15.1.2线段的垂直平分线 教学设计2025-2026学年人教版数学八年级上册

课时名称 15.1.2线段的垂直平分线 学科 数学 课时 2 使用年级 八年级 班额 45 课程类型 新授 设计者 教学内容分析 本节课是轴对称及其性质的知识延伸，核心是探究线段垂直平分线的性质定理（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）及其逆定理（到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上）。通过从性质到其逆定理的推理，既巩固轴对称的性质，又建立起几何图形中“位置关系”与“数量关系”的联系，为后续学习等腰三角形等知识奠定基础。 学情分析 本节课是在学生已经学习了轴对称的概念和性质的基础上，研究线段垂直平分线的性质和判定。在证明性质或判定时，学生可能遗漏全等三角形证明的关键步骤或几何语言表述混乱。部分学生可能难以准确写出一个命题的逆命题，需从“条件”与“结论”的互换入手，结合具体命题拆解结构，降低转化难度。 课时目标 （1）通过折纸、测量等动手操作或观察轴对称图形，直观感知性质和判定的存在；通过逻辑推理将直观发现转化为严谨的几何证明，理解性质与判定的推导过程，实现从感性认识到理性认知的提升。 （2）通过线段垂直平分线的性质定理与其逆命题的对比，明确原命题和逆命题的定义，学会从已知命题中构造逆命题，并通过实例理解原命题和逆命题真假性的独立性。 （3）经历观察、猜想、验证、证明的完整思维流程，锻炼逻辑推理能力；能够清晰、有条理地运用几何语言，从而提高数学表达能力，养成严谨的思维习惯。 评价设计 （1）能够探索并证明线段垂直平分线上的点于这条线段两个端点的距离相等，反之探索并证明与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（对应目标1） （2）了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。（对应目标2） （3）能够初步应用线段的垂直平分线的性质解决简单的几何证明问题。（对应目标3） 学与教活动设计 教师活动 学生活动 环节一：复习引入 教师活动1 1.轴对称有什么性质？ 2.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 3.什么叫线段的垂直平分线？ 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质. 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 学生活动1 学生思考，尝试类比 活动意图说明：回顾轴对称图形及其性质，引导学生从轴对称的整体知识过渡到线段垂直平分线这一具体内容，启发逻辑思维。类比 “角平分线的性质” 研究 “线段垂直平分线的性质”，渗透类比学习法，培养自主学习与知识迁移能力。 环节二：合作探究 教师活动2 探究1 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现? 信息技术验证 追问：我们如何应用几何逻辑推理来证明这个猜想？ 已知：如图，直线L⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P 在L上．求证：PA=PB 引导学生证明： 证明 ：当点P与点C重合时，显然成立. 当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB. 又AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB. 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 符号语言 ∵ 直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上， ∴ PA=PB . 例1 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.AB，AC，CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系? 教师活动3 探究2 思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗?即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢? 如图，已知线段AB，点P是平点P是平面内一点，且PA=PB. 求证：P点在AB的垂直平分线上. 归纳总结： 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 符号语言：∵ PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 例2 如图，AB=AC，MB=MC.直线 AM是线段BC的垂直平分线吗?为什么? 教师活动4 探究3 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系? 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 追问 你还学习过其他具有类似关系的命题吗? 思考 如果原命题成立，那么它的逆命题也成立吗？ 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 巩固练习 ： 例3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等. (4)如果两个实数相等，那么它们的平方相等． 学生活动2 画图，观察，对折，测量等过程，学生代表发言： 线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B存在关系：P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B. 猜想:在线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等. 学生归纳：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 学生大胆猜想点P在AB的垂直平分线上 引导学生添加辅助线，剩下的让学生讨论之后写出证明过程，并选择一位同学代表的证明过程 学生思考、讨论、交流，引导学生总结。 预设学生可能想到的： 活动意图说明：让学生亲身经历线段的垂直平分线性质的形成过程，从直观操作感知重合，到信息技术测量验证，再到严谨的几何证明 ，多环节夯实对性质的理解。引导学生将性质的“题设与结论互换”，探究逆命题，让学生理解二者的互逆关系，完善线段的垂直平分线的知识体系。 板书设计 作业与拓展学习设计 基础知识型： 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为 (　　) A．5 cm　　 B．10 cm　　 C．15 cm　D．17.5 cm 2．如图，AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上一点。若EC＝7cm，则ED= cm； 如果∠ECD=300 ，那么∠EDC= 0。 应用提升型： 3.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（　　） A．50° B．70° C．75° D．80° 4.如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.5 cm，BD＝2.5 cm，则四边形ACBD的周长为 cm. 拓展提升型： 5.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. 相关资源推荐 几何画板等信息技术辅助 教学反思与改进 备注 课时名称 15.1.2线段的垂直平分线 学科 数学 课时 3 使用年级 八年级 班额 45 课程类型 设计者 李晶 教学内容分析 本节课是对已有尺规作图知识的延续与深化。作线段的垂直平分线和过一点作已知直线的垂线是几何作图中的核心技能，在后续的几何证明、图形性质探究等学习中有着广泛的应用。它们不仅涉及具体的操作步骤，更蕴含着对图形性质的深刻理解，有助于学生进一步建立几何直观，提升逻辑推理和空间想象能力，同时也能让学生更深刻地体会到尺规作图的严谨性和逻辑性，为后续更复杂的几何学习打下重要基础。 学情分析 此前学生学习了作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角以及作角的平分线等基本尺规作图。这些基本作图为本次内容提供了操作技能和思维方法上的铺垫。作一条线段等于已知线段是后续作图中构建相等线段的基础操作，作一个角等于已知角和作角的平分线则培养了学生运用尺规进行角的相关操作能力，这些都为理解和掌握作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线的原理与步骤奠定了坚实基础。但学生可能还存在作图工具使用不规范、作图原理理解不到位、知识迁移能力弱等障碍。因此，教学重心需从“教步骤”转向“教思考”上，通过精心设计的问题链和探究活动，引导学生自己发现作法并理解其所以然，从而真正提升其数学核心素养。 课时目标 （1）经历“图形构思-形成策略-设计流程-实施作图”的过程，能作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。 （2）进一步了解作图的一般步骤和图形语言，了解作图的依据。会运用基本尺规作图解决简单的作图问题。 （3）在作图过程中，体会数形结合思想，培养逻辑推理能力，发展几何直观和空间观念。 评价设计 （1）能结合直尺和圆规的功能，经历系列过程作一条线段的垂直平分线和过一点作已知直线的垂线，积累尺规作图的活动经验。（对应目标1） （2）能说出作图的一般步骤，知道图形语言也是一种重要的数学语言。将作图操作规范化、条理化，形成清晰的作图思路。（对应目标2） （3）能运用基本尺规作图解决简单问题，将所学技能应用于实际情境，达到迁移与运用水平。​（对应目标2、3） 学与教活动设计 教师活动 学生活动 环节一：复习引入 教师活动1 1.线段的垂直平分线具有什么性质？ 2.如何确定点是否在线段的垂直平分线上? 学生活动1 学生思考 1. 段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 符号语言表达为： ∵直线PC是线段AB的垂直平分线 ∴PA=PB 2.到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上. 符号语言表达为： ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 活动意图说明：呈现 “线段的垂直平分线” 包含定义、性质、判定的知识框架，且体现 “性质与判定互逆”，帮助学生梳理知识脉络，清晰认识线段的垂直平分线相关知识的整体结构，自然引出新课的内容——线段垂直平分线的画法。 环节二：合作探究 教师活动2 思考：如图所示，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？B A B A A 问题1 有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ A ′ B ′ B C ′ C 问题2 不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 问题3 如何作出线段AB的垂直平分线呢? 问题4：如何找到点C和点D呢？ 思考：如何作出线段的垂直平分线? 作法: (1)分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点; (2)作直线CD. ∴ 直线CD就是所求作的直线. 例1 你能作出这个五角星的对称轴吗? 对于图中的五角星， 1.找出它的一对对称点A和A'，连接AA'. 2.作出线段 AA'的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴. 追问 你能作出其他的对称轴吗？ 例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法 如图. (1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E. (2)分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. (3)作直线CF，直线CF就是所求作的垂线. 变式：若点C在直线AB上，那么过点C怎样作出AB的垂线？ 学生活动2 学生交流讨论： 作出线段AB的垂直平分线，只要找到两个到A、B距离相等的点，点C和点D，再由两点确定一直线就可知直线CD就是线段AB的垂直平分线了. 分析由于轴对称图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴. 自主作出其他的对称轴 分析假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线.我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在直线AB上确定这两点.根据前面关于线段垂直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可. 依据作图原理得出作图方法和作图步骤 活动意图说明：在思考、分析、作法推导的过程中，锻炼学生的动手实践能力和逻辑推理能力，帮助学生循序渐进地掌握“作线段的垂直平分线”的相关知识，明晰操作步骤与原理，完善尺规作图的知识体系。例 1 既是对“轴对称图形的对称轴是对称点所连线段的垂直平分线”的知识巩固，又是本节课尺规作图技能的应用。例 2 是在“作一条线段的垂直平分线”的基础上，进一步学习“过一点作已知直线的垂线”，是知识间的相互支撑和融会贯通。 板书设计 作业与拓展学习设计 基础知识型： 1.作出下列各图形的一条对称轴 2.已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点p作直线l的垂线．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 应用提升型： 3.如图，已知点P为△ABC边AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． (2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在BC上．（保留作图痕迹，不写作法） 拓展提升型： 4.有A，B，C三个居民小区，现准备要建一所超市，要求超市到三个居民小区的距离相等，请你确定超市的位置. C B 相关资源推荐 几何画板等信息技术辅助 教学反思与改进 备注 学科网（北京）股份有限公司 $