第十四章全等三角形单元练习2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十四章 全等三角形 单元练习 一、单选题 1．下列各组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列条件中不一定能确定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的面积为（    ） A． B．7 C．14 D．28 5．如图，在和中，，，，，，则的长度为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 6．在学习了全等三角形的判定后，小明编了一道题目：“如图，已知线段与线段交于点，，，是线段的中点，求证：”，老师说他给的已知条件多了，可以去掉一个．那么不能去掉的条件是（   ） A．线段与交于点 B． C． D．是线段的中点 7．如图，已知，，，则的度数为（　  　） A． B． C． D． 8．如图，已知，，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 10．在平面直角坐标系中，，，，于点，交轴于点，连接．下列结论中正确的有（    ） ①，②，③，④平分． A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 11．如图，点共线，，且，，则的长为 ． 12．如图，，为边上一点，，，连接．若，，则的度数为 °． 13．如图，中，，角平分线相交于I，，若，，则m，n的关系式为： ．    14．如图，在四边形中，，，的平分线交于点，连结．若点为的中点，，则四边形的面积为 ． 15．如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动．若经过秒后，与全等，则的值是 ． 三、解答题 16．人字屋顶（又称“坡屋顶”“双坡屋顶”）是建筑中最经典的屋顶形式之一，其设计天然与数学概念结合．如图是人字屋顶设计图，在中，，点在边上，以下条件：①，②，③，④平分． (1)能说明成立的一个条件是______．（填写所有可能的序号即可，中间用“或”连接） (2)请选择（1）中的一个条件，证明． 17．如图，为外部一点，连接、，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使；（保留作图痕迹，不用写做法）； (2)根据你的作图，判定的依据是___________； (3)求的度数． 18．如图，在中，，平分，平分，交于点F，，连接． (1)求证：； (2)线段与之间有怎样的数量关系，请说明理由； (3)若，其他条件不变，则（1）和（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由． 19．阅读材料，解决问题： (1)【方法探究】数学课上，老师提出如下问题：“如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围”，同学们经过思考、讨论，提出如下解决方法：延长到点，使，再连接，利用三角形全等及三角形三边的关系即可求出中线的取值范围，请你帮助同学们写出完整的解题过程． (2)【问题解决】如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，则__________．（填“＝”、“＞”或“＜”号） (3)【拓展应用】如图③，、都是等腰直角三角形，其中，分别连接，作，垂足为，延长交于点． ①求证：点是中点； ②若，则__________．（直接写出答案） 20．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十四章 全等三角形 单元练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B C C C B D C 1．D 【分析】本题考查全等图形，根据形状和大小都相同的两个图形是全等图形，进行判断即可． 【详解】解：A、形状不同，不是全等图形； B、大小不同，不是全等图形； C、大小不同，不是全等图形； D、形状和大小都相同，是全等图形； 故选D． 2．C 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是熟悉SSS、SAS、ASA、AAS等判定方法，注意SSA（边边角）不一定能判定三角形全等． 分别分析每个选项是否符合全等三角形的判定定理，判断能否确定两个三角形全等． 【详解】解：A、因为，三边对应相等，符合SSS判定定理，所以能确定； B、因为，两角及夹边对应相等，符合ASA判定定理，所以能确定； C、因为，两边及其中一边的对角对应相等，届于SSA，所以不一定能确定； D、因为，两角及其中一角的对边对应相等，符合AAS判定定理，所以能确定． 综上，不一定能确定全等的是选项C． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据题意可得，由可根据定理可证明，即可解答． 【详解】解：∵， ， 在和中，， ， 则的依据是． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于H， 由作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易证，然后根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； 故选：C． 6．C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．去掉“线段与交于点”， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“线段与交于点”， ∴选项不符合题意； B．去掉“”， ∵线段与线段交于点，， ∴，， ∵是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“”， ∴选项不符合题意； C．去掉“”， ∵线段与线段交于点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 由“，，，”无法证明， ∴不能去掉“”， ∴选项符合题意； D．去掉“是线段的中点”， ∵线段与线段交于点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“是线段的中点”， ∴选项不符合题意． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及全等三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟记全等三角形性质、三角形内角和定理是解决问题的关键． 先由全等三角形性质得到，在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，，则由三角形内角和定理可得， 故选：C 8．B 【分析】此题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是关键．根据全等三角形的性质得到，，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴ 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，一元一次方程与几何动点，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P在上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： 则（秒）， 此时， ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： 则 ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于2或或16秒时，与全等， 故选：D． 10．C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，能证得三角形全等是解本题的关键． 根据两点的坐标即可判断出①，通过证得即可判断③，根据全等三角形性质可知，即可判断②；由得出，进而得出，即可判断④． 【详解】解：∵点的坐标分别为， ∴，故①正确； ∵轴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故③错误； ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为，故②正确； 如图②， 过点作于，于， ， ， ， ， ∴点一定在的角平分线上， ， ∴平分，故④正确． ∴正确的有①②④． 故选：C． 11．6 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：6． 12． 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，证明，得出，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的内角和定理及外角性质，正确的作出辅助线，利用三角形面积关系和底边的关系的相互转化是解题的关键；在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，利用双角平分线证明，，，利用角平分线的性质证明，进而求出，则，进而可求出，再过点，，垂足分别为点，同理可得，由得到，则，那么，即可求解． 【详解】解：在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，如图；   平分， ， ，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，， ，则， ∴， 过点，，垂足分别为点， 同理可得， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 14．60 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先作，根据“角角边”证明，可得，再根据“斜边直角边”证明，可得，然后根据可得答案． 【详解】解：如图所示， 过点E作，交于点F， ∵点E是的中点， ∴． ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由， ∴四边形的面积为． 故答案为：60． 15．或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意知，，， ， ①当时， ∴， ， ； ②当时， ∴， ， ， 综上，当的值是或时，能够使与全等， 故答案为：或． 16．(1)①或③或④ (2)答案不唯一，证明见解析 【分析】（1）根据邻补角的定义、全等三角形的判定可得结论； （2）选择①，根据邻补角的定义即可得证；选择③或④，根据全等三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：能说明成立的一个条件是①或③或④， 故答案为：①或③或④； （2）证明：选择①， ∵，， ∴， ∴； 选择③， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择④， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，邻补角的定义，角平分线的定义，垂直的定义，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 17．(1)作图见详解 (2) (3) 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接即可得到答案； （2）①根据（1）中的尺规作图，结合全等三角形的判定定理即可得到答案； （3）结合全等三角形的判定可得，在和中，由三角形内角和定理得到、，数形结合表示出计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：由（1）中尺规作图可得， 再由，结合两个三角形全等的判定定理即可得到， 故答案为：； （3）解：在中，由三角形内角和定理可得， 在中，由三角形内角和定理可得， ， ， ． 18．(1)见解析 (2)．理由见解析 (3)（1）中结论成立．（2）中结论不成立 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理（、等）是解题的关键． （1）通过角平分线性质和已知边相等，利用SAS证明三角形全等，从而证得线段相等； （2）结合三角形内角和、角平分线性质证明三角形全等，得出线段数量关系； （3）分析当时，（1）中全等的条件是否持续满足，（2）中角的关系是否还成立． 【详解】（1）解：∵ 平分， ∴ ， 又∵ ，， ∴ （）， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ 平分，平分， ∴ ， ∴ ，， 由得， ∴ ，，即， 又∵ 平分， ∴， ∵， ∴ （）， ∴ ； （3）解：无论是否为，平分，始终有，且，， ∴（）， ∴仍然成立． 当时，， ∴，，和不再等于，的条件不满足，故不成立． 综上，（1）中的结论仍然成立；（2）中的结论不成立． 19．(1) (2) (3)①见解析；②8 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质及三角形三边关系的应用． （1）先证明，得出，再根据求出结论即可； （2）延长至点M，使，连接，同（1）证明得出，再根据得出结论； （3）①过点作交的延长线于点，利用等角的余角相等求得，，证明，推出，，再证明，据此即可得到点是中点； ②利用，即可得到结论． 【详解】（1）解：是边上的中线， ． 在和中， ， ， ． 在中，由三角形的三边关系，得， ，即， ． 故答案为：； （2）证明：如图，延长至点M，使，连接， 同（1）得， ∴． ∵， ． 在中，由三角形的三边关系，得， ∴； （3）①证明：过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点是中点； ②∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 20．(1)，， (2)证明见解析 (3)1012.5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，，， ∴， ，， ， 在与中， ， ， ，且， ， 即， ， 的值为1012.5． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $