 故an<1-[ln2-ln1+…十lnn-ln(n-1)]=1 则X的可能取值为0,1,2,3， -In n,n2, P(X=0)-8= 则an十lnn<1,n≥2， (12分) P(X=1)=CC=12 设h(x)=x千一ln1+x),x≥0， C35 p(X=2)=-第 CC_18 则h'(x)= (x+1)2≤0， 所以h(x)在[0，十∞)上单调递减， (14分) p(X=3)-8-5· C=4 (12分) 所以由A(n号)<A(0)=0, 所以X的分布列为： 0 2 3 得<n1一l(a-1),≥2， 则am>1-1-[ln2-ln1+…+ln(n-1)-ln(n- P 12 18 4 35 35 35 35 2)]=-ln(n-1), 则EX)=0X+1号+2x+3x 12 则an十n(n-1)>0, 故an十lnn>0,n≥2. (16分) (15分) 综上，0<an十lnn≤1. (17分) 18.解：(1)因为S,=nan十n-1,a1=1, 19.解：(1)设P(x,y), 所以当n=2时，a1十a2=1十a2=2a2十1， 得a2=0; (2分) 由题得V一2)+了=号x一5， ·4· 参考答案及解析 数学 即(x-2y+y=十(x-5), (2分) 即3m2十3=3m十4，不成立. (10分) 综上，1'的方程为y=0. (11分) 整理得D+苦-1， (ⅱ)假设点N在定直线上， 所以T的方程为一少+苦=1. 由椭圆的对称性可知该定直线必然与x轴垂直. 4 (4分) (12分) (21)h题得M0·F01-号×2=3，(6分) 由题可知1'的斜率不为0，且直线BN:y=y2, 3 当1的斜率为0时，可取A(-1,0),B(3,0), 直线AM:x= x1十2 3 (14分) 则|AO·|BO川=1×3=3=|MO|·1FO川，符 合题意， 3 x1十2 3 此时（的方程为y=0: (6分) 联立{x= -, 当的斜率不为0时，设：x=my,A(x1,), y= B(x2y2), 3 2 13(x-1)+4y2=12 得x= 十2 联立 2 x=my 得(3m2+4)y2-6my-9=0, m为十号g） yr 则△=36(4m2+4)>0, 6m 9 m为+是6n十g)3 y十必3m干41为=一 3m2+4 (8分) IAO|=√xi+yi=√m+I|y|, -9m3 6m 3m十之·3m中4-3=-3， |B0=√+y=√m+I|y|, 所以|A0·|B0|=(m+1D1=9m士 所以点N在定直线x=一3上. (17分) 3m2+4 =3, ·%5