2025-2026学年苏科版八年级数学下册期末自编模拟试卷

**基本信息** 八下数学期末模拟卷，以中国结、航天知识等文化与时代情境为载体，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查概率、分式、四边形等核心知识，落实抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|概率、统计、二次根式|结合不透明袋摸球（概率）、航天模考统计（抽样调查）| |填空题|6/18|分式意义、菱形面积、中点问题|中国结菱形面积计算（文化传承）、四边形中点取值范围（几何直观）| |解答题|8/64|分式方程、统计分析、新定义|航天知识竞答统计（数据意识）、“关联分式”新定义（创新应用）、平面镶嵌实际问题（模型观念）|

八下数学期末模拟（3） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(2026·江苏省镇江市·期末考试)在一个不透明的袋子中装有个红球，个白球和个黄球．每个球除颜色外其余均相同，从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是(    ) A. B. C. D. 2.(2026·江苏省镇江市·单元测试)年南昌市第一次模拟考试中，全市共有约万名考生参加数学科目考试．为了解本次模考考生数学成绩的整体分布情况，市教研部门从中随机抽取了名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法错误的是(    ) A. 这种调查方式是抽样调查 B. 万名考生是总体 C. 是样本容量 D. 名考生的数学成绩是总体的一个样本 3.(2026·江苏省镇江市·单元测试)化简的结果是(    ) A. B. C. D. 4.(2026·江苏省镇江市·单元测试)实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为(    ) A. B. C. D. 5.(2026·江苏省镇江市·单元测试)下列各式计算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.(2026·江苏省镇江市·单元测试)如图，四边形是平行四边形，在边上截取线段，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交边于点若，，则平行四边形的周长是(    ) A. B. C. D. 7.(2026·江苏省镇江市·单元测试)某工厂原计划生产万个零件，为了按时交货，实际每天产量比原计划提高了，结果比原计划提前天完成任务．设原计划每天生产万个零件，则根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 8.(2026·江苏省镇江市·单元测试)对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为当时，整式的解码值是(    ) A. B. C. D. 9.(2026·江苏省镇江市·单元测试)若的整数部分为，小数部分为，则的值是(    ) A. B. C. D. 10.(2026·江苏省镇江市·单元测试)如图，在边长为的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点，，延长交于点，记，，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.(2026·江苏省镇江市·单元测试)要使式子有意义，则应满足的条件是______  ． 12.(2026·江苏省镇江市·单元测试)计算的结果是________． 13.(2026·江苏省镇江市·单元测试)已知整式分解因式的结果为，则______． 14.(2026·江苏省镇江市·单元测试)中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小美家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形中国结装饰的面积是____． 15.(2026·江苏省镇江市·单元测试)如图，在四边形中，，，，，分别为的中点，则的取值范围是_______． 16.(2026·江苏省镇江市·单元测试)如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(2026·江苏省镇江市·单元测试)本小题分 计算：                  18.(2026·江苏省镇江市·单元测试)本小题分 解分式方程：； 先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 19.(2026·江苏省镇江市·单元测试)本小题分 为了弘扬航天精神，某中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动．学校随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理满分为分，将抽取的成绩在分之间的记为组，分之间的记为组，分之间的记为组，分之间的记为组，每个组都含最大值不含最小值，例如组包括分不包括分，得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： 所抽取的学生的成绩是一手数据还是二手数据呢？请你求出学校抽取的八年级学生的人数． 组所对应的扇形圆心角的度数是_____，_____，组的频数是_____，请把频数分布直方图补充完整； 学校将此次竞答活动的组和组成绩记为优秀，已知该校八年级共有名学生，请估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 20.(2026·江苏省镇江市·单元测试)本小题分 课本复习题有道题是“如果，那么或利用所学知识，尝试求解方程”“如果，那么或”在数学中通常称为零乘积性质．方程可化为根据零乘积性质，若，则或，因此或，解得或所以方程的解为或，请利用零乘积性质完成下列各题 求解方程； 已知，当，求的值； 已知的三边满足，请判断的形状，并说明理由． 21.(2026·江苏省镇江市·单元测试)本小题分 综合与实践． 阅读材料：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌． 实践操作：如图，在▱中，，，，图右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分切割后沿射线方向平移而成，则平移的距离是__________ 计算探究：同理，再进行一次切割平移，可得图，即图可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成我们可以用若干个如图所示的图形，平面镶嵌成如图的图形，则图的面积是__________ 解决问题：小明家有一块区域是由正三角形和正六边形的瓷砖镶嵌而成，其中正三角形瓷砖比正六边形瓷砖便宜元用元购买正三角形瓷砖与用元购买正六边形瓷砖的数量相等请问两种瓷砖每块各多少元 22.(2026·江苏省镇江市·单元测试)本小题分 如图，在中，，是边上的高．将，分别沿，翻折得到，延长，交于点．   求证：四边形是正方形； 若，则的周长为________． 已知正方形，直线与正方形相邻的两边都相交，且所截得的直角三角形的周长等于正方形周长的一半．求作：经过点的一条直线要求：尺规作图，保留作图痕迹 23.(2026·江苏省镇江市·单元测试)本小题分 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”如与，因为，，所以是的“关联分式”． 分式__________分式的“关联分式”填“是”或“不是”； 小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则，， 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”． 观察、的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 用发现的规律解决问题：若是“关联分式”，求实数，的值． 24.(2026·江苏省镇江市·单元测试)本小题分 【方法回顾】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为正方形，直线经过点，于点，于点，若点的坐标为，，求的长 【问题解决】 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为菱形，直线于点交于点，交于点，点在上，且，若，，求点，的坐标 【思维拓展】 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，直线分为两部分，于点，于点，若点的坐标为，直接写出点的坐标． 1.【答案】  【知识点】概率公式 【解析】略 2.【答案】  【知识点】初中数学(默认) 【解析】根据抽样调查、总体、样本、样本容量的定义，逐项分析即可求解． 【详解】解：本次调查从全体考生中抽取部分考生成绩分析，调查方式为抽样调查，故A选项说法正确； 本次调查的对象是考生的数学成绩，因此总体是万名考生的数学成绩，故 B选项说法错误； 样本容量是样本中个体的数量，因此是样本容量，故 C选项说法正确； 抽取的名考生的数学成绩是总体的一个样本，故 D选项说法正确． 3.【答案】  【知识点】整式的加减 【解析】略 4.【答案】  【知识点】二次根式的性质、实数与数轴 【解析】略 5.【答案】  【知识点】二次根式的混合运算 【解析】略 6.【答案】  【知识点】尺规作图与一般作图、平行四边形的性质、线段垂直平分线的概念及其性质 【解析】解：由题意可得，平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 平行四边形的周长为． 故选：． 根据题意可得，平分，即，由题意可得，则，则，即可求解． 本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7.【答案】  【知识点】初中数学(默认) 【解析】根据工作时间总工作量工作效率，分别求出原计划和实际的生产天数，再根据“实际比原计划提前天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产万个零件，总工作量为万个， 原计划完成任务的天数为． 实际每天产量比原计划提高了， 实际每天生产零件数为万个，实际完成任务的天数为． 实际比原计划提前天完成任务，即原计划天数比实际天数多天， 列方程得． 8.【答案】  【知识点】初中数学(默认) 【解析】先按因式分解规则分解整式，确定因式个数，再根据定义取，计算每个因式的值后求和得到解码值，用到因式分解的提公因式法和平方差公式． 【详解】解：， 分解得到个整式， 根据定义取， 分别计算各整式的值：，，， 解码值为． 9.【答案】  【知识点】估算无理数的大小 【解析】【分析】 此题主要考查了估算无理数大小，得出，的值是解题关键． 因为的整数部分为，小数部分为，所以，，代入计算即可． 【解答】 解：的整数部分为，小数部分为， ，， ． 故选C． 10.【答案】  【知识点】菱形的性质、全等三角形的判定与性质 【解析】过 作 于 ，过 作 于 ，先由四边形 是矩形，得到 ， ，再证明 ，得到 ，证明 ，得到 ，证明 ，得到 ，根据 ， ，得到 ， ， ，再根据 ，得到 ． 【详解】解：过 作 于 ，过 作 于 ， 边长为的菱形 ，  ， ， ， ， 四边形 是矩形，  ， ，  ，  ，  ，  ，  ， ， ，  ，  ，  ， ， ，  ，  ， ．  ，  ， ，  ，  ，  ， ，  ， ， ，  ，  ， 整理得 ， 即当 的大小发生变化时，代数式的值不变的是 ． 11.【答案】  【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【解析】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 根据二次根式的被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 12.【答案】  【知识点】分式的乘除 【解析】解：原式， 故答案为：． 13.【答案】  【知识点】因式分解-运用公式法 【解析】略 14.【答案】  【知识点】初中数学(默认) 【解析】根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，交于点， 四边形是菱形， ，， 由勾股定理得， ， 该菱形的面积是． 15.【答案】  【知识点】初中数学(默认) 【解析】如图，连接，取的中点，连接，， ，，，， ． 同理，， 在中，， 即． 当时，此时，，三点共线， 则不合题意，舍去或． 16.【答案】  【知识点】平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、正方形的性质 【解析】解：过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，如图所示：    ，  四边形是正方形，且边长为，  ，，  点在上且，  是直角三角形，  由勾股定理得：，  ，  四边形是矩形，  ，  在中，，  ，  于点，  是直角三角形，  ，  ，  在和中，  ，  ≌，  ，  ，，  ，，  又，  四边形是平行四边形，  ，，  ，，  在中，，，  是等腰直角三角形，  由勾股定理得：，  ，  当为最小时，为最小，  根据“两点之间线段最短”得：，  当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为，  的最小值为  故答案为：． 过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由此得是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，然后根据“两点之间线段最短”得，据此可得的最小值． 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． 17.【答案】解：  ；     ．  【知识点】二次根式的混合运算 【解析】直接进行二次根式的乘法运算，再合并即可； 先化简括号里的，再合并，最后再算乘法． 题考查二次根式的乘法运算，难度不大，注意在计算时要细心． 题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待． 18.【答案】 ；  【知识点】分式的化简求值、分式方程的一般解法、一元一次不等式组的整数解 【解析】解：原方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； 原式 ； ，， ， 的范围内符合题意的整数为， 原式． 将原方程整理后利用去分母化为整式方程，解得的值后并检验即可； 先算括号里面的，然后算除法，再根据分式有意义的条件确定符合题意的的值，将其代入化简结果中计算即可． 本题考查分式的化简求值，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键． 19.【答案】一手数据，学校抽取的八年级学生的人数为      【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、频数(率)分布直方图 【解析】解：一手数据， 根据题意，组有人，占， 名； 答：学校抽取的八年级学生的人数为． 组有人， 占总人数的， ； 故答案为：． 补全的频数分布直方图如图所示： 由知组占总人数的， 估计达到优秀等级的人数为人． 根据数据来源判断即可，在频率分布直方图可得组有人，扇形图中可知组占，据此可计算总人数； 根据中总人数可得组有人，据此计算占比得到的值和条形统计图即可； 根据样本估计总体即可求解． 本题主要考查了频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，掌握频数分布直方图和统计图表之间的关联是解题的关键． 20.【答案】或  或  是等腰三角形，理由如下： ， 对等式左侧因式分解得， 提取公因式得， ，，是的三边长， ，，，即， 可得，即， 是等腰三角形  【知识点】三角形综合 【解析】解：对方程左侧因式分解得， 或， 解得或； 将代入得， 整理得， 因式分解得， 或， 解得或； 是等腰三角形，理由如下： ， 对等式左侧因式分解得， 提取公因式得， ，，是的三边长， ，，，即， 可得，即， 是等腰三角形． 对方程左侧因式分解，再根据零乘积性质求解； 先将代入已知等式化简，再将等式左侧因式分解，然后根据零乘积性质求解； 先将已知等式左侧因式分解得到，根据，，是的三边长，得，则，即可求解． 本题主要考查了因式分解综合、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21.【答案】解：；； 设一块正三角形瓷砖的单价为元，则一块正六边形瓷砖的单价为元， 由题意得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 元， 答：边长为的正三角形瓷砖每块元，边长为的正六边形瓷砖每块元  【知识点】平面镶嵌（密铺）、四边形综合、分式方程的应用 【解析】【分析】 本题是四边形综合题，主要考查平面图形的镶嵌，平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理，分式方程的应用等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 根据平移的意义及性质即可知道平移的距离等于的长，根据平移后的图中的图形与▱的面积相等求出一个基本图形的面积，再看图中有几个基本图形即可求出图的面积； 设一块边长为的正三角形瓷砖元，根据题意列出分式方程，解方程并检验后即可求出一块边长为的正三角形瓷砖的单价，易得一块边长为的正六边形瓷砖的单价，即可解决问题； 【解答】 解：图右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成， 平移的距离就是的长， ， 平移的距离是； 由平移的性质可知：平移前后不改变图形的大小， 由平行四边形经过两次切割平移而成的图的面积与▱的面积相等， 如图，过作于， ▱中，，，， ，， 根据勾股定理可得：， ▱的面积， 平行四边形经过两次切割平移而成的基本图形图的面积等于， 图由个基本图形组成， 图的面积， 故答案为：；； 见答案 22.【答案】  【知识点】正方形的性质 【解析】略 23.【答案】分式与分式是“关联分式”，理由见解析部分；  ；   ；，的值分别是．  【知识点】分式的混合运算 【解析】解：分式与分式是“关联分式”，理由如下： ， ， 分式与分式是“关联分式”； 的关联分式为， ， ， ， ， 故答案为：； 设分式的“关联分式”为， ， ， ； 若是的“关联分式”， ， ， ， ，的值分别是． 根据新定义，仿照示例，即可判断是否为关联分式； 仿照示例，可得到分式的“关联分式”； 先求出分式的“关联分式”，再根据其规律，得到方程组，解方程组，即可得到结果． 本题考查了分式的运算，熟练掌握分式运算性质是解题的关键． 24.【答案】解：  四边形  为正方形，  ，   ，   ，  ，  ，   ，   ，   ，  ，  ，   ，   ，  ； 解：  四边形  为菱形，  ，   ，   ，  ，  ，   ，   ，   ， 设  ，则  ，  ，  ，即  ， 解得：  ，   ，   ，   ，   ，   ，  ，  ，  ，  ；   或  ．   【知识点】分类讨论思想、三角形的面积、含30°角的直角三角形、菱形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质 【解析】见答案； 解：  四边形  为矩形，  ，  直线分  为  两部分，  ， 如图，连接  ，过点  作  轴，垂足为，过点作  ，垂足分别为点，点， 当  时，则  ，   ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ； 如图，连接  ，过点  作  轴，垂足为，过点作  ，垂足分别为点，点，当  时， 同理可得：  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ； 综上，点的坐标是  或  ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $