9.2 中心对称与中心对称图形 导学案 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦中心对称与中心对称图形，涵盖定义、性质、作图及应用。通过回忆平移、翻折等图形变换旧知，结合透明纸旋转180度操作，搭建从已有变换到中心对称的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于强化动手操作与直观感知，借助透明纸旋转、尺规作图培养空间观念，通过对比辨析与生活实例分析发展推理意识，分层习题结合生活应用，助力学生用数学眼光观察现实世界，提升学习效率与学科素养。

2025-2026学年初中数学苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形 9.2 中心对称与中心对称图形导学案（阅读课）（同步练习） 【模块一 学习目标】 一、我能用自己的语言复述中心对称和中心对称图形的定义，能说出两者的区别与联系。 二、我能准确找出已知图形关于某点成中心对称的对称点，并画出完整的中心对称图形。 三、我能写出中心对称的性质，并用这些性质去计算线段长度、判断角度关系。 四、我能在生活实例中识别中心对称图形，列举三个以上生活中的中心对称图形例子。 五、我能用中心对称的作图方法，解决简单的几何变换问题，体会转化思想在几何中的应用。 【模块二 课前预习】 第1题：回忆一下，我们学过的图形变换有哪些？平移和翻折各有什么特征？请画出三角形ABC向右平移3格后的图形，再画出它关于直线l翻折后的图形。这两种变换中，对应点的连线有什么规律？ 第2题：拿出一张透明纸，画一个任意四边形，在纸外取一点O。把透明纸绕O点旋转180度，观察原来的图形和旋转后的图形位置关系。你有发现什么？原来的A点跑到了哪里？B点呢？把所有对应点连起来，这些连线经过O点吗？被O点平分吗？ 第3题：找找你身边的中心对称图形。电风扇的叶片是吗？为什么？扑克牌里的红桃A是中心对称图形吗？黑桃2呢？把你的判断写下来，明天在课堂上和大家分享你的理由。注意啦，不是所有对称的东西都是中心对称，动脑筋想想区别。 【模块三 知识点梳理】 一、中心对称的定义与性质 1.【中心对称的定义】把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，也称【中心对称】。这个点叫【对称中心】。说白了就是，两个图形通过一次180度旋转能完全扣在一起。 2.【对应点与对称中心的关系】在中心对称中，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。我举个例子：如果点A和点A'是关于点O成中心对称的对应点，那么O一定是线段AA'的中点。这是孩子们最容易出错的地方，他们常常画图时把点定偏了。 图1 中心对称性质示意图 3.【中心对称的性质推导】为什么对称中心恰好平分对应点的连线？因为旋转180度相当于把线段绕O点转半圈，A转到A'，OA和OA'长度相等、方向相反，自然O就是AA'的中点。这里可以用动画演示，或者让学生用圆规验证——以O为圆心、OA为半径画弧，A'恰好落在弧上且A、O、A'共线。 【注意】中心对称是两个图形之间的关系，不能单独说"这个图形成中心对称"，必须说"这两个图形成中心对称"。 二、中心对称图形的定义与性质 1.【中心对称图形的定义】把一个图形绕某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫【中心对称图形】。这个旋转中心就是它的对称中心。平行四边形就是典型的中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点。 图2 平行四边形中心对称示意图 2.【常见中心对称图形识别】线段（以中点为对称中心）、平行四边形（对角线交点为对称中心）、圆（圆心为对称中心）都是中心对称图形。正偶边形（正方形、正六边形等）是中心对称图形，但正奇边形（正三角形、正五边形）不是。这里容易踩坑，很多学生凭感觉以为所有正多边形都是，一检验就露馅。 图3 常见中心对称图形识别 3.【中心对称图形的性质应用】如果一个图形是中心对称图形，那么对称中心平分图形内任意一条经过它的弦。