精品解析：福建省厦门第二中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025——2026学年第一学期厦门二中高二12月月考数学试卷 命卷教师：沈备 审卷教师：高艳敏 考试时间：2025年12月29日（满分150分，时间120分钟） 考试范围：选择性必修一、选择性必修二（第四章数列） *祝考试顺利* 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，在直线 上，则直线 的方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线 与向量共线，求出判断即可 【详解】 在直线 上，， ， 向量是直线 的方向向量． 故选：A 2. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率公式可知，椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大，比较出三个椭圆的长轴长与短轴长的比值大小，由此可得出结论. 【详解】因为椭圆的离心率， 所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大. 因为，，，则，所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得 、 的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于 、 的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 3. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设、分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于 、 两点，若，恰好是的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意以及双曲线的定义即可求出． 【详解】如图所示： 由题意可知，，，所以， 由双曲线的定义可得，，所以． 故选：A． 4. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若 ，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出关于 的方程,计算出 ,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知 ,所以. 所以. 故选:C. 5. 已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算得，，进而计算夹角即可得答案. 【详解】解：由题意，得， 所以， 设向量和的夹角为 ，则， 又，所以. 故选：C. 6. 已知正项数列中，，则数列的通项公式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件可得，，与已知条件相减即可求出，检验 满足，即可求解. 【详解】∵， ∴， 两式相减得 ∴，① 又当 时，， ，适合①式， ∴. 故选：B 7. 已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+ 2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求圆的半径，四边形的最小面积是，转化为三角形的最小面积是，求出切线长，再求 的距离也就是圆心到直线的距离，可解的值． 【详解】圆的圆心 ，半径是， 由圆的性质知：，四边形的最小面积是， 的最小值是切线长）. 所以|PC|的最小值为， 所以 故选： ． 【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式等知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 8. 抛物线的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N.则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设，过A，B点分别作准的垂线AQ，BP，由抛物线定义，得，在中，利用余弦定理结合基本不等式、抛物线的定义可得，从而可求得结果 【详解】 设，过A，B点分别作准的垂线AQ，BP， 由抛物线定义，得， 在梯形ABPQ中，. 由余弦定理得，， 又. 得到，即的最大值为1， 故选:C. 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的性质及应用，考查余弦定理和基本不等式的应用，解题的关键是运用抛物线的定义和梯形中位线定理找出关系，再利用余弦定理和基本不等式可得结论，考查转化思想，属于中档题 二、选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前 项和，且，有下列四个命题，其中是真命题的是（ ） A. 公差 B. 在所有中，最大 C. D. 满足的 的个数有15个 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由已知的不等式，以及，，，利用不等式的性质得出，及的符号，进而再利用等差数列的性质及求和公式对各项进行判断，即可得到正确选项. 【详解】，且， ，即， 又，， ，即， ，故选项 ， 为真命题； ，， ，即， 又， ， 又， ， 又， ， 故选项 为真命题，选项 为假命题； 故选： . 【点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式的综合运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 10. 已知､分别为双曲线的左､右焦点，点M为双曲线右支上一点，设，则下列说法正确的是( ) A. 线段 长度的最小值为 B. 线段长度的最小值为 C. 若当时，(O为坐标原点)恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为 D. 当时，若直线 与圆相切，则双曲线C的渐近线的斜率的绝对值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线焦半径和通径的性质可判断AB；根据可判断C；设 与圆相切于A，连接OA，则OA⊥ ；过作于点B，根据几何关系求出、，从而求出，再求出，根据可求，从而可求双曲线渐近线的斜率绝对值，从而判断D． 【详解】当M为双曲线右顶点时，线段 长度的最小值为 ，故A正确； 当x轴时，线段长度的最小值为或(与离心率有关)，故B错误； 对于C，若当时，为等边三角形， 则，，， ∴离心率，故C正确； 对于D，如图，设 与圆相切于A，连接OA，则OA⊥ ；过作于点B， 则，，，，，． ∵M在双曲线上，∴，即， ∴，则双曲线渐近线斜率的绝对值为，故D正确． 故选：ACD． 11. 在正三棱柱中，，点 满足，其中，，则（ ） A. 当 时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点 ，使得 D. 当时，有且仅有一个点 ，使得 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 点的个数． 【详解】 易知，点 在矩形内部（含边界）． 对于A，当 时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时 点轨迹为线段，而，平面 ，则有 到平面 的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取 ，中点分别为 ， ，则，所以 点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以 点轨迹为线段 ．设，因为，所以，，所以，此时 与 重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正方体中，点 是的中点，且 ，则实数的值为______. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式，可得出 、 的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 由题意可知，点 为的中点， 则， 所以，， ，则. 故答案为：. 13. 数列的通项为，其前n项和为，若，则项数 ________． 【答案】99 【解析】 【分析】根据给定条件，利用裂项相消法求和作答. 【详解】依题意，， 因此， 而，则，解得， 所以项数. 故答案为：99 14. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次． 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：设第n个数为，则有．由递推公式可得，当报到第4k（）个数的时候，恰好是3的倍数，当k取4,9,14,19,24时，甲同学拍手一次，共5次． 四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 【答案】（1）x＝4或3x＋4y-8＝0. （2） 【解析】 【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程； （2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长. 【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0， 则圆心到直线的距离为即，解得， 所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0. （2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0， 圆心到直线l的距离 故所求弦长为：. 16. 已知直三棱柱中，侧面 为正方形，，E，F分别为 和的中点，D为棱上的点． （1）证明： ； （2）当 为何值时，面与面 所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）[方法一]：几何法 因为 ，所以 ． 又因为， ，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作 的平行线分别与 交于其中点，连接 ， 因为E，F分别为 和的中点，所以 是BC的中点， 易证 ，则 ． 又因为 ，所以 ． 又因为，所以 平面． 又因为 平面，所以 ． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱， 底面 ， ，， ，又 ， 平面．所以两两垂直． 以 为坐标原点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图． ， ． 由题设 （）． 因为 ， 所以 ，所以 ． [方法三]：因为， ，所以 ，故 ， ，所以 ，所以 ． （2） 【解析】 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面 的法向量为 ， 因为 ， 所以，即． 令 ，则 因为平面的法向量为 ， 设平面与平面 的二面角的平面角为 ， 则． 当时， 取最小值为， 此时 取最大值为． 所以，此时． [方法二] ：几何法 如图所示，延长 交的延长线于点S，联结 交于点T，则平面 平面 ． 作 ，垂足为H，因为 平面，联结 ，则为平面与平面 所成二面角的平面角． 设 ，过作交 于点G． 由得 ． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结 ， 在平面的投影为 ，记面与面 所成的二面角的平面角为 ，则． 设 ，在 中，． 在 中，，过D作 的平行线交 于点Q． 在 中，． 在中，由余弦定理得，， ， ，， 当，即，面与面 所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面 在面上的投影三角形的面积与 面积之比即为面与面 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维． 17. 已知等比数列和递增的等差数列满足，，，. （1）求数列和数列的通项公式； （2）数列和数列中的所有项分别构成集合 和 ，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列前63项和. 【答案】（1） （2）6043 【解析】 【分析】（1）根据等差等比数列的基本量列方程求解即可.（2）将的前63项中含数列中的前5项和前4项两种情况得 的范围，在结合等差数列和等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 设等比数列和递增的等差数列的公比和公差分别为:，故由，，，可得:解得 故 【小问2详解】 当数列前63项中含有数列中4项时，令，此时最多23+3=26项，不符合题意 当数列前63项中含有数列中5项时，令，且是和的公共项，则前63项中含有数列中的前5项和的前60项，再减去公共的两项，故 18. 已知圆M：x2+(y-)2=4与抛物线E：x2=my(m>0)相交于点A，B，C，D，且在四边形ABCD中，AB//CD． （1）若，求实数m的值； （2）设AC与BD相交于点G，△GAD与△GBC组成蝶形的面积为S，求点G的坐标及S的最大值． 【答案】（1）m=1；（2）G(0，)；S最大值为3． 【解析】 【分析】(1)联立圆M与抛物线E的方程，设出点A，D坐标，利用向量数量积求解即得； (2)利用抛物线的对称性，设出G点坐标，利用三点共线可得G的坐标，利用割补法借助(1)中有关关系式列出函数，进而得解. 【详解】（1）依据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形， 不妨设，A，D在第一象限，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(-x1，y1)，C(-x2，y2)，y1<y2， 联立消去x得：，显然关于y的一元二次方程有互异二正根， 所以，解得m<2，而m>0，即0<m<2, 由，得，即， 由，得m=1； （2）依据对称性，点G在y轴上，可设G(0，a)， 由得，， 所以，， 则，即G(0，)； ，当且仅当m=1时取“=”， 所以m=1时，S取得最大值3． 【点睛】关键点睛：圆与圆锥曲线相交问题，合理利用好它们的对称性是解决问题的关键. 19. 在平面直角坐标系 中，对于直线和点，，记，若，则称点，被直线l分离，若曲线c与直线l没有公共点，且曲线c上存在点，被直线l分隔，则称直线l为曲线c的一条分隔线． （1）求证：点，被直线 分隔； （2）若直线 是曲线的分隔线，求实数k的取值范围； （3）动点M到点的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出，即得证； （2）充要条件是方程组有解，即． 是曲线的分隔线，则它们没有公共点，所以，即得解； （3）先求出曲线E的方程：．再分析得到y轴为曲线E的分隔线，直线 不是曲线E的分隔线，即得证. 【详解】解：（1）证明：由题得 ∴点A，B被直线 分隔． （2）直线 与曲线有公共点的充要条件是方程组有解，即． ∵ 是曲线的分隔线，故它们没有公共点，即， 当时，对于直线 ，曲线上的点和满足，即点和被 分隔． 故实数k的取值范围是． （3）证明：设M的坐标为，则曲线E的方程为，即． 对任意的，不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点． 又曲线E上的点和对于y轴满足， 即点和被y轴分隔．∴y轴为曲线E的分隔线． 若过原点的直线不是y轴，设其为 ，由得，令， ∵， ∴方程有实数解． 即直线 与曲线E有公共点，故直线 不是曲线E的分隔线． 综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年第一学期厦门二中高二12月月考数学试卷 命卷教师：沈备 审卷教师：高艳敏 考试时间：2025年12月29日（满分150分，时间120分钟） 考试范围：选择性必修一、选择性必修二（第四章数列） *祝考试顺利* 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，在直线 上，则直线 的方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 3. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设、分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于 、 两点，若，恰好是的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若 ，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 5. 已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项数列中，，则数列的通项公式为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+ 2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N.则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前 项和，且，有下列四个命题，其中是真命题的是（ ） A. 公差 B. 在所有中，最大 C. D. 满足的 的个数有15个 10. 已知､分别为双曲线的左､右焦点，点M为双曲线右支上一点，设，则下列说法正确的是( ) A. 线段 长度的最小值为 B. 线段长度的最小值为 C. 若当时，(O为坐标原点)恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为 D. 当时，若直线 与圆相切，则双曲线C的渐近线的斜率的绝对值为 11. 在正三棱柱中，，点 满足，其中，，则（ ） A. 当 时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点 ，使得 D. 当时，有且仅有一个点 ，使得 平面 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正方体中，点 是的中点，且 ，则实数的值为______. 13. 数列的通项为，其前n项和为，若，则项数 ________． 14. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次． 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________． 四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 16. 已知直三棱柱中，侧面 为正方形，，E，F分别为 和的中点，D为棱上的点． （1）证明： ； （2）当 为何值时，面与面 所成的二面角的正弦值最小? 17. 已知等比数列和递增的等差数列满足，，，. （1）求数列和数列的通项公式； （2）数列和数列中的所有项分别构成集合 和 ，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列前63项和. 18. 已知圆M：x2+(y-)2=4与抛物线E：x2=my(m>0)相交于点A，B，C，D，且在四边形ABCD中，AB//CD． （1）若，求实数m的值； （2）设AC与BD相交于点G，△GAD与△GBC组成蝶形的面积为S，求点G的坐标及S的最大值． 19. 在平面直角坐标系 中，对于直线和点，，记，若，则称点，被直线l分离，若曲线c与直线l没有公共点，且曲线c上存在点，被直线l分隔，则称直线l为曲线c的一条分隔线． （1）求证：点，被直线 分隔； （2）若直线 是曲线的分隔线，求实数k的取值范围； （3）动点M到点的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $