3. 5 确定圆的条件·导学案 2025--2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“确定圆的条件”核心概念，围绕“不在同一直线上的三个点确定一个圆”定理及三角形外接圆、外心等知识，设定理解条件、复述定理、尺规作图、概念区分等学习目标。通过课前预习回顾旧知、知识点递进探究（从过一点到三点）、例题练习巩固等模块，构建从旧知到新知、从概念到应用的完整学习路径。 亮点在于“探究式学习+实践应用”设计，课堂探究活动让学生动手画锐角、直角、钝角三角形外接圆，观察外心位置规律，培养几何直观与空间观念。实际应用例题（复原残圆、建学校选址）引导用数学思维解决问题，发展推理意识。提供知识点梳理、易错点分析等工具，支持学生系统复习，为教师教学提供清晰指导。

2025-2026学年·初中数学·北师大版·九年级下册·第三章 圆 5 确定圆的条件·导学案（概念课） 【模块一 学习目标】 1. 我能说出确定一个圆需要几个条件，并能解释为什么两个点或一个点无法唯一确定一个圆。 2. 我能准确复述“不在同一直线上的三个点确定一个圆”这一核心定理，并会用尺规作图作出过已知不在同一直线上三点的圆。 3. 我能结合图形，判断三个给定点是否一定能画出一个圆，并准确找出圆心和半径。 4. 我能区分三角形外接圆、外心等概念，计算或说出不同三角形外心的位置特点。 【模块二 课前预习】 1. 回顾思考：你已经学过圆的两种定义方式，请写下来。平面上，过一个点可以画条直线，过两个点可以画条直线。由此类比，过一个点你能画多少个圆？过两个点呢？动手在草稿纸上试试看，并记录你的发现。 2. 新知初探：阅读课本“确定圆的条件”这一节内容，回答：课本上提出需要几个点才能唯一确定一个圆？这几个点需要满足什么特殊的位置要求？尝试用三个硬币摆一摆，当它们排成一条直线时，能顺利画出一个同时经过它们的圆吗？ 3. 生活链接：你家附近有没有三家不同的小区，恰好位于一条直线附近？如果要在它们之间建一个圆形街心花园，让三个小区的人到花园距离相等，你觉得可能吗？带着问题找一找，课上和大家分享。 【模块三 知识点梳理】 一、从点的个数探索确定圆的条件 1. 过一个已知点A作圆 平面内给定一个点A，你可以画出无数个圆。这些圆的圆心可以取在除点A外的平面内任意位置，半径就是圆心到点A的距离。因为圆心位置和半径大小都不固定，所以过一个点的圆不确定。 图1 过一个点可以作无数个圆 2. 过两个已知点A、B作圆 先连接线段AB。做过A、B两点的圆，其圆心必须在什么地方呢？因为圆心到A、B的距离必须相等（都等于半径），所以圆心必然在线段AB的垂直平分线上。这条线上有无数个点，任取一点为圆心，它到A或B的距离为半径，都能画出经过A、B的圆。因此，过两个已知点的圆也有无数个。我们只能确定圆心所在的这条线，但无法锁定唯一的圆心位置。 图2 过两点的圆圆心在垂直平分线上 【注意】过两点可以作无数个圆，这些圆的圆心轨迹是连接这两点所得线段的垂直平分线。这实际上把问题从“找圆心”转化为了“找两条垂直平分线的交点”，为下面学习过三点作圆埋下伏笔。 3. 过不在同一直线上的三个已知点A、B、C作圆 分两步走。第一步，连接AB，作线段AB的垂直平分线m。第二步，连接BC，作线段BC的垂直平分线n。因为A、B、C三点不共线，所以m和n必定相交于一点，记作O。这个交点O到A、B、C三点的距离都相等，即OA=OB=OC。以O为圆心，OA为半径画圆，这个圆必然经过A、B、C三点。由于两条直线的交点只有一个，所以圆心O是唯一的，半径也随之唯一。由此我们得到本节核心定理： 图3 过不在同一直线上的三点确定一个圆 【定理】不在同一直线上的三个点确定一个圆。 【温馨提示】“确定”这个词有两层意思：第一，可以作出一个圆；第二，只能作出一个圆。存在且唯一，缺一不可。如果三点共线，两条垂直平分线平行，没有交点，画不出圆来。注意啦，这里容易踩坑，很多同学会忽略“不在同一直线上”这个限制条件。 二、三角形的外接圆与圆的内接三角形 1. 外接圆与内接三角形的概念 经过三角形三个顶点的圆，叫做这个三角形的【外接圆】。这个三角形叫做该圆的【内接三角形】。每个三角形都有且只有一个外接圆，这正是“三点确定一个圆”的直接应用。 2. 外心的概念 外接圆的圆心叫三角形的【外心】。它是三角形三条边垂直平分线的交点。为什么是三条边而不只是两条呢？因为两点确定一条垂直平分线，作两条就能找到圆心，第三条边的垂直平分线必然也经过这一点，可以用于检验作图是否准确。 3. 外心的性质 外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆的半径R。这个性质是证明点共圆、计算与圆相关距离问题的关键依据。 【课堂探究活动】请同学们拿出纸笔，分别画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形。用尺规分别作出它们的外接圆。观察外心O与三角形的位置关系，把你的发现填在表格里。你能总结出规律吗？ 学生甲画完后举手：老师，我发现锐角三角形的外心在三角形内部。学生乙补充：直角三角形的外心正好在斜边的中点上！钝角三角形的外心跑到三角形外面去了。说得很好，这就是不同类型三角形外心位置的规律。说白了，外心位置由“三角形各角是否大于90度”决定。 图4 锐角三角形外心在内部 图5 直角三角形外心在斜边中点 图6 钝角三角形外心在外部 三角形类型 外心位置 特点 锐角三角形 三角形内部 到三个顶点距离相等 直角三角形 斜边中点 外接圆半径=斜边的一半 钝角三角形 三角形外部 位于钝角所对边的外侧 三、尺规作图规范 1. 作三角形外接圆的步骤 已知△ABC，求作其外接圆。步骤：作边AB的垂直平分线；作边BC（或AC）的垂直平分线，两线交于点O；以O为圆心，OA长为半径画圆。理论依据是不在同一直线上三点确定一个圆，交点O即外心。 2. 作图说明 垂直平分线的痕迹要保留清晰，作图痕迹不能擦掉。标出圆心O和半径，并写出结论“⊙O即为所求”。 【注意】实际题目中常结合“找圆心”问题，比如给出一段圆弧或一块圆形残片，让你复原这个圆。方法就是在圆弧上任意取三个不共线的点，转化为过三点作图模式。 【重点】 定理“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的探究过程和准确表述。重点要让学生经历从过一个点、两个点画无数个圆，到过三个不共线点只能画一个圆的完整探究链条。我设计教学时，会先让学生动手操作，在尝试中发现“过一点能画无数个圆”“过两点圆心在一条线上，还是无数个”，形成认知冲突，再引出三个点的情况。这时候学生自然就会追问：三个点是不是一定能画圆？这个探究顺序符合从特殊到一般的认知规律，能让学生深刻体会到条件逐步增加带来的唯一性变化，而不是死记硬背定理。重点突破时，要强调“确定”蕴含的“存在性”和“唯一性”，并通过反例（三点共线）来强化条件意识。 【难点】 理解外心概念及其与三角形形状的关系。难点在于学生对“外心是垂直平分线交点”到“外心可以在三角形外”的空间想象跨度较大。为什么直角三角形的外心在斜边中点？因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，而这个中点恰好到三个顶点距离相等。为什么钝角三角形的外心跑到外面去了？因为两条垂直平分线的交点在三角形外部。我的突破方法是让学生分组画图，亲身体验。画完后用几何画板动态演示三角形角度改变时外心位置的连续变化，从锐角到直角再到钝角，外心从内部滑到边上再溜到外部，建立直观感受。然后引导学生从“角度与外心位置”的角度进行归纳，最终能用数学语言解释规律——外心位置由三角形最大内角决定。 【板书设计】 主标题：5 确定圆的条件 左侧核心区域： 一、探索之路 过一个点 → 无数个圆（圆心不定） 过两个点 → 无数个圆（圆心在线段中垂线上） 过不在同一直线上三点 → 唯一一个圆（两条中垂线确定圆心） 二、核心定理 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 三、三角形的“三剑客” 外心：三边垂直平分线交点 到三个顶点距离相等 锐角△：内部 | Rt△：斜边中点 | 钝角△：外部 右侧辅助区：动态板书，根据学生作图同步补充不同三角形外心的位置示意图。 【模块四 例题讲解】 例1 判断题 下列说法正确的是（） A. 过三个点一定可以作一个圆 B. 任何三角形有且只有一个外接圆 C. 任意一个圆有且只有一个内接三角形 D. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 【解答】 我们逐一排查。A项：缺少“不在同一直线上”这一关键条件。三个点如果在一条直线上，两条垂直平分线平行，不存在圆心，画不出圆。A错。B项：任何三角形的三个顶点都不共线，依据“三点确定一个圆”，必能作出唯一外接圆。B对。C项：一个圆确定后，在圆上任意取三个不共线的点，都能构成它的内接三角形。圆上点有无穷多，内接三角形自然有无穷多。C错。D项：混淆了外心与内心。外心到三个顶点的距离相等，内心才是到三边距离相等。D错。答案：B。 【方法总结】 解答概念辨析题，要咬文嚼字。特别注意定理的前提条件，本题A项就是经典的“缺条件陷阱”；同时注意区分“外接”与“内切”、“到顶点距离”与“到边距离”这两组易混概念。 例2 坐标法确定圆心 如图，在平面直角坐标系中，点A(1, 2)，B(3, -4)，C(5, 6)三点不共线。请用尺规作图法确定经过这三点的圆的圆心O的位置，并写出圆心O的一个性质。 【解答】 我们只需要连接AB和BC（或AC）。分别作出线段AB和线段BC的垂直平分线。具体作法：分别以A、B为圆心，以大于二分之一AB长为半径在AB两侧画弧，连接两弧交点得直线即为AB的中垂线。同理作BC的中垂线。两垂线交点即为圆心O。由于O在AB的中垂线上，OA=OB；O在BC的中垂线上，OB=OC。因此OA=OB=OC。答案：圆心O的位置如图所示（实际操作，保留作图痕迹）。性质：圆心O到点A、B、C的距离相等。O是△ABC外接圆的圆心。 【方法总结】 找圆心本质就是寻找两条垂直平分线的交点。尺规作图的两要素：保留作图痕迹、写出规范结论。这个例子虽然给出了坐标，但关键在于作图方法，不要直接去解计算方程。 例3 实际应用——复原圆形镜子 小明不小心打碎了一块圆形镜子，手里只剩下一块边缘有弧形的碎片。你能帮他想办法复原这块镜子的原貌，画出它原本的圆形吗？ 图7 利用残弧复原圆形 【解答】 这个问题看上去没有三个点，但我们可以创造三个点。在碎片的圆弧边缘上任选三个不共线的点A、B、C。接下来就是标准的“过三点作圆”程序：连接AB、BC，做成线段AB、BC的垂直平分线。两条垂直平分线交于点O。以O为圆心，OA长为半径画圆，这个圆就是原来镜子的形状。为什么这样做可行？因为圆上任意三点都不共线，能够唯一确定原来整个圆的大小和位置。 【方法总结】 利用残弧复原圆，就是将实际问题转化为过三点作圆的数学模型。这种转化思想在解决“找圆心”、“补全圆形零件”等实际工程问题中非常关键。 【模块五 课堂练习】 基础巩固 1. 经过平面上一点A，可以画个圆；经过平面上两点A、B，可以画个圆。这些圆的圆心都在。 2. 判定正误：三点确定一个圆。（）理由：。 3. 直角三角形的外心在。它的这个特殊位置使得外接圆的半径等于。 4. 若一个圆同时经过正方形的三个顶点，那么这个圆的圆心必定是（） A. 正方形内部任意点 B. 某两条对角线的交点 C. 一条边的中点 D. 某个顶点 5. 用尺规作出右图钝角△ABC的外接圆，保留作图痕迹，并描述外心位置。 能力提升 6. 点A、B、C是平面内三个点，AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm。请你判断过这三点能否确定一个圆？若能，请求出外接圆的半径；若不能，说明理由。 7. 一个破损的圆形转盘如图所示，残留的圆弧上取三点D、E、F，测得DE的垂直平分线与EF的垂直平分线交于一点P，且PD=25cm。求转盘原直径是多少厘米。 8. 某地有不在同一直线上的三个村庄，现要建一所希望小学，要求到三个村庄距离相等。画出学校的位置，解释你的依据。 【模块六 参考答案】 第一部分：课堂练习参考答案 1. 无数；无数；线段AB的垂直平分线上 2. 错误。缺少限定条件“不在同一直线上”。三点如果共线，则无法确定圆。 3. 斜边的中点上；斜边长的一半 4. B 【解析】正方形的三个顶点必然不在同一直线上，能确定唯一圆。由于圆要经过三个顶点，圆心到这三个顶点距离相等。在正方形中，两条对角线的交点到各个顶点距离都相等，且恰好过任意三个顶点，所以圆心就是对角线的交点。选B。 5. 作图步骤：分别作钝角三角形两条较短边的垂直平分线，保留画弧痕迹；两条垂直平分线交点O即为外心，且O在三角形外部；以O为圆心，OA为半径画圆⊙O即所求。外心位置：在钝角三角形的外部。 6. 能确定一个圆。因为3²+4²=5²，所以以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，AB与BC是直角边，AC是斜边。直角三角形有唯一外接圆，外心在斜边AC的中点，半径R=AC=2.5cm。 7. 50 cm。【解析】根据残弧复原原理，P点是两条垂直平分线交点，即圆心。PD是半径，得出半径R=25cm，直径d=2R=50cm。 8. 依据：不在同一直线上三点确定一个圆，且圆心到各点距离相等。作法：连接三村庄（视作三点A、B、C），分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，交点即为学校选址点O。理由：O在AB中垂线上得OA=OB，在BC中垂线上得OB=OC，故OA=OB=OC。 第二部分：课后巩固参考答案 1. 判断：错误。若直线L通过圆心，则圆上关于圆心对称的两点A、B，其垂直平分线与直线L重合，这两条线重合为一条，无法交出圆心。要确定唯一的圆，必须在圆弧上找不在同一直线上的三个点。这就是“三点确定圆”比“两点加直线”更根本的原因。 2. 答案：C。圆心是两条垂直平分线的交点，P满足PM=PN，Q满足PN=PQ，所以P、Q均为交线上点，这意味着直线PQ本身就是线段MN和线段NQ共同的垂直平分线，即△MNQ三边垂直平分线合一，这是等边三角形才具备的性质。因此△MNQ为等边三角形，答案选C。 3. 【尺规作图】步骤一：在损坏管道的内侧圆弧内壁上任意取三个不共线的点A、B、C。步骤二：连接AB，作线段AB的垂直平分线m；连接BC，作线段BC的垂直平分线n。步骤三：m与n交于点O。步骤四：测量O到管道内壁距离即内半径r；管道壁厚d=5mm，则外半径R=r+5。结论：以O为圆心，R为半径铸造模具。 4. 证明：连接OD、OE。根据作法，ED=OD，OE即大圆半径。设小圆半径OA=r，则OE=3r，ED=OD=2r。在△OED中，OE²=(3r)²=9r²，OD²+ED²=(2r)²+(2r)²=8r²。9r²≠8r²，故△OED非直角三角形，三点不满足勾股定理。但O、D、E能确定唯一圆，因为三点不共线，取任意两边作中垂线即可找到圆心。因此，这三个点虽然不能围成直角三角形，但完全满足“确定一个圆”的条件。这就说明了“三点确定圆”的适用范围比某些特殊位置关系更广泛。 【模块七 课后巩固】 1. （4分）判断并说明：已知一条直线L和一个点A，再加上“直线L是所在弦的垂直平分线”这个条件，能否唯一确定一个圆？结合本节所学分析。 2. （4分）P、Q是平面上两点，若以P为圆心过Q作圆，和以Q为圆心过P作圆，两个圆相交于M、N。连接MN，若点P和点Q都在线段MN的垂直平分线上，则△MNQ的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定 3. （6分）操作用题：铸造厂有一个内壁损坏的圆形管道模具，需要重铸一个外径比原内径大10mm且同心的新模具。手头只有原来的损坏件，请你设计一套利用“三点定圆”原理的几何确定新模具外半径的方案，用尺规作图步骤叙述。 4. （6分）开放挑战：给定线段OE=9cm，在OE上取点D，使得ED=6cm。再以O为圆心，3cm为半径作小圆，大圆过D、E且与小圆同心。请问：O、D、E这三个点能确定一个直角三角形吗？如果能，求直角顶点；如果不能，请说明理由。但是，这三个点能确定一个圆吗？这说明了什么？ 【模块八 易错点分析与学法指导】 一、常见易错点剖析 1. 错误表现：记定理时漏掉条件 随口说出“三个点确定一个圆”。 正确做法：必须加上限制词“不在同一直线上”。我常让学生用反例强化记忆，在纸上点三个共线的点，自己用圆规试试画不画得出。发现圆规口无论拉多大，都能越过第三个点，内心就刻下这个前提条件了。 2. 错误表现：混淆“外接圆”“内切圆”概念 把外心说成是角平分线交点。 正确做法：把三角形和圆的关系画图对比。三角形外接圆是“圆包着三角形”，圆心到顶点等距，所以是中垂线交点。内切圆是“三角形包着圆”，圆心到边等距，所以是角平分线交点。画个对比表格贴在数学笔记里，经常翻看，就不容易弄混了。 3. 错误表现：画钝角三角形外接圆时找不到外心 在三角形内部画半天两条中垂线交不上。 正确做法：钝角三角形外心在外部。尺规作图时，把两边的中垂线画长些，它们会在三角形外面相交。如果视线局限在三角形内部，当然找不到。提前知道“外心位置与三角形形状有关”，就能避免这个思维定式。 二、学法指导 1. 动手操作内化法 本节是典型的概念课，不能光背文字。你必须亲自动手用圆规和直尺画，从过一个点画无数个圆开始，逐步增加点的个数，在操作中感受“唯一性”是怎样产生的。特别是找外心，锐角、直角、钝角三角形各画一遍，规律自然就记住了。 2. 对比迁移学习法 把圆这一章的知识和前面三角形的全等、中垂线性质、距离公式联系起来。找圆心本质就是在找“到点等距”的轨迹交点。比如线段垂直平分线上的点到两端点等距，两条这样的线相交，就得到了到三点都等距的点。这样串联起来，新知识就不再是孤岛。 3. 知识网络图 过一点 → 过两点 → 过不共线三点（唯一） → 外接圆与外心 → 直角三角形外心特殊位置（斜边中点） → 钝角三角形外心在外部 → 实际应用（找圆心、复原残圆）。这个脉络从不确定性出发，逐步走向确定，再延伸向不同三角形的特殊表现和实际价值。 学科网（北京）股份有限公司 $