在平行四边形中，过对角线交点的任意直线都把平行四边形分成面积相等的两部分。这个性质在做面积分割题时很有用。 【课堂探究活动】 活动名称："旋转中心在哪里？" 教师：同学们，我在黑板上给出两个成中心对称的三角形，但不标出对称中心。你能用最短的时间找到对称中心吗？需要几步？ 学生可能回答：连一对对应点，取中点。 教师追问：如果只给一对对应点，能找到中心吗？不给对应点呢？ 引导学生讨论得出：至少需要一对对应点，连接后取中点即可。如果图形完整，连接两对对应点，两条连线的交点也是对称中心。这个探究活动能帮助学生从"记住结论"转向"理解原理"。 三、中心对称与中心对称图形的区别与联系 1.【根本区别】中心对称说的是两个图形之间的关系，中心对称图形说的是一个图形自身的特性。你可以说"三角形ABC与三角形A'B'C'关于点O成中心对称"，但不能说"三角形A'B'C'是中心对称图形"（一般三角形不是）。 2.【内在联系】如果把成中心对称的两个图形看作一个整体，这个整体图形可能是一个中心对称图形，也可能不是。把一个中心对称图形被对称中心分成的两部分，每一部分都可以看成是通过中心对称得到的。 3.【判断题型解析】判断"平行四边形是中心对称图形"和"平行四边形关于对角线交点成中心对称"都对；但判断"两个完全一样的平行四边形成中心对称"，必须看位置是否满足旋转180度重合，不是形状相同就行。 【重点】中心对称的画图步骤是本节的核心操作技能。具体分三步：第一步，找关键点（通常是图形的顶点）；第二步，用对称中心到关键点的距离相等、方向相反确定每个关键点的对称点——实际作图中，连接关键点与对称中心并延长一倍，用圆规截取等长最保险；第三步，顺次连接所有对称点。为什么说这是重点？因为后面学平行四边形、特殊平行四边形的性质和判定，很多证明题的辅助线作法都源于此，掌握不牢会连锁反应。另外从应试角度看，作图题每章都有，分值在4-6分，是必须拿住的基础分。 【难点】学生最难理解的是"对称中心为何恰好是中点"以及"中心对称图形绕中心旋转180度后重合"的空间想象。突破方法：不用PPT动画，让学生用两张透明纸实际操作，第一张画原图并刺出中心点，第二张盖上去描出原图，然后用笔尖按住中心点，把第二张纸旋转180度，亲眼看到两图重叠。这个亲手操作的过程，比看十遍动画都管用。对于空间感弱的孩子，再补一个辅助理解——把中心对称想象成"转陀螺"，陀螺的中心轴就是对称中心，转半圈后原来的位置对应的点就到对面去了。 【板书设计】 标题：9.2 中心对称与中心对称图形 左栏： 一、定义 1.中心对称（两图形旋转180°重合） 2.对称中心 3.对应点 二、性质 1.对应点连线过对称中心 2.被对称中心平分 3.对应线段平行且相等 右栏： 三、中心对称图形 1.定义（一个图转180°与自身重合） 2.举例：□、○、线段 四、作图步骤 1.找关键点 2.连并延长截等长 3.顺次连接 中间预留：例题板演区域 【模块四 例题讲解】 例题1：如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A'B'C'D'。 【图像说明：四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D位置任意，点O在四边形外部】 图4 四边形中心对称作图示例 解答：第一步，连接AO并延长到A'，使OA'=OA，用圆规截取OA长度，以O为圆心在AO延长线上截得A'点。第二步，同样方法作出B的对称点B'：连接BO并延长，截取OB'=OB。第三步，作出C'、D'。第四步，顺次连接A'、B'、C'、D'，得到四边形A'B'C'D'，即为所求的图形。 方法总结：画图时圆规的使用是保证精准的关键，不能只用刻度尺"大约延长一倍"，那样误差大。做图后可以验证：连接AA'、BB'、CC'、DD'，看它们是否共点于O，O是否恰好是每条线段的中点。 例题2：已知三角形ABC与三角形A'B'C'关于点O成中心对称，AB=5cm，BC=6cm，角B等于70度。求A'B'的长度和角B'的度数。 图5 三角形中心对称示意图 解答：因为三角形ABC与三角形A'B'C'关于点O成中心对称，所以对应边相等、对应角相等。A'B'对应AB，因此A'B'=AB=5cm。角B'对应角B，因此角B'=角B=70度。这里要注意，中心对称后的图形大小形状都不变，只是位置发生变化，对应线段不仅相等而且平行。 方法总结：凡是涉及中心对称性质的计算题，牢记"对应线段平行且相等、对应角相等"，直接转化即可，不用重新推导。 例题3：判断下列说法是否正确，错误的请举反例。 （1）两个全等的图形一定成中心对称。 （2）成中心对称的两个图形一定全等。 （3）中心对称图形就是轴对称图形。 解答：（1）错误。两个全等的三角形叠放在一起，如果不满足旋转180度后重合的条件，就不成中心对称。比如两个完全一样的三角形并排放置，它们全等但不成中心对称。反例：取两个相同的直角三角形，一个斜边朝左上，一个斜边朝右下，并排摆放即可。（2）正确。中心对称是旋转180度的变换，不改变图形的大小和形状，所以两个图形必然全等。（3）错误。平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形（一般平行四边形沿任何直线对折都不重合）。反例：一般的平行四边形找不出一条对称轴，但它绕对角线交点旋转180度后与自身重合。 方法总结：判断题要学会举反例，一个反例就能推翻全称判断。常见反例储备：平行四边形反驳"中心对称必轴对称"，普通两个全等三角形反驳"全等必中心对称"。 【模块五 课堂练习】 基础巩固 1. 下面四个图形中，是中心对称图形的有哪些？圆、等边三角形、线段、正五边形。 2. 已知点A和点B，找出线段AB的中点O，并说明线段AB关于点O是否成中心对称。 3. 如图，三角形ABC与三角形DEF关于点O成中心对称，已知AC=8厘米，角A=55度，求DF的长度和角D的度数。 4. 画出三角形PQR关于点M成中心对称的图形，已知三角形PQR的顶点坐标分别为P(1,2)、Q(3,1)、R(2,4)，对称中心为M(2,3)。（坐标系方格纸作图） 【图像说明：三角形ABC与三角形DEF位置成中心对称，点O在两三角形之间】 图6 坐标系中的中心对称作图 能力提升 5. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，用中心对称的知识说明：为什么OA=OC，OB=OD？ 6. 已知四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为O，经过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F，交AD、BC于G、H。你能找到图中哪些线段相等？并说明理由。 7. 用一条直线把一块平行四边形形状的蛋糕分成面积相等的两块，最少有几种分法？为什么？ 8. 小明说："两个成中心对称的三角形拼在一起，组成的四边形一定是平行四边形。"你同意吗？如果同意说明理由，如果不同意举反例。 【模块六 参考答案】 第一部分 课堂练习参考答案 第1题：圆和线段是中心对称图形。等边三角形和正五边形不是中心对称图形。判断方法：想象绕图形中心点旋转180度，看能否与自身重合。圆的对称中心是圆心，线段的对称中心是中点（线段可以看作无数个点关于中点成对出现）。等边三角形绕重心转180度，顶点对着的是对边中点位置，无法重合。正五边形同理。 第2题：连接AB，取AB的中点O，即O是线段AB的中点。线段AB是一个中心对称图形，它的对称中心就是中点O，把线段绕O旋转180度后端点A转到端点B的位置，端点B转到端点A的位置，整个线段与自身重合。这是一个图形自身的对称性，属于中心对称图形范畴。（补充：如果看成点A和点B两个图形，那么它们关于点O成中心对称，这是两个图形之间的关系。） 第3题：因为三角形ABC与三角形DEF关于点O成中心对称，根据中心对称的性质，对应线段相等，对应角相等。DF对应AC，所以DF=AC=8厘米。角D对应角A，所以角D=角A=55度。解题时先找出对应顶点——A对应D，C对应F，因此AC对应DF。 第4题：作图步骤：连PM并延长到P'，取MP'=MP，P'坐标为(3,4)。连QM并延长到Q'，取MQ'=MQ，Q'坐标为(1,5)。连RM并延长到R'，取MR'=MR，R'坐标为(2,2)。顺次连接P'、Q'、R'得三角形P'Q'R'，即为所求。验证：各对应点连线都经过M(2,3)且被M平分。 第5题：平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为对角线的交点O。根据中心对称的性质，图形绕O旋转180度后，AB与CD重合，AD与BC重合。因此，A点转到C点位置，B点转到D点位置。所以A、C关于O对称，B、D关于O对称。由中心对称性质得O平分AC和BD，即OA=OC，OB=OD。这就是从中心对称角度解释平行四边形对角线互相平分的性质，两种理解方式殊途同归。 第6题：图中相等的线段有OE=OF，OG=OH。理由：四边形ABCD是中心对称图形，O为对称中心。直线EF经过对称中心O，在中心对称图形中，过对称中心的任意直线被对称中心平分的是该直线夹在图形内部的两段。因为E、F在对应边上，绕O旋转180度后AB与CD重合，E转到F的位置，所以OE=OF。同理，AD与BC对应，G转到H的位置，OG=OH。更进一步，如果连接EG和FH，还能得出EG平行且等于FH。 第7题：有无数种分法。因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点O。过对称中心O的任意一条直线都将平行四边形分成两个全等的四边形，这两个四边形关于点O成中心对称，面积自然相等。所以只要直线经过平行四边形对角线的交点，就满足条件。从操作角度讲，找到蛋糕中心（对角线交点），用刀经过这个点切下去，怎么切都是公平分法。 第8题：同意。已知三角形ABC与三角形A'B'C'关于点O成中心对称，那么对应点的连线AA'、BB'、CC'都经过O且被O平分。在两个三角形拼合时，A与A'对应、B与B'对应、C与C'对应。拼合后的四边形中，A'B'可以由AB旋转180度得到，因此AB平行且等于A'B'，由平行四边形的判定定理可知四边形ABA'B'是平行四边形。同理可证其他组合方式也得到平行四边形。这里的关键是利用中心对称性质推出对边平行且相等，转化为平行四边形的判定条件。 第二部分 课后巩固参考答案 第1题（10分）：能通过一次旋转变换与自身重合的图形，就是中心对称图形。正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，绕该点旋转180度后正方形四个顶点位置互换——左上变右下、右上变左下，图形整体与自身完全重合。等边三角形不是中心对称图形，绕重心转180度后三个顶点移到对应边中点外侧，无法与自身重合（可以实际操作验证，用硬纸板剪一个等边三角形试转）。识别中心对称图形的核心方法：把图形倒过来看，如果和原来一样就是中心对称图形。正方形倒过来还是正方形，等边三角形倒过来尖角朝下了，就不一样了。 第2题（10分）：如图，过点O任意画两条不共线的直线l1和l2。在l1上取一点A，作A关于O的对称点A'。在l2上取一点B，作B关于O的对称点B'。连接AB、A'B'，得到四边形ABA'B'。因为AA'与BB'互相平分于O，根据平行四边形的判定——对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形ABA'B'是平行四边形。这题对于理解平行四边形与中心对称的关系很有帮助，其实平行四边形就是由中心对称性质决定的一类四边形。（注：如果学生在作图时把A、B取在O的同侧，得到的四边形可能是交叉四边形，不作要求） 第3题（12分）：（1）由于三角形A'B'C'与三角形ABC关于点O成中心对称，所以三角形A'B'C'全等于三角形ABC。因此A'B'=AB=10cm，角C'=角C=90度——因为三角形ABC是直角三角形，对应角相等。（2）连接AA'、BB'、CC'，这三条线段都经过点O且被O平分。根据"一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形"的逆定理，或者直接运用中心对称性质，得出AB平行且等于A'B'，因此四边形ABA'B'是平行四边形，且角C为90度，进而证明四边形ABA'B'是矩形。完整的推理过程：中心对称→AB平行且等于A'B'→四边形ABA'B'为平行四边形→角C=90度→平行四边形含直角→矩形。 【模块七 课后巩固】 第1题（10分）：请用自己的语言描述什么是中心对称图形，举出三个生活中常见的中心对称图形实例，并说明如何快速判断一个图形是否是中心对称图形。对比正方形和等边三角形，为什么正方形是中心对称图形而等边三角形不是？ 第2题（10分）：已知点O是线段PQ的中点。请用中心对称的知识，画出一个以O为对称中心且四个顶点分别在过点O的两条直线上的平行四边形，并说明你的画图依据。 第3题（12分）：如图，直角三角形ABC中，角C等于90度，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm。点O为平面内一点，三角形A'B'C'与三角形ABC关于点O成中心对称。 （1）求线段A'B'的长度和角C'的度数。 （2）连接AA'、BB'、CC'，判断四边形ABA'B'的形状并证明。 （3）当点O运动到什么位置时，四边形ABA'B'成为正方形？说明理由。 【模块八 易错点分析与学法指导】 易错点一：混淆中心对称和中心对称图形的概念。 错误表现：学生常说"等边三角形是中心对称图形"——他们误把"有对称中心"等同于"中心对称图形"。在表述时，"三角形ABC关于点O中心对称"说不完整，丢掉了"与三角形A'B'C'"。 正确做法：教会学生区分："两个图形的关系"用"中心对称"；"一个图形的性质"用"中心对称图形"。做判断题时，先问自己：这是说一个图形还是说两个图形？如果是一个图形，旋转180度后和自身重合吗？可以用剪纸操作验证，剪一个等边三角形绕重心转180度试试，看到尖端不再朝上，自然明白它不是中心对称图形。 易错点二：画中心对称图形时对称点定位不准。 错误表现：学生用刻度尺测量时"大概延长一倍"，导致A'点偏离正确位置，连出来的图形歪歪扭扭。有的学生甚至只延长OA但忘了让O在AA'中间，把A'画在了A和O之间。 正确做法：养成用圆规作图的习惯。步骤——以O为圆心、OA为半径画弧，交AO延长线于一点，这个点才是A'。圆规的固定脚插在O点不放，测出OA的距离后在延长线方向截取同长。做完后，连接A和A'，用刻度尺量一下，O必须是AA'的中点。如果发现O不是中点，说明画错，立刻重来。作图严谨性从这里开始培养。 易错点三：不会灵活运用中心对称性质解题。 错误表现：遇到复杂图形中的线段相等、平行问题，想不到用中心对称的性质去分析。比如在平行四边形中证明相关性质时，习惯性地一条条边去证，绕了弯路。 正确做法：把图形中的对称关系作为"第一视角"去看。看到一个图形绕某点旋转180度能与另一个图形重合，直接调用性质：对应线段平行且相等、对应角相等、对应点连线被对称中心平分。这些是"打包"好的结论，直接用就好，不用再拆开证明。 学法指导： 一、动手操作法。这节内容光看课本是不够的，没有空间感知支撑，概念是空的。找一张透明硫酸纸或薄纸，画一个不规则的四边形，用图钉在纸外固定一个点作为对称中心，把纸转180度，看图形的落位。反复操作几次，你就能在脑子里"看到"旋转后的画面了。 二、概念对比法。把"中心对称"和前面学的"轴对称"列表对比：轴对称是沿直线翻折180度（就是翻个面，上下对折或左右对折），中心对称是绕点旋转180度（原地转半圈）。对比后会发现，轴对称中对应点连线被对称轴垂直平分，中心对称中对应点连线被对称中心平分——一个是对称轴与连线垂直，一个是连线经过对称中心。搞清区别，混不起来了。 三、尺规作图强化法。准备一套好用的圆规和直尺，反复练习三个基本画图：一是给出一个点和对称中心，画对称点；二是给一个三角形和对称中心，画对称三角形；三是两个已知点关于某未知点成中心对称，求对称中心。每种练五遍以上，画完自己检验，直到圆规操作熟练、点定位准确为止。 知识网络图（文字描述）： 中心对称与中心对称图形知识结构：以"旋转180度"为核心，分两个大方向。方向一：两个图形之间的关系——中心对称，包含定义（旋转180度重合）、性质（连线被对称中心平分、对应线段平行且相等）、作图方法（找点、连线、截等长）。方向二：一个图形自身的特性——中心对称图形，包含定义（旋转180度与自身重合）、常见图形（圆、平行四边形、线段、正偶边形）、判定方法（找对称中心并验证旋转重合）。两大方向交汇于"平行四边形"这一核心载体——平行四边形既是中心对称图形的典型代表，又可看作两个全等三角形成中心对称拼合的结果。后续学习的矩形、菱形、正方形作为特殊平行四边形，都以中心对称性为基础叠加轴对称性。 学科网（北京）股份有限公司 $