福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题

厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点关于 轴的对称点为 ，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 3. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中， 、分别是、 的中点， 是 的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点） 距地面 千米，远地点（离地面最远的点） 距离地面千米，并且、 、 在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（    ）千米 A. B. C. 2 D. 6. 已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与圆交于两点，且直线不过圆心 ，则当 的周长最小时， 的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8. 设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为 ．若，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为8 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. 下列命题中真命题的是（ ） A. 直线的倾斜角不存在； B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则； C. 已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D. 如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 11. 已知圆，则（ ） A. 点在圆 内 B. 若点在圆 上，则的最大值为 C. 若圆 上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D. 若点P在直线上，点 在圆 上，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为______． 13. 已知点，，直线过点且与线段 有交点，则直线的斜率的取值范围为__. 14. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求与夹角的余弦值； （2）当时，求实数k的值． 16. 在平面直角坐标系 中，已知点，点，动点 满足：直线PM与直线PN的斜率之积是. （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）直线与（1）中轨迹 相交于 ， 两点，若为线段的中点，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求弦长. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形， 平面，分别为 的中点． （1）证明： 平面； （2）若 ，求平面与平面 所成角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知直线过点，且与，分别交于点A，B． （1）若点A在直线上，且 的平分线为射线， （ⅰ）求 的值； （ⅱ）求点B的坐标． （2）若直线与轴负半轴及 轴正半轴分别交于点M，N，求的最小值及取最小值时直线的方程． 19. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过 的右焦点的直线交 的右支于两点，当轴时，. （1）求 的方程； （2）过点 作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】CD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）或 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明：取 中点 ，连接 ， 因为分别为 的中点，所以 ，且 ， 又底面为正方形，且E为AB中点，所以 ，且 ， 则 ,故四边形 为平行四边形，则 ， 因为 平面， 平面，所以 平面； （2）． 【18题答案】 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）4，． 【19题答案】 【答案】（1） （2） ①证明：如图，设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线 所过定点必在轴上， 令 ，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以 过定点； ； ② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $