7.3 图形的平移（复习课）导学案 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

该初中数学导学案聚焦苏科版七年级下册“图形的平移”复习，涵盖定义、性质、作图及应用。通过温故知新（平行线性质与判定区别）、情境导入（推拉窗运动）、生活链接（楼梯地毯）衔接前后知识，搭建学习支架。 特色在于注重动手操作（三角形纸片平移探究）和实际应用（楼梯地毯、不规则图形面积），结合易错点分析与“四步法”作图指导，培养学生几何直观、空间观念和应用意识，提升学习效率与问题解决能力。

【2025-2026学年】初中数学苏科版七年级下册——第7章 平面图形的认识(二) 7.3 图形的平移（复习课）导学案（课后巩固） 【模块一 学习目标】 1. 能说出平移的定义，并准确判断一个图形运动是否为平移，说出判断的依据是方向和距离两个要素。 2. 能画出简单图形沿指定方向平移指定距离后的图形，复述平移作图的“四步法”。 3. 能写出平移前后对应点连线的关系，并利用平移的性质计算线段的长度、角度的大小以及图形的面积。 4. 能解决平移在生活中的实际应用问题，比如计算楼梯地毯长度、平移法求不规则图形面积等，体会转化的数学思想。 【模块二 课前预习】 1. 温故知新： 上节课我们复习了平行线的性质和判定。平行线的性质中，两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。而判定两直线平行的方法有：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。这四条性质和四条判定，只有一字之差，很容易混淆。请你用一句话概括它们的本质区别是什么。 2. 情境导入： 观察教室里的推拉窗，当我们推动窗扇时，窗扇从一个位置移动到另一个位置。你能用数学语言描述这个运动吗？在这个移动过程中，窗扇的形状、大小改变了没有？窗扇上任何一个点移动的方向和距离有什么共同特征？ 3. 生活链接： 奶奶家的楼梯需要铺地毯，你有没有想过，怎样快速测量出所需地毯的长度？如果只量楼梯的水平长度和垂直高度，能算出来吗？这背后的数学原理就是我们今天要深入巩固的——图形的平移。 【模块三 知识点梳理】 一、平移的定义与两要素 1. 定义复述：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2. 两要素精析：平移有两个缺一不可的要素，一是平移的方向，二是平移的距离。方向决定了图形往哪里移，通常用射线方向表示。距离决定了图形移多远，是图形上任意一点移动的路程。 3. 判断技巧：判断一个运动是不是平移，你就盯着图形上的任意一点，看它是不是始终沿着同一条直线方向在移动，且移动的距离处处相等。如果方向发生了偏转，或者图形在移动中有旋转、翻折、缩放，那就不是平移了。例如，转动的风扇叶片不是平移，传送带上的箱子是平移。 【注意】平移中“距离”指的是对应点连线的长度，而不是图形间的空隙。有些同学看见两个图形之间存在距离就说是平移得到的，这不对，必须看对应点连线是否平行且相等。 【课堂探究活动】我拿出两张全等的三角形纸片，随意摆放在黑板上。我问学生：“这两个三角形一定可以通过平移得到吗？”学生会七嘴八舌。接着我请一位同学上来，用三角板推着其中一张纸片移动，使它与另一张重合。如果能推过去，说明是平移关系；如果需要旋转或翻转，说明只是全等，不一定是平移。这个活动让学生直观理解平移是位置的一种特殊变换。 图1 平移的性质——对应点连线平行且相等 二、平移的性质（重点与难点） 平移的性质有三条，必须吃透： 1. 整体性质：平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同，只是位置变了。这意味着对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。 2. 对应点性质：连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等。这条性质是解决计算题的关键。比如，已知一个点平移到了另一位置，你就知道其余所有点都沿同一方向移动了同样的距离。 3. 图形对应关系：平移前后两个图形是全等形，可以通过对应顶点、对应边、对应角来寻找等量关系。 【重点】对应点连线的位置关系和数量关系。为什么它是重点？因为几乎所有平移的定量计算，都依赖于“对应点连线平行且相等”这一核心结论。比如求平移距离，就是求任意一组对应点连线的长度。比如判断平移方向，就是确定对应点连线的方向。你掌握了这条，平移的计算题就抓住了牛鼻子。我们常说的“平移距离”，本质上就是对应点之间的距离。学生在后续相似三角形、函数图像平移中，都会反复用到这个底层逻辑。 【难点】在复杂图形中识别平移关系，并用平移性质进行等量代换。为什么难？因为很多题目不直接告诉我们“这是通过平移得到的”，而是把平移隐藏在楼梯、折线、多边形割补等实际场景中。学生需要自己抽象出数学模型，找到平移前后的对应关系，这对空间想象力和转化能力要求很高。突破方法是多动手操作，用硬纸板剪出图形实际移一移，感受对应点的轨迹，再抽象到几何推理。 【温馨提示】平移前后两个图形的对应线段可能共线，也可能平行，不要误认为“平行”是唯一情况。比如一个圆水平向右平移，底部的切线在原位和移动后位置处于同一直线上。 三、平移作图的基本步骤 1. 审题定向：明确题目要求把某个图形向什么方向、平移多长距离。通常题目会给出方向（如射线AB方向、正东方向、箭头方向）和距离（如3厘米、线段MN的长度）。 2. 定关键点：找出原图形的关键顶点，三角形有三点，四边形有四点，但有时曲线图形也需要找特殊点，如圆的圆心、半圆的两个端点和弧的中点。点找得越关键，作出来的图越准确。 3. 作对应点：分别过每个关键点，按指定方向作射线，用圆规或刻度尺在射线上截取与平移距离相等的线段，从而定出对应点的位置。这就是“作平行线、截等长”两步合并。 4. 顺次连线：按原图形的顺序，把画出的对应点连接起来，就得到了平移后的图形。连完后，习惯性地检验一下对应边是否平行且相等。 【注意】用刻度尺平移作图时，容易忽略对应点连线方向的一致性。你不能把A点的对应点往北偏，B点的对应点又往东偏。所有对应点必须沿着同一个方向，量取同一段距离。 图2 平移作图四步法示意图 【板书设计】 标题居中：7.3 图形的平移 左区：一、定义——形状大小不变，位置变 两要素——方向（射线）、距离（长度） 中区：二、性质 1.图形全等→边角等 2.对应点连线→平行且相等（核心） 3.平移距离＝对应点连线长度 右区：三、作图四步 1.找关键点 2.定向作射线 3.截等长得对应点 4.顺序连线 板演区：留出空位画一个三角形平移示例，标注AA'∥BB'∥CC'，AA'＝BB'＝CC'。 【模块四 例题讲解】 例1 在方格纸中，线段AB的端点坐标为A(1，2)，B(3，5)。现将线段AB沿x轴正方向平移4个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，得到线段A'B'。写出A'、B'的坐标，并判断线段A'B'与AB的关系。 【解答】平移是一个点的整体移动。A点平移：横坐标1+4=5，纵坐标2-3=-1，所以A'(5，-1)。B点平移：横坐标3+4=7，纵坐标5-3=2，所以B'(7，2)。线段A'B'与AB平行且相等，因为它们是通过平移得到的。这里需要注意，坐标平移规律是“右加左减，上加下减”，与数轴一致。 【方法总结】图形平移在坐标系中可转化为点的坐标平移，根据对应点坐标变化公式，求出新坐标后连线即可。关键是每个点都做相同的坐标加减运算。 例2 如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm。把△ABC沿CB方向平移2cm，得到△A'B'C'。求重叠部分（图中黄色标示区域）的面积。 【图像说明：直角三角形ABC，直角顶点C在左侧，B在右侧，A在上方。平移后△A'B'C'与△ABC有部分重叠，重叠部分为一个小直角三角形，其直角顶点在BC'边上。】 图3 直角三角形平移重叠示意图 【解答】由平移知，BB'=2cm，BC=3cm，则B'C=BC-BB'=1cm。平移不改变形状，所以重叠部分的三角形与原三角形相似，直角边对应成比例。重叠部分的直角边长度与原三角形直角边长度之比等于B'C与BC之比，即1:3。原三角形面积=(4×3)÷2=6cm²。重叠部分面积等于原面积的(1/3)²=1/9，即6×(1/9)=2/3 cm²。 【方法总结】重叠问题抓住两点：一是平移距离决定了未重叠线段的长度，二是形状不变导致图形相似，面积比等于相似比的平方。 【模块五 课堂练习】 一、基础巩固 1. 下面四个图形运动中，属于平移的是（ ） A. 钟摆的摆动 B. 汽车雨刷器的运动 C. 电梯的上下移动 D. 足球在草地上的滚动 2. 平移改变的是图形的（ ） A. 形状 B. 大小 C. 位置 D. 以上都改变 3. △DEF由△ABC平移得到，点A对应点D，点B对应点E。若∠A=50°，∠B=70°，求∠F的度数。 4. 线段CD由线段AB平移得到，点A（-1，3）的对应点为C（2，5）。则点B（-3，-1）的对应点D的坐标为多少？ 二、能力提升 5. 如图，在宽为20m、长为32m的长方形草地上，有一条弯曲的宽度为1m的小路。求草地的实际绿化面积。 【图像说明：长方形水平放置，一条蜿蜒的小路从下方某处垂直方向延伸到上方出口。】 图4 长方形草地弯曲小路示意图 6. 某楼梯侧面如图所示，测得AB=6米，BC=4米。现在楼梯上铺地毯，求地毯至少需要多少米长。 【图像说明：楼梯剖面图，水平线段总和与垂直线段总和构成地毯总长。】 图5 楼梯铺地毯示意图 【模块六 参考答案】 第一部分：课堂练习 1. C 【解析】电梯上下移动，整个箱体沿垂直方向平移，形状大小不变。钟摆是绕轴摆动，路径是圆弧；雨刷器也是绕固定点转动；足球滚动是旋转和平移的复合运动。 2. C 【解析】平移只改变图形的位置，形状和大小是图形的本质属性，平移前后保持不变。 3. 解：由平移性质，∠D=∠A=50°，∠E=∠B=70°。在△DEF中，∠F=180°-∠D-∠E=180°-50°-70°=60°。 4. 解：A到C，横坐标：-1→2，加3；纵坐标：3→5，加2。平移方式是向右3个单位，向上2个单位。B（-3，-1）同样平移，横坐标-3+3=0，纵坐标-1+2=1，得D（0，1）。 5. 解：小路弯弯曲曲，直接算面积难。用平移思想，把小路的左右两块草地向中间平移，拼成一个完整的长方形。新长方形的宽为20-1=19米，长为32米。面积=19×32=608平方米。 6. 解：楼梯每一级水平线段之和等于底部水平长度BC，每一级竖直线段之和等于垂直高度AB。地毯总长=水平线段和+竖直线段和=AB+BC=6+4=10米。简单说，把台阶的水平和竖直边分别平移集中，就得到了一个矩形的长和宽之和。 第二部分：课后巩固 1. 解：AB边扫过的面是一个平行四边形，底为AB=4cm，高就是平移的距离，即2cm。但准确说，扫过的面积等于底乘高，是4×2=8cm²。因为线段AB平移时，端点轨迹构成平行四边形。 2. 解：小船可抽象为一个三角形加一个梯形。将小船向右平移7格，找出三角形顶点和梯形四个顶点的对应点，用虚线箭头连接一组对应点，箭头方向向右，标注平移距离为7格。画完后，检查所有对应点连线是否平行且长度等于7格。 3. 解：（1）由平移知，CF=BE=1.6cm，BC=EF=3cm。EC=EF-CF=3-1.6=1.4cm。 （2）阴影部分是一个直角梯形，DF可看作是DE+EF。由勾股定理或直接观察，DE为平移前后两直角边的差，具体数值需根据原图形计算。若只有这些数据，阴影梯形上底1.6，下底3，高等于AB平移前后扫过的宽度，即图形平移中扫过的部分。典型的扫过面积等于线段长度乘以移动距离，在此抽象模型中，面积可用大三角形减小三角形得到。 （3）扫过的实际示意图为平行四边形与原三角形重叠部分的分析，需要结合同学的实际作业图进行批阅。 【模块七 课后巩固】 1.（8分）已知线段AB=4cm，现将其沿与AB垂直的方向平移2cm，得到线段A'B'。求线段AB扫过的图形是什么？并计算该图形的面积。 图6 线段平移扫过图形示意图 2.（10分）在方格纸上绘制一只小船图案，方格边长为1cm。请你画出将这只小船向右平移7格后的图形，并用虚线箭头标出平移的方向和距离。 图7 小船平移示意图 3.（12分）如图，直角三角形DEF由直角三角形ABC沿BC方向平移得到。已知∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，若平移距离BE=1.6cm。 （1）求EC和CF的长度。 （2）求阴影部分的面积。 （3）在作业纸上用阴影画出平移过程中△ABC扫过部分的示意图。 图8 直角三角形平移阴影部分示意图 【模块八 易错点分析与学法指导】 易错点一：平移方向判断凭感觉，不找对应点。 错误表现：题目给两个图形，让说平移的方向和距离。学生随便画一条斜线，量一下两个图形之间的空隙，就说这是平移的方向和距离。 正确做法：牢牢记住平移方向和距离的定义。必须先在两个图形中选定一组明确的对应点，比如三角形的一个顶点和它平移后的顶点，连接这两点，这条线段的方向就是平移方向，长度就是平移距离。这是铁律，不能凭空隙或边缘去估摸。 易错点二：混淆平移与轴对称、旋转的综合辨别。 错误表现：看到两个一模一样的图形，脱口而出“这是平移”。 正确做法：先看图形的朝向。面对同一方向的两个完全一样的图形，可能是平移。如果一个朝上一个朝下，哪怕形状大小一点没变，也要考虑是不是轴对称或旋转180°得到的，绝不是平移。平移好比一个人在走正步，方向不变，身子不转。轴对称是照镜子翻了个面，旋转是原地转圈。 易错点三：平移作图丢三落四。 错误表现：平移一个四边形，只找了三个顶点，第四个点凭感觉连上；或者移动后忘记了图形内部还有关键点（如圆心、弧的端点），导致图形走样。 正确做法：多边形平移，有几个顶点就找几个对应点，一个都不能少。圆和扇形平移，圆心必须作为关键点进行平移，半径保持不变。画完所有对应点后，用尺子严格按原图的边线连接顺序，不要随手勾画。连完线后，比对一下原图，看对应线段是否真的平行且相等。 学法指导： 第一招：建模动手练。用半透明纸描出课本上的一个简单图形，然后放在白纸上移动。每移动一次，就用笔尖扎出对应顶点的位置，观察扎出的一排小孔是否在一条直线上，孔间距是否相等。这个土办法能直接建立“对应点连线就是平移轨迹”的直觉。 第二招：口诀助记忆。关于性质，记住“形状大小都不变，对应边角全等看；对应点连线段长，平行相等记心间。”关于作图，记住“找点，画线，截长，连图”四步走。 第三招：变式练思维。平移问题千变万化，但内核统一。不管是求地毯长度、求小路草皮面积，还是求坐标系中点的坐标，都问自己三个问题：谁在平移？朝哪移、移多远？移完之后哪跟哪相等？想通这三个问题，万变不离其宗。 知识网络图（文字描述）： 本章《平面图形的认识（二）》从相交线平行线开始，延伸到图形的运动。平移作为最简单的图形运动，上承平行线的性质（对应边平行），下接全等图形（前后图形全等），并且为将来学习平行四边形、函数图像的平移变换埋下伏笔。知识结构上，以“定义—性质—作图—坐标表示—应用”为主线。定义解决“是什么”，性质解决“能得什么”，作图解决“怎么画”，坐标表示搭起“代数与几何的桥”，应用体现“数学的实用性”。复习时抓住这条线，就能把零散的知识点串成体系。 学科网（北京）股份有限公司 $