3.5确定圆的条件 圆内接四边形相关结论（3）导学案 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

《有理数及其运算》 班级 姓名 《有理数及其运算》课堂案 班级 姓名 《圆》导学案 第七节 圆内接四边形相关结论(3) 【知识回顾】 1.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 度数的一半； 2.圆周角定理推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等； 3.圆周角定理推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径； 4.圆周角定理推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 【新知探究】 ★知识点一 圆周角定理推论4 1.内接四边形：四边形ABCD的各顶点都在⊙O上，则四边形ABCD是⊙O的 四边形，⊙O叫作四边形ABCD的 圆； 2.圆周角定理推论4：圆内接四边形的对角 ，一个外角等于它的 . 例1.（1）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，且∠AOC=80°，则∠D= ，∠CBE= . （2）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=80°，则∠ADC= . （第（2）题图） （第（3）题图） （3）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE= ． 变式训练一： 1.如图1，弦AB是半圆的直径，点D是的中点， ∠ABC＝50°，则∠DAB=（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° （图1） （图2） （图3） 2.如图2，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（　　） A．30° B．45° C．50° D．65° 3.如图3，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，∠A=55°,∠E=30°，则∠F= ． ★知识点二 圆内接四边形结论与三角形相似综合应用 例2.如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A，B两点，PC交⊙O于D，C两点. （1）求证:PA·PB=PD·PC； （2）若PA =,AB=,PD= DC+2，求点O到PC的距离. 变式训练二： 4.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E. （1）求证: BE= CE; （2）若BD=2,BE=3,求AC的长. 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点E，F是BD延长线上的一点，且DE平分∠CDF. （1）求证：AB=AC； （2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的长. ★知识点三 “四点共圆”常见模型 图1：OA=OB=OC=OD A、B、C、D四点共圆（定义法证明共圆） 图2：四边形对角互补 A、B、C、D四点共圆 图3：外角等于内对角 A、B、C、D四点共圆 图4：∠C，∠D在AB同侧，且∠C=∠D， A、B、C、D四点共圆 【典例精析】 例3.（1）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是 . （2）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径为 . （第（1）题图） （第（2）题图） 例4.（1）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P.求证：AD·DC=PA·BC. （2）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，求AE的值. 【挑战自我】 1.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. （1）求证：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长. 2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC. （1）求证：四边形ABFC是菱形； （2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积. 3.如图，四边形APBC是⊙O的内接四边形，AB=AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC. （1）如图①，若∠BPC=60°，求证：AC=AP； （2）如图②，若sin∠BPC=，求tan∠PAB的值. 4.如图，AB是⊙O的直径，圆内接四边形ACDE的边CD与直径AB交于点F，点G在DE延长线上，EA平分 ∠CEG． （1）求证：AB⊥CD． （2）若AC＝CE，AF＝9，BF＝1，求∠ACE的面积． 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，AB，DC的延长线交于点G，∠ACD＝∠BCG，DF⊥AC于点E，交AB于点F，OH⊥AB于点H． （1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）求证：OE＝OH； （3）若AD＝8，CD＝6，求BG的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$