精品解析：江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟3

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学期末模拟3 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则以下说法正确的是（ ） A. B. 方向上的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 3. 已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（   ） A. B. C. D. 5. 如图所示， 为圆的直径，为圆周上不与点A、C重合的点，圆所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 设 的外心为，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在 中，角的对边分别为的面积为，且满足条件， 为 边上一点，，则 的边长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设表示不同直线，表示不同平面，以下推理不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 10. 在 中，角、、 的对边分别为、、.已知，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 边上的高为 11. 如图，在梯形 中，，，，，， 为线段的中点， 为线段 上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若 为线段 的中点，则 C. D. 的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 如图，已知平行四边形 的对角线相交于点，过点的直线与 ， 所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为_________． 13. 在锐角 中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知且，则锐角 面积的取值范围为__________. 14. 底面边长为3，侧棱长为2的正三棱锥的体积为__________；若该三棱锥的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答： 已知复数，，满足，________________. （1）若为实数，求复数； （2）若复数，在复平面内的对应点为，，且，求复数. 16. 已知角 ， 满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 17. 在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． （1）若，AE与BF交于点N，，求的值； （2）求的最小值． 18. 已知向量，设函数． （1）化简并写出的最小正周期； （2）若，且，求的值； （3）在锐角 中，若，求 周长的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，四边形 是菱形，，，平面平面 . 为中点， 为线段 上一点，满足平面. （1）求的值； （2）若，求点 到平面的距离； （3）记二面角为 ，直线 与平面所成角为 ，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学期末模拟3 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设（），则由题意可得，由此可知在如图所示有阴影上，而表示到点的距离，结合图形求解即可 【详解】解：设（），则， 因为， 所以， 所以在如图所示有阴影上， 因为表示到点的距离，而到的距离为，大圆的半径为， 所以的最大值为， 故选：D 2. 已知向量，则以下说法正确的是（ ） A. B. 方向上的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：求出坐标即可得模；对于B：通过求单位向量；对于C：通过投影向量的公式计算；对于D：通过计算是否成立来判断. 【详解】对于A：，所以，A错误； 对于B：方向上的单位向量为，B错误； 对于C：， 则向量在向量上的投影向量为，C错误； 对于D：，所以，D正确. 故选：D. 3. 已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 设圆台的上底面圆的半径为 ，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为， 圆锥的母线， 圆锥的侧面积是，，得，解得; 圆台的母线， 圆台侧面积为． 4. 已知，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，再逆向使用正切差公式和余弦差公式推出. 【详解】假设，则， 则， 矛盾，所以. 由已知有， 故，而，故，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对三角函数和差公式的逆用. 5. 如图所示， 为圆的直径，为圆周上不与点A、C重合的点，圆所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由线面垂直的性质以及判定得出，，进而得出图中直角三角形的个数. 【详解】因为圆所在的平面，所以，即,为直角三角形.又， 所以由线面垂直的判定可知，平面，即，即,为直角三角形. 故图中直角三角形的个数是4. 故选：D 6. 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】运用和差化积公式进行化简分子部分变为，再使用诱导公式、二倍角公式化简分母，从而让问题得到解决. 【详解】运用和差化积公式进行化简，得 . 7. 设的外心为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用外心对应的向量数量积结论将题干中的向量等式转化为三角形三边的关系，再结合正弦定理实现边角互化得到边长的比例关系，最后代入余弦定理计算的值. 【详解】设的内角所对的边分别为， 对于的外心，有性质，. ∵ ， ∴ ， 同理可得，. 将上述结果代入， 得 ， 化简得 . ∵ ，由正弦定理，得 ，即. 将代入，得 ，即，故. 由余弦定理，，代入，， 得 . 8. 在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为 边上一点，，则的边长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求出，再利用直角三角形边角关系及差角的正弦、正弦定理求解. 【详解】在中，由及余弦定理、面积公式得： ，则，而，故， 在中，， 则，， 在中，， 由正弦定理得. 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设表示不同直线，表示不同平面，以下推理不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，B，C举出反例即可；对于D根据线面平行和面面平行的判定定理和性质定理判断即可. 【详解】对于A，若，则或，故A不正确； 对于B，若，则或与异面，故B不正确； 对于C，若，则或与相交，故C不正确； 对于D，若，则或；若，又因为，则或； 若，则或，故D正确. 10. 在中，角、、的对边分别为 、、 .已知，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 边上的高为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用余弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由余弦定理可得， 故，A对； 对于B选项，由余弦定理可得， 因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设边上的高为，则，解得，D对. 故选：ACD. 11. 如图，在梯形中，，，，，， 为线段 的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为线段的中点，则 C. D. 的最小值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，过作的垂直，再根据条件即可求出，从而判断出选项A的正误； 对于选项BCD，通过建立平面直角从标系，求出各点坐标，逐一对BCD分析判断即可得出结果. 【详解】选项A，过作的垂直，交于，所以，又，，，，， 所以，故选项A正确； 建立如图所示平面直角坐标系，则，，，， 选项B，因为为线段的中点，则，，， 所以，由，得到，所以，故选项B错误； 设，则，， 选项C，由，得到，解得，故选项C正确； 选项D，，，所以， 令，对称轴为，又，当时，所以的最小值为，故选项D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答. 【详解】因平行四边形的对角线相交于点，则， 而，于是得， 又点M，O，N共线， 因此，，即，又，解得， 所以. 故答案为： 13. 在锐角中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【详解】 且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故答案为：. 14. 底面边长为3，侧棱长为2的正三棱锥的体积为__________；若该三棱锥的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为______________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】先计算底面正三角形面积，再求出底面中心到顶点距离；利用侧棱长结合勾股定理算出正三棱锥的高，最后代入棱锥体积公式求解即可；设外接球半径为，球心在三棱锥高线上，根据球心到底面顶点距离均为半径建立方程解出，再用球表面积公式求解即可. 【详解】如图，设底面的中心为，连接，则球心在直线上， 由几何关系可知，，先将三角形转化成平面三角形， 如图，因为，由勾股定理可得， 所以正三棱锥的体积为； 设球心为，则在的延长线上，且，则， 由勾股定理可得，即， 解得，所以球体的表面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答： 已知复数，，满足，________________. （1）若为实数，求复数； （2）若复数，在复平面内的对应点为，，且，求复数. 【答案】（1）或 （2）或. 【解析】 【分析】（1）选择①，设，由条件可得，由条件为实数，结合复数运算可得，解方程可求结论； 选择②，由为实数，结合复数运算可得，解方程可得结论， 选择③，设，由条件可得，由条件为实数，结合复数运算可得，解方程可求结论； （2）选择①或③，设，由条件可得，，解方程求可得结论. 选择②，由条件可得，解方程求可得结论. 【小问1详解】 选择条件①，设，，， 又为实数， ，，即，，解得或， 故或. 选择条件②，，为实数，， 即，， 则，解得， 当为偶数时， ； 当为奇数时， 故或. 选择条件，为实数，设， ,则，解得或， 故或. 【小问2详解】 选择条件①、，，， 设，则， 又，，即， 又，， 解得或， 故或. 选择条件②，，，， ，即， 化简得，又， 则，解得， 当为偶数时，； 当为奇数时， ， 故或. 16. 已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. 【小问2详解】 因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 17. 在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． （1）若，AE与BF交于点N，，求的值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，以，为基底表示，结合平面向量基本定理列方程求，，由此可得，再求，，由此可得结论； （2）以，为基底表示，，再根据数量积运算律和数量积的定义求，结合二次函数性质求其最小值. 【小问1详解】 当时，，即 为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 18. 已知向量，设函数． （1）化简并写出的最小正周期； （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，若，求周长的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变形即可求出周期； （2）利用变换角，再由两角差正弦公式即可求值； （3）利用正弦定理化边为角，借助函数的单调性即可求值域. 【小问1详解】 函数的最小正周期为． 【小问2详解】 ，且，则， 故， 则 ； 【小问3详解】 ，又为锐角三角形， 所以，则， 由正弦定理， 可得三角形的周长， 解得，因为都在上递增， 所以在上单调递减， 所以的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，平面平面.为中点，为线段上一点，满足平面. （1）求的值； （2）若，求点到平面的距离； （3）记二面角为，直线与平面所成角为，求证：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据条件及面面平行的判定定理得平面平面，再由面面平行的性质得，即可求解； （2）利用面面垂直的性质得平面，分别求出，，再利用，即可求解； （3）过作于 ，连接，根据条件可得，再结合条件，即可求解. 【小问1详解】 如图1，取中点，连接，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以， 又四边形是菱形，为的中点，所以为的中点，则. 【小问2详解】 如图2，连接，因为，， 四边形是菱形，所以为等边三角形， 由（1）知是的中点，所以，又平面平面，平面平面， 又平面，所以平面，且， 又，所以 是等边三角形，则， 所以， 在中，，，则， 所以，则， 又，设点到平面的距离为， 由，得到，解得. 【小问3详解】 如图2，过作于 ，连接， 由（2）知为等边三角形，是的中点，所以， 又平面平面，平面平面， 又平面，所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，则是二面角二面角的平面角， 则， 又，且，所以四边形是平行四边形，则，且， 又平面，所以平面，则是直线与平面所成的角， 则，所以， 又，是的中点，所以，又，所以， 又是的中点，则为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $