第一章课时3 等式与不等式的性质讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦等式与不等式性质核心考点，按“基础性质-拓展应用-综合解题”逻辑架构梳理知识，通过知识梳理、基础诊断、考点扫描（含例题精讲、规律总结、对点训练）环节，系统帮助学生突破比较大小、范围求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用“性质辨析-方法提炼-真题演练”三阶教学法，如比较数式大小用求差法培养推理能力，求范围问题通过变量代换渗透模型意识，分层设置基础判断、选择及综合解答题，配合即时反馈，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

课时3 等式与不等式的性质 一、课标要求 1.掌握等式性质. 2.会比较两个数的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用． 二、知识梳理 1．比较两个实数大小的方法 (1)求差比较法：a，b∈R，a>ba－b 0；a=ba－b 0；a<ba－b 0. (2)求商比较法：当a>0，b>0时，>1a b；=1a b；<1a b. 2.等式的性质 性质1：如果a=b，那么b=a. (对称性) 性质2：如果a=b，b=c，那么a=c. (传递性) 性质3：如果a=b，那么.(可加性) 性质4：如果a=b，那么ac=bc. (可乘性) 性质5：如果a=b，，那么. 3．不等式的性质 性质1：a>b .(对称性) 性质2：a>b，b>c .(传递性) 性质3：a>ba＋c b＋c.(可加性) 性质4：a>b，c>0ac bc；a>b，c<0ac bc.(可乘性) 以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质： 性质5：a>b，c>da＋c b＋d.(加法法则) 性质6：a>b>0，c>d>0ac bd.(乘法法则) 性质7：a>b>0(n∈N，且n≥2)an bn.(乘方法则) 性质8：a>b>0(n∈N，且n≥2) .(开方法则) 【拓展知识】 1．倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒ ； ②b<0< a ⇒ ； ③a>b>0,0<c<d⇒ ； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒ . 2.有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①(真分数的性质) ， (b>m)； ②(假分数的性质) ， (b>m)． 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若>，则a<b. （ ） （2）若，则. （ ） （3）若a>b，c>d，则ac>bd. （ ） （4）若ab>0，则a>b. （ ） 2．已知0<x<1，则下列不等式成立的为(　　) A．x2>>x B．>x2>x C．x>>x2 D．>x>x2 3.若x，y满足－<x<y<，则x－y的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4. (多选题)已知a，b∈R，则下列条件能使得<成立的有(　　) A．b>a>0 B．a>b>0 C．b<0<a D．b<a<0 四、考点扫描 考点一 比较数（式）的大小 例1 （1）(2026·浙江宁波一中模拟)已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是(　 　) A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D．P≤Q （2）(2026·山东日照一中高三月考)A，B，C，D四名学生的年龄关系如下：A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是(　 　) A．B>C>A>D B．B>C>D>A C．C>B>A>D D．C>B>D>A （3）（2026·北京丰台区二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 规律方法： 对点训练 （1）若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　 　) A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q （2）（2026·北京西城区一模）设，其中，则（    ） A． B． C． D． 考点二 不等式的性质 例2 （1）（多选题）（2026·浙江温州市模拟）已知实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. （2）（多选题）已知a，b，c为实数，则下列说法正确的有(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，则a＋c>b＋c C．若a>b>c>0，则> D．若a>b>c>0，则> （3）(多选题)已知，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 规律方法： 对点训练 （1）若实数a，b满足a<b<0，则(　　) A．a＋b>0 B．a－b<0 C．|a|<|b| D.> （2）已知a，b∈R，有下列三个论断：①a>b；②<；③a<0且b<0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题： ．（填序号） 考点三 利用不等式性质求范围 例3 （1）已知a>b>c，且2a＋b＋c＝0，则的取值范围是(　 　) A．(－3,－1) B．(－1,－) C．(－2,－1) D．(－1,－) （2）(多选题)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则有(　　) A．a＋b的取值范围是[4,7] B．b－a的取值范围是[2,3] C．ab的取值范围是[3,10] D.的取值范围是 规律方法： 对点训练 （1）已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝0，a>b>c，则的取值范围是(　 ) A．[2，＋∞) B．(－∞，－2] C． D． （2）已知－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，则x－2y的取值范围是 . 课时3 等式与不等式的性质参考答案 二、知识梳理 1．(1) > = < (2) > = < 3. b<a a>c > > < > > 【拓展知识】 1. ① < ② > ③ > ④ < < 2. ① < > ② > < 三、基础回顾 1．（1）× 【解析】 b<0时，>成立，但a<b不成立. （2）× 【解析】举反例，如. （3）× 【解析】举反例，如2>1，－1>－2，但ac>bd不成立. （4）√ 【解析】若ab>0，则a，b同号，当a>b>0时，0<；当0>a>b时，<0. 2．D 【解析】因为0<x<1，所以1－x>0，所以－x＝＝>0，所以>x，又x－x2＝x(1－x)>0，所以x>x2，所以>x>x2.故选D. 3.A 【解析】由x<y，可得x－y<0，又由－<y<，可得－<－y<，因为－<x<，可得－<x－y<，所以－<x－y<0，即x－y的取值范围是.故选A. 4．BD 【解析】对于选项A，由b>a>0可得>>0，A错误；对于选项B，由a>b>0可得>>0，B正确；对于选项C，由b<0<a可得>0>，C错误；对于选项D，由b<a<0可得0>>，D正确．故选BD. 四、考点扫描 例1 (1) A【解析】因为P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，所以P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，因为a，b，c为不全相等的实数，因此等号不成立，即P－Q>0，所以P>Q.故选A. (2) D【解析】为简便起见，复用A，B，C，D表示A，B，C，D四个同学的年龄，则A>0，B>0，C>0，D>0.则A＋C＝B＋D ①，C＋D>A＋B ②，B>A＋D③.①＋②得C>B，①＋③得C>2D，②＋③得C>2A，由于A>0，D>0，故由③得B>A，B>D，由①得C－B＝D－A，因为C>B，所以C－B>0，所以D－A>0，所以D>A.综上C>B>D>A.故选D. （3）D 【解析】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以.故选D. 对点训练 （1）B 【解析】p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝ ＝.因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B. （2）C 【解析】由，故，故. 由对勾函数性质可得， ，且. 综上所述，有.故选C. 例2 （1）ABC 【解析】由可知，，故AB正确， 由于，故，C正确， 时，故D错误.故选ABC. （2）BCD 【解析】当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；由不等式的可加性可知，B正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0，所以－＝＝>0， 所以>，故C正确；若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b，所以>>0，又b>c>0，由可乘性知，>，故D正确．故选BCD. （3）ABC 【解析】因为，所以， 对于选项A，，,, 综上可得，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，当时，，故D错误.故选ABC. 对点训练 （1）B【解析】由a<b<0，可得a＋b<0，故A错误； 由a<b<0，可得a－b<0，故B正确； 由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C错误； 由a<b<0，可得|a|>|b|>0，所以，故D错误．故选B. （2）①③⇒②(不唯一) 【解析】若a>b，a<0 且b<0，则<.证明：－＝，因为a>b，所以b－a<0.因为a<0，b<0，所以ab>0，则－＝<0，故<. 例3 （1）A 【解析】 因为a>b>c，2a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－2a－c. 因为a>b>c，所以－2a－c<a，即3a>－c，解得>－3， 将b＝－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c，即a<－c，得<－1， 所以－3<<－1.故选A. （2） AC 【解析】因为1≤a≤2,3≤b≤5， 所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4， 所以a＋b的取值范围是[4,7]，b－a的取值范围是[1,4]， 故A正确，B错误； 因为1≤a≤2,3≤b≤5，所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤， 所以ab的取值范围是[3,10]，的取值范围是，故C正确，D错误．故选AC. 对点训练 （1）C 【解析】由a＋b＋c＝0，a>b>c，可得a>0，c<0，b＝－a－c， 则a>－a－c>c，则－2<<－. 令t＝，则－2<t<－，＝＋＝t＋， 又f(t)＝t＋在(－2，－1)上单调递增，在上单调递减，f(－2)＝－2＋＝－，f(－1)＝－1＋＝－2，f＝－＋＝－，则－<f(t)≤－2， 即－<≤－2.故选C. （2）[－4,2] 【解析】设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，所以x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y， 所以解得所以x－2y＝－(x＋y)＋(x－y). 因为－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，所以－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤， 所以－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2，即－4≤x－2y≤2. . 学科网（北京）股份有限公司 $