第一章课时4 基本不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式核心考点，涵盖概念理解、变形应用、最值求解及实际问题，按“基础梳理-考点突破-综合拓展”逻辑架构知识体系，通过课标解读、公式辨析、考向分类（直接法、消元法等）、真题演练等环节，帮助学生构建完整解题框架。 讲义突出“数学思维”与“数学语言”培养，如通过错题辨析强化条件意识，用“1”代换法突破最值难点，结合2026年模拟题设计分层训练。创新采用考向模块化教学，确保学生高效掌握“一正二定三相等”原则，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

课时4 基本不等式 一、课标要求 1. 理解基本不等式的内容及证明. 2. 熟练掌握基本不等式及变形的应用. 3. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 4. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 二、知识梳理 1.　基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： . （2）等号成立的条件： . （3）其中称为正数a，b的 平均数，称为正数a，b的 平均数． 2. 利用基本不等式求最值 已知，，则： (1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，x＋y有最小值是 .（简记：积定和最小） (2) 如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 时，xy有最大值是 .（简记：和定积最大） 3. 几个常用不等式 （1） (a，b∈R) ，当且仅当a=b时取等号. （2）(a，b∈R) ，当且仅当a=b时取等号. （3）(a，b∈R) ，当且仅当a=b时取等号. （4） (a，b同号)，当且仅当a=b时取等号. （5） (a＞0，b＞0)，当且仅当a=b时取等号． 【拓展知识】 1.应用基本不等式求最值要注意：“ ”，忽略任何一个条件都会出错. 2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 3.利用基本不等式求最值的常用方法： （1）“1”的代换；（2）配凑法；（3）消元法；（4）换元法等. 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）函数的最小值是2. （ ） （2）函数的最小值是4. （ ） （3）“x>0且y>0”是“”的充要条件. （ ） （4）两个不等式与成立的条件是相同的. （ ） 2．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为(　　) A. B. C. D．1 3．若x>0，y>0，且x+y=18，则的最大值为（ ） A．9 B．18 C．36 D．81 4．若函数在x=a处取得最小值，则a=（ ） A． B． C．3 D．4 四、考点扫描 考点一　基本不等式的理解和简单应用 例1 （1）《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C．≤(a>0，b>0) D．≤(a>0，b>0) （2）（多选题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则有（ ） A． B． C． D． 规律方法： 对点训练 （1）若0<a<b，则下列不等式一定成立的为(　　) A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> （2）（2026·北京高考）已知，则（   ） A． B． C． D． 考点二 运用基本不等式求最值 考向1 直接法 例2 （1）若x，y为实数，且x＋2y＝6，则3x＋9y的最小值为(　 　) A．18 B．27 C．54 D．90 （2）（2026秋·上海高考）设a>0，，且，则的最小值为　 　 ． 考向2 消元法 例3 （1）已知x>0，y>0，且x＋y＝xy，则＋的最小值为( 　) A．3 B．＋ C．3＋ D．3＋2 （2）已知正数x，y满足x＋＝1，则的最小值为________． 考向3 配凑（换元）法 例4 （1）设a>0，b>1.若a＋b＝2，则＋的最小值为(　 　) A．6 B．9 C．3 D．18 （2）(2026·山西忻州市模拟)若x>1,y>9,且xy=9x+y－8,则xy的最小值为 . 考向4 “1”代换 例5 (1) 已知正数a，b满足a＋2b＝3恒成立，则＋的最小值为(　　) A. B. C．2 D．3 （2）（2026·河北石家庄市一模）已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 规律方法: 对点训练（1）（2026·江苏镇江市期初）已知，，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. （2）已知，，且，则的最小值是( ) A．6 B．8 C．12 D．16 （3）(2026·陕西西安市高三校考期末)若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 （4）（多选题）已知，且，则有（     ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为6 D．的最小值为4 考点三　基本不等式的实际应用 例6 甲工厂承担了某种材料的生产,并以x千克/小时的速度匀速生产(为保证质量，要求1≤x≤10),每小时可消耗A材料(kx2+9)千克.已知每小时生产1千克该产品,消耗A材料10千克. (1)设生产m千克该产品,消耗A材料y千克,试把y表示为x的函数. (2)要使得生产1 000千克该产品消耗的A材料最少,工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少. 拓展与延伸1 基本不等式的综合应用 一、考情分析 高考中基本不等式的综合运用主要考查：常见变形、恒(能)成立问题、实际问题中的应用以及在其他知识中的应用. 二、知识梳理 1. 不等式的恒（能）成立问题通常转化为 问题； 常用的方法是 . 2. 解决多元问题的核心思路是减少变量个数，即 ，常见的方法有：代入消元、主元法、齐次化、数形结合. 3. 对勾函数形如，求其极（最）最值优先运用 . 三、 考点扫描 考点一 基本不等式与恒（能）成立问题 例1 （1）（2026·山东烟台市统考）已知x>0，y>0，且＋＝1.若2x＋y<m2－8m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(9，＋∞) B．(－∞，－1]∪[9，＋∞) C．(－9，－1) D．[－9,1] （2）（2026·四川成都市第七中学高三模拟）已知a>0，b>0.若不等式≤恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.4 B.6 C.8 D.9 考点二 运用基本不等式处理多元问题 例2 （1）(2026·山东滨州市联考)已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为_______． （2）(2026·河南许昌市模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b，c的长成等差数列，则角B的取值范围是　　　　　.  考点三 基本不等式与对勾函数 如图，对于函数f(x)＝x＋，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞)． (1)当∈[a，b]时，f(x)＝x＋≥2，f(x)min＝f()＝＋＝2； (2)当＜a时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝a＋； (3)当＞b时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋. 因此，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当∉[a，b]时，只能利用对勾函数的单调性求最值． 例3（2026·浙江温州中学月考）函数f(x)＝x2＋的最小值是______． 四、 巩固提升 1. 若对于任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[5，＋∞) B．(5，＋∞) C．(－∞，5] D．(－∞，5) 2. 若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+<m2－m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.(－1，2) B.(－∞，－2)∪(1，+∞) C.(－2，1) D.(－∞，－1)∪(2，+∞) 3.（多选题）（2026·海南期末）已知x>0，y>0，且2x+y=1.若≤x+2y恒成立，则实数m的可能取值为(　　) A. B. C.3 D. 4. 若正实数x，y满足x+y=2，且≥M恒成立，则M的最大值为_____________. 5. （2026·江苏扬州市高三期初调研）函数y=5+的最大值为　　　　　.  课时4 基本不等式参考答案 2、 知识梳理 1.　（1）， （2）a=b （3）算术 几何 2. (1) x=y (2) x=y 【拓展知识】 1.一正、二定、三相等 三、基础回顾 1．（1）× 【解析】当x<0时，；当x>0时，.所以函数没有最小值. （2）× 【解析】当时，函数，当且仅当即时取“＝”，显然无解. （3）× 【解析】“x>0且y>0”是“”的充分不必要条件. （4）× 【解析】不等式成立的条件是；成立的条件是，. 2. A 【解析】因为0<x<1，所以1－x>0， 所以x(1－x)≤＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，故x(1－x)的最大值为.故选A. 3．A【解析】因为x+y=18，所以，当且仅当x=y=9时取“＝”.故选A. 4．C【解析】，当时，，，当且仅当即时取“＝”.因为函数在 x=a处取得最小值，所以a=3.故选C. 四、考点扫描 例1（1）D【解析】由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径为r＝OF＝AB＝， 又由OC＝OB－BC＝－b＝.在Rt△OCF中， 可得FC2＝OC2＋OF2＝＋＝. 因为OF≤FC，所以≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D. （2）ABD 【解析】对于选项A，由，结合a+b=1，得，A正确； 另解：，A正确； 对于选项B，，所以，B正确； 对于选项C，，C错误； 对于选项D，因为，所以，D正确.故选ABD． 对点训练（1）C【解析】因为0<a<b，所以2b>a＋b，所以b>>. 因为b>a>0，所以ab>a2，所以>a.故b>>>a.故选C. （2） C 【解析】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B、D，取， 此时， 故B、D错误； 对于选项C，由基本不等式可得，故C正确.故选C. 例2 （1）C 【解析】由题意，可得3x＋9y＝3x＋32y≥＝2×27＝54，当且仅当3x＝32y，即x＝2y时等号成立．故选C. （3） 4 【解析】由已知，，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 例3 （1）D 【解析】若x>0，y>0且x＋y＝xy，则， 所以＋ ， 当且仅当，即x＝1＋，y＝1＋时取“＝”，所以＋的最小值为3＋2.故选D. （2）4 【解析】方法一(直接消元) ：由x＋＝1得y＝x－x2，故＋＝＋＝＋＝≥，当且仅当x＝1－x，即x＝时取“＝”．故＋的最小值为4. 方法二(直接消元) ：由x＋＝1得＝1－x，故＋＝＋，以下同方法一. 方法三(消元，分离常数凑定值)：同方法一、二得＋＝＋＝＋ ＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝时取“＝”．故＋的最小值为4. 方法四(“1”的代换)：因为x＋＝1，所以＋＝＝2＋＋≥4，当且仅当＋，即时取“＝”．故＋的最小值为4. 例4（1）B 【解析】 因为a>0，b>1，且a＋b＝2，所以b－1>0且a＋(b－1)＝1，所以＋＝(＋)[a＋(b－1)]＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝且b＝时取等号，故＋的最小值为9.故选B. （2）16 【解析】由xy=9x+y－8得y=所以xy=x·令t=x－1,则x=t+1且t>0, 所以xy=(t+1)·===9t++10≥2+10=16, 当且仅当9t=即t=即x=y=12时,等号成立,即xy的最小值为16. 例5 （1）B 【解析】由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4， 于是＋＝· ＝≥＝，当且仅当＝，且a>0，b>0，即a＝，b＝时，等号成立．所以＋的最小值为.故选B. （2） D 【解析】， ， 当且仅当时等号成立.故选D. 对点训练（1） B 【解析】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.故选B. （2）B 【解析】因为，，，所以， 所以， 当且仅当时取等号.故选B． （3）A【解析】因为ab＝a＋b＋3，所以.因为a>0，b>0，所以b>1， 所以，设，则 ， 当且仅当，，即a＝b＝3时取“=”， 故当a＝b＝3时，ab的最小值为9.故选A. （4）BC 【解析】对于选项A，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，错误； 对于选项B，因为，所以， 即，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于选项C，由得，所以， 因为， 所以，当且仅当时，等号成立，C正确； 对于选项D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.故选BC. 例6 【解】 (1) 由题意,得k+9=10,即k=1, 生产m千克该产品需要的时间是小时, 所以y=(kx2+9)=m1≤x≤10. (2)由(1)知,生产1 000千克该产品消耗的A材料为y=1 000≥1 000×2=6 000(千克), 当且仅当x=即x=3时,等号成立, 故工厂应选取3千克/小时的生产速度,此时消耗的A材料最少,最少为6 000千克. 拓展与延伸1 基本不等式的综合应用 二、知识梳理 1. 最值 分离参数法 2. 消元 3. 基本不等式 三、考点扫描 例1（1）A 【解析】因为x>0，y>0，且＋＝1， 所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，且＋＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9. 若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1， 即实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞)．故选A. （2）　A 【解析】　因为a>0，b>0，≤恒成立， 即m≤==++2恒成立，即m≤. 又因为++2≥2+2=4， 当且仅当=，即a=b时取等号， 所以m≤4，所以m的最大值为4.故选A. 例2（1）8 【解析】因为，所以， . （2）　 【解析】　因为a，b，c的长成等差数列，所以2b=a+c， 所以cos B===≥=.所以≤cos B<1. 又y=cos x在区间(0，π)上单调递减，所以0<B≤. 例3 【解析】由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2， 令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2. 由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝， 即当x＝0时，f(x)min＝. 四、 巩固提升 1. C 【解析】令f(x)＝，由题意可得a≤f(x)min. f(x)＝x＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， a≤f(x)min＝5，所以实数a的取值范围是(－∞，5]．故选C. 2.　D 【解析】 由两个正实数x，y满足4x+y=2xy，得+=2， 则x+==≥=2， 当且仅当=，即y=4x=4时取等号. 由不等式x+<m2－m有解， 得m2－m>2，解得m<－1或m>2， 所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(2，+∞).故选D. 3.　ABC 【解析】　由x>0，y>0，得xy>0，≤x+2y恒成立， 即≤=+恒成立. 又+=(2x+y)=5++≥5+2=9， 当且仅当x=y=时，等号成立， 故≤9，即－9=≤0， 即解得m<1或m≥.故选ABC. 4. 1 【解析】 因为正实数x，y满足x+y=2， 所以xy≤==1，所以≥1. 又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1. 5.　6 【解析】　由题意得解得1≤x≤5， y2=(5+)2=(5+·)2≤(52+2)(x－1+5－x)=108，当且仅当x=<5时等号成立，所以y≤6. . 学科网（北京）股份有限公司 $