2.1 等式与不等式的性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦等式与不等式的性质核心考点，按基本性质、拓展性质（倒数、分数）到题型应用（判断正误、比较大小、求取值范围）的逻辑架构组织知识点。通过考点系统梳理、题型方法提炼、高考真题及练习题训练的教学环节，帮助学生突破性质应用难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出方法引领与实战结合特色，如题型3中通过“设元-求系数-用性质”的待定系数法求取值范围，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。设置基础到综合的分层练习，配合即时应用训练，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供有力支持。

§2.1 等式与不等式的性质·复习讲义 目录 题型1：由已知条件判断不等式是否正确 3 题型2：比较数（式）大小 6 题型3：利用不等式求值或取值范围 9 1. 等式的基本性质 性质1 如果，那么；（对称性） 性质2 如果，那么；（传递性） 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，那么； 由性质3可进一步得到“如果，那么”， 由性质4可进一步得到“如果，那么”. 2. 不等式的基本性质 对称性：. 传递性：； 可加性：； 同向可加性：； 可乘性：； 同向同正可乘性：； 同正可乘方性：； 同正可开方性：. 3. 不等式的倒数和分数性质 (1) 倒数性质 ①； ②；③. (2) 分数性质（糖水不等式） 若， ，则 ①真分数性质：；；②假分数性质：；. 题型1：由已知条件判断不等式是否正确 方法提炼 (1) 直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； (2) 利用特殊值排除法. 【例1.1.】 （2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 【例1.2.】 （2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【难度】0.56 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 【例1.3.】 已知，，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】由，根据不等式性质可得，结合，利用同向不等式相加的性质，得到． 【详解】因为，所以． 又，所以． 故选：B． 【例1.4.】 已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的基本性质可判断ABD，举反例排除C. 【详解】因为 ，不等式 两边同除以正数，不等号方向不变，因此 一定成立，A正确； 由 得 ，又 ，负数除以负数结果为正，因此 一定成立，B正确； 取，满足条件，但此时，C错误； 由得 ，且，正数除以负数结果为负，因此一定成立，D正确. 【例1.5.】 （多选）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【难度】0.82 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉即可；选项D，用作差法即可判断. 【详解】对于A：取，则，故A错误； 对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确； 对于C：取，，此时，故C错误； 对于D：， 因为，所以；又，， 即，故，故D正确. 【例1.6.】 已知且则（    ） A．有可能大于零 B． C．和，使得 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式证明不等关系 【分析】对于A，据已知条件变形即可证明；对于B，应用重要不等式结合已知即可证明；对于C，据已知条件变形即可证明；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论. 【详解】对于A，由及，得，所以，A错误. 对于B，由，得，即， 由得，所以，B错误； 对于C，由及， 得，所以， 又， 所以，不存在和，使得，C错误； 对于D，由，得， 所以. 因为，，所以，所以，D正确. 故选：D. 题型2：比较数（式）大小 方法提炼 【例2.1.】 （多选）已知实数满足，则下列不等式正确的是（   ） A．> B．> C．≥ D．> 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【详解】对于A，因为，所以，故A正确. 对于B，，故B正确. 对于C，举反例，时，，故C错误. 对于D，，由于，所以，即，故D正确. 【例2.2.】 设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据给定条件，用a表示b，再利用作差法比较大小作答. 【详解】由，得， 于是，即， 而，且三个实数互不相等，因此， 所以的大小关系是. 故选：D 【例2.3.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小、比较对数式的大小 【分析】利用作商法判断A；利用特值法判断BD；利用作差法判断C. 【详解】选项A中，若，则, 由于，所以成立，故A正确； 选项B中，，，由，取， 则，此时，，即，故B错误； 选项C中，若，则， 由于，则，故C错误； 选项D中，令，则，故D错误. 故选：A. 【例2.4.】 已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【例2.5.】 若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断； 【详解】方法一（作商法）：因为， 所以， 所以． 方法二（作差法）：，即． 故答案为： 题型3：利用不等式求值或取值范围 方法提炼 已知，，求取值范围的步骤： 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围。 【例3.1.】 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 【例3.2.】 已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据b的范围，可得的范围，根据a的范围，可得的范围，将所求变形，即可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以，则. 故选：C 【例3.3.】 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 【例3.4.】 已知，则y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用不等式的性质先得，与相加求解. 【详解】因为则， 又，两式相加得， 所以. 故选：D 【例3.5.】 已知实数，满足且，则的最大值为______________. 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质即可求解范围，进而得到最大值. 【详解】由于，且，， 故，即， 因此的最大值为4. 故答案为：4 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §2.1 等式与不等式的性质·复习讲义 目录 题型1：由已知条件判断不等式是否正确 3 题型2：比较数（式）大小 4 题型3：利用不等式求值或取值范围 4 1. 等式的基本性质 性质1 如果，那么；（对称性） 性质2 如果，那么；（传递性） 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，那么； 由性质3可进一步得到“如果，那么”， 由性质4可进一步得到“如果，那么”. 2. 不等式的基本性质 对称性：. 传递性：； 可加性：； 同向可加性：； 可乘性：； 同向同正可乘性：； 同正可乘方性：； 同正可开方性：. 3. 不等式的倒数和分数性质 (1) 倒数性质 ①； ②；③. (2) 分数性质（糖水不等式） 若， ，则 ①真分数性质：；；②假分数性质：；. 题型1：由已知条件判断不等式是否正确 方法提炼 (1) 直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； (2) 利用特殊值排除法. 【例1.1.】 （2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 （2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【例1.3.】 已知，，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 （多选）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例1.6.】 已知且则（    ） A．有可能大于零 B． C．和，使得 D． 题型2：比较数（式）大小 方法提炼 【例2.1.】 （多选）已知实数满足，则下列不等式正确的是（   ） A．> B．> C．≥ D．> 【例2.2.】 设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【例2.5.】 若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 题型3：利用不等式求值或取值范围 方法提炼 已知，，求取值范围的步骤： 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围。 【例3.1.】 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知，则y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知实数，满足且，则的最大值为______________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $