精品解析：江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟1

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学期末模拟1 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将复数表示为代数形式 ，然后直接计算差的模平方，展开得到 ，再分别计算  和  的表达式，发现它们的和等于 ，于是将差的模平方写成  ，代入已知数值即可求得结果． 【详解】设 ，，其中 ， 则 ， 而 ， ， 所以． 因此，， 由已知 ，，且， 代入得， 因此 . 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 解得，故． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， . 4. 已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 5. 在中，已知，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据及求出，同理求出，利用即可求出答案. 【详解】， 因为，所以， 易知均不为，所以， ， 因为，所以， 即， 所以. 6. 在中，为中点，为上一点，且的延长线与的交点为，则（ ） A. 若，则在上的投影向量为 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义可判断A的正误，根据向量的线性运算可判断B的正误，根据三点共线的向量形式结合B中判断可判断C的正误，根据向量的线性运算结合C的分析可判断D的正误. 【详解】对于A， 取的中点为，则， 故在上的投影向量为，而， 故在上的投影向量为，故A错误； 对于B，， 故，故B正确； 对于C，因为三点共线， 故存在实数，使得，而为共线向量， 故存在实数，使得即， 因为不共线，所以，故，故，故C错误； 对于D，由C的分析可得，故， 所以，所以，故D错误. 7. 已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质求出底面半径和母线、高的关系，根据圆锥的体积公式求出底面半径、母线和高，根据圆锥外接球的性质求出外接球半径，最后利用球的表面积公式计算求解． 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长， 故，则，解得， 圆锥的高， 则，解得，故，， 圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设外接球半径为， 则，展开整理得， 外接球的表面积为：． 8. 已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体外接球的表面积为可得正方体棱长为，建立空间直角坐标系，根据点到直线距离、点到平面距离空间向量法结合计算求解. 【详解】设正方体的棱长为， 由题意可得，解得， 以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，设， 因为，所以，所以， 设点到直线的距离为， ，，则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 设三棱锥的高为，则， 因为， 所以四面体的体积为. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】因式分解求解判断A；利用实系数一元二次方程韦达定理判断B；变形判断C；利用等式性质推理判断D. 【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得， 则方程的两个虚根互为共轭复数，因此，B正确； 对于C，由，得，因此，C错误； 对于D，由，得，因此， 则，D正确. 10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确. 【详解】对于中，由正弦定理得， 由，得，即， 由，则，故，所以或， 即或（舍去），即，A正确； 对于B，若，结合和正弦定理知， 又，所以可得，B正确； 对于，在锐角中，，即. 故，C错误； 对于，在锐角中，由， ， 令，则， 易知函数单调递增，所以可得，D正确； 故选：ABD. 11. 四边形中，，，，将四边形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 和平面所成的角为 D. 四面体的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】先证明平面、平面，再逐项判断即可. 【详解】因为二面角是直二面角，所以平面平面， 而平面平面，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，，所以， 所以，因为，所以平面. 因为平面，故即，故B正确. 若，因为，，故平面， 但平面，故，矛盾，故A错误. 因为平面，故为直线和平面所成的角， 在中，，故，故C正确. 又，故D错. 故选：BC. 【点睛】本题考查线面垂直的证明、线面角的计算以及三棱锥体积的计算，在垂直关系的证明过程中，注意线线垂直与线面垂直关系的转化，而体积的计算，注意选择合适的顶点和底面. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，满足以下条件：①，；②；③，，，，则与的位置关系是______．（填“相交”，“平行”或“异面”） 【答案】平行 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理和性质定理得到结论. 【详解】由题意可知，直线与直线不平行，过上一点作与直线，如图所示， 则与确定一个平面， 由，，则， 由，，则，又，则， 由，得， 由，得，又，，，所以， ，，所以. 故答案为：平行. 13. 已知，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】，， ，， ，， ， 又，．  14. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知向量，且，为边上一点，满足，.则_______，面积的最大值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由得到，再利用正弦定理和三角恒等变换化简得解； （2）设,根据已知得到，再利用重要不等式得到，即得解. 【详解】（1）因为，所以 所以， 所以, 由正弦定理得, 所以， 所以， 因为，所以, 所以. （2）设, 因为， 所以， 由得 所以.（当且仅当时等号成立） 所以面积的最大值. 故答案为： ；. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 复数与复数在复平面上所对应的点关于x轴对称，且（i为虚数单位），已知 （1）求； （2）若的虚部大于零，且（m，），求m，n的值. 【答案】（1）或 （2），. 【解析】 【分析】（1）设，根据条件列出方程组，求出，得到答案； （2）在（1）基础上，得到，从而根据复数相等列出方程组，求出答案. 【小问1详解】 设（x，），则， ∵，， ∴,解得，或 即或. 【小问2详解】 ∵的虚部大于零， ∴，则， ∴， 即，解得，. 16. 如图，在等腰梯形中，，，，，点和分别在线段和，且，. （1）若，求，的值； （2）求. 【答案】（1），；（2）20. 【解析】 【分析】（1）分别过，作的垂线，，垂足分别为，，利用锐角三角函数求出，即可求出，从而得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）用作为一组基底，表示出、，再根据定义法求出，最后根据平面向量数量积的运算律计算可得； 【详解】解：（1）如图，分别过，作的垂线，，垂足分别为，， 在中，，，所以，同理，，又，所以，即. ，所以，. （2）， . 因为，，， 所以. 17. 在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，． （1）若，BC边上的中线AD的长为，求c的值； （2）若，，求． 【答案】（1）2； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简等式，再结合中线性质、余弦定理进行求解即可； （2）根据两角和的正弦公式化简等式，再结合三角形面积公式、余弦定理进行求解即可 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理和余弦定理化简，得， 由余弦定理可知： 因为BC边上的中线AD的长为， 所以由余弦定理可知：， ，（舍去），即； 【小问2详解】 ， ，或， 当时，， 当时，由正弦定理可知：， ， 当时，，因为，所以，所以； 当时，则有，所以，即， 因此，所以的值为或. 18. 已知函数． （1）若为锐角，，求的值． （2）在中，若是的中点，且，求的面积； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由恒等变换公式化简函数解析式，即可得到，再由代入计算，即可得到结果； （2）由中线可得，从而可得，结合余弦定理与三角形的面积公式代入计算，即可得到结果； （3）将不等式化简，然后换元可得在上恒成立，分离参数结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 由可得， 且为锐角，则，即，则， 即， 所以 . 【小问2详解】 因为，且，则， 则，解得， 由为三角形的中线，则， 即， 即，化简可得①， 由余弦定理可得， 化简可得②， ①②可得，即， 则. 【小问3详解】 ， 由可得，则， 由不等式在上恒成立， 可得在上恒成立， 且 ， 令，则， 则不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立， 所以，即， 则实数m的取值范围是. 19. 三棱柱中，面面ABC，，D是BC的中点，M为上的动点． （1）求证：； （2）若，求证：AD∥平面； （3）若面面，求证：； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）证明平面，又面 （2）证明，再利用线面平行判定定理，即可得到答案； （3）先证明四边形为平面四边形，再证明，即可得到答案； 【详解】证明：（1）在三棱柱中， ，D是BC的中点，， 面面ABC， 面面ABC面， 面； （2）设，连接， 是平行四边形， ， 平面平面， ∥平面； （3）面面， 面面， 过点作于连接， 平面平面， 平面，， 与共面，四边形为平面四边形， 平面，平面平面， ， 四边形为平面四边形， 是BC的中点，为的中点， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学期末模拟1 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 在中，为中点，为上一点，且的延长线与的交点为，则（ ） A. 若，则在上的投影向量为 B. C. D. 7. 已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 11. 四边形中，，，，将四边形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 和平面所成的角为 D. 四面体的体积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，满足以下条件：①，；②；③，，，，则与的位置关系是______．（填“相交”，“平行”或“异面”） 13. 已知，若，，则_____． 14. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知向量，且，为边上一点，满足，.则_______，面积的最大值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 复数与复数在复平面上所对应的点关于x轴对称，且（i为虚数单位），已知 （1）求； （2）若的虚部大于零，且（m，），求m，n的值. 16. 如图，在等腰梯形中，，，，，点和分别在线段和，且，. （1）若，求，的值； （2）求. 17. 在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，． （1）若，BC边上的中线AD的长为，求c的值； （2）若，，求． 18. 已知函数． （1）若为锐角，，求的值． （2）在中，若是的中点，且，求的面积； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 19. 三棱柱中，面面ABC，，D是BC的中点，M为上的动点． （1）求证：； （2）若，求证：AD∥平面； （3）若面面，求证：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $