精品解析：山东省青岛第二中学2025-2026学年高一第二学期3月份阶段练习—数学试题

青岛二中2025—2026学年第二学期3月份阶段练习一 高一数学试题 时间：90分钟 满分：120分 命题人：孙云涛 刘春业 李婉昕 孙晓艺 审核人：程志 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将复数化简，再由复数实部，虚部的定义即可得到结果. 【详解】，则的虚部为. 2. 设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】依据可以作为基底的向量不共线即可判断。 【详解】A选项，，B选项，， D选项，，故ABD都不可以作为基底； C选项中两向量不共线，可以作为一组基底。 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，则“是直角三角形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理，， 因为为三角形内角，所以或，即或. 所以“”不能得到“是直角三角形”； “是直角三角形”只有在的情况下，才有“”， 所以“是直角三角形”也不能得到“”. 故“是直角三角形”是“”的既不充分也不必要条件. 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理边化角，求出角，利用公式求面积即可. 【详解】由余弦定理得，又 得，又， 从而，又，所以 从而的面积. 5. 已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据共线定理表示点的坐标，代入表达式根据二次函数求最值. 【详解】 已知正方形，以建立平面直角坐标系， ，，，， 设，点在线段上，， 则，， ， 时，的最大值为. 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设该圆锥底面圆的半径为，则，解得， 所以该圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 7. 镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（） A. 37.52m B. 35.48m C. 33.26m D. 31.52m 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系、正弦定理列式计算即得. 【详解】因为， 在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理得，则， 所以， 即镇国寺塔的高度约为35.48m． 故选：B. 8. 中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求得，将化为，即，即可求出答案. 【详解】设外接圆半径为， 由正弦定理得，所以， 由圆的性质得， ， 所以当，即，即时， 取得最大值，最大值为. 二、多项选择题：本题共3小腿，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若z为复数，则（ ） A. 若，则为实数 B. C. 若，则的最大值为 D. 若，则在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数相等的定义即可判断A，举出反例代入计算，即可判断B，由复数的几何意义代入计算，即可判断CD. 【详解】对于A，设，则，若，则，即， 则为实数，故A正确； 对于B，若，则，，故B错误； 对于C，若，即，可得在复平面内对应点的轨迹为圆心，半径为的圆，原点到圆心的距离为，故的最大值为，故C正确； 对于D，因为，， 即，对应点在第二象限，故D错误； 10. 已知扇形的半径为，，点在弧上运动，，则（ ） A. 当位于点时，的值最小 B. 的值最大为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解． 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系. 则，. 设，则，且. 由， 所以， 所以，. 因为，所以，. 当或，即或时，取得最小值，此时点与或重合； 当，即时，取得最大值，此时点为的中点. 故AB正确； 对C：，， 所以 ， 因为，所以，故C错误； 对D：，， 所以， 因为，所以，所以，故D正确. 11. 在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（ ） A. 的最小值为 B. C. 中线的长度为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式即可判定A，利用余弦定理得，进而利用三角恒等变换和正弦定理和余弦定理即可判定B，利用向量和数量积即可判定C，利用B选项结合基本不等式即可判定D. 【详解】对于A：由，即， 当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：由余弦定理有：，解得， 由 ， 由正弦定理得：， 又由余弦定理得， 所以 ，故B正确； 对于C：由，所以 ，所以，故C错误； 对于D：由选项B有①， 又，所以， 又②， 由①②有：，又由选项A有，且为锐角， 所以，所以， 所以，又为锐角三角形，所以， 所以， 所以，当时，等号成立，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 平面向量，，则在上的投影向量的模为______. 【答案】 【解析】 【详解】由，，得：，， 因此向量  在  上的投影向量的模等于 . 13. 在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正棱台的特征，构造直角三角形，解出正棱台的高，代入公式即可求解. 【详解】如图所示： 取正棱台上下底面中心，连接过点作的平行线，交于点， 因为，所以 在直角三角形中，， 故正四棱台的高为， 根据棱台体积计算公式，. 14. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，若存在最大值，则正数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理边长转化为角即，，代入，利用辅助角公式进行化简，结合的范围及三角函数的图象即可求出答案. 【详解】由正弦定理可得：， 所以，，且， ，其中， 当存在最大值时，有解， 因为，所以， 所以 ，解得， 所以正数的取值范围为. 四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，. （1）求； （2）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 已知，. . 则. 【小问2详解】 已知，. ， ， 设与夹角为，则 16. 的内角，，的对边分别为，，，. （1）求角； （2）若，边的中线长，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的变形边化角公式，同角关系式中的商式关系，两角和的正弦公式和诱导公式进行整理化简得到所求； （2）先在中利用余弦定理得到的值，再由的值和角的大小得到是等边三角形，从而得到的值，继而得到的周长. 【小问1详解】 ，， ， ， ①， ，， ①转化为， ， ， ②， ，， ②转化为， ，，； 【小问2详解】 在中， ，，为的中点，， ， ，，， 在中，，，， 为等边三角形，，的周长为. 17. 记的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求证：； （2）若为边上的点，且，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合两角和差公式整理可得，分析可得，即可得结果； （2）设，，可得，，进而求，结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 因为， 则， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则， 可得，即. 【小问2详解】 设，， 则，，， 在中，由正弦定理可得， 在中，由余弦定理可得： ， 即， 则， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 18. 如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求结果用表示； （2）若 . ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算法则，结合转化法即可得解； （2）①设，利用向量的数量积运算法则，结合三角恒等变换将所求转化为关于的表达式，从而得解； ②设，利用向量的线性运算得到，从而将转化为含有的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数的值域，由此得解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 ①. 设，又，所以， 则 所以 ， 因为，则， 所以，则 故； ②设， 则， 所以，由得， 即，整理得， 所以， 所以. 所以. 令， ， ，令， 则， 因为， 则，即， 所以在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 五、附加题（5分） 19. 设正实数a、b、c满足，，.求的值. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，，，由余弦定理构造几何模型：平面上共端点P的线段PA、PB、PC两两夹角为120°，且，利用的面积可求的值. 【详解】正实数a、b、c满足，，， 则有，，. 由余弦定理可构造如下几何模型: 平面上共端点P的线段PA、PB、PC两两夹角为120°，且. 于是，，，. 从而，为直角三角形，其面积为. 则，得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛二中2025—2026学年第二学期3月份阶段练习一 高一数学试题 时间：90分钟 满分：120分 命题人：孙云涛 刘春业 李婉昕 孙晓艺 审核人：程志 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，则“是直角三角形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（） A. 37.52m B. 35.48m C. 33.26m D. 31.52m 8. 中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、多项选择题：本题共3小腿，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若z为复数，则（ ） A. 若，则为实数 B. C. 若，则的最大值为 D. 若，则在复平面内对应的点在第四象限 10. 已知扇形的半径为，，点在弧上运动，，则（ ） A. 当位于点时，的值最小 B. 的值最大为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11. 在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（ ） A. 的最小值为 B. C. 中线的长度为 D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 平面向量，，则在上的投影向量的模为______. 13. 在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 14. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，若存在最大值，则正数的取值范围为______ 四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，. （1）求； （2）若，求与夹角的余弦值. 16. 的内角，，的对边分别为，，，. （1）求角； （2）若，边的中线长，求的周长. 17. 记的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求证：； （2）若为边上的点，且，求的最小值. 18. 如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求结果用表示； （2）若 . ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域. 五、附加题（5分） 19. 设正实数a、b、c满足，，.求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $