第一章课时5 从函数观点看一元二次方程和不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦二次函数、一元二次方程与不等式的关系，按课标要求梳理含参数不等式解法、恒成立问题及根的分布等核心考点，通过知识表格对比、规律方法总结、2026年真题训练等环节，帮助学生构建“三个二次”内在联系，突破分类讨论等难点。 资料以数形结合培养数学眼光，如用函数图象分析根的分布，通过含参数不等式分类讨论发展数学思维，设置基础、提升、综合分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供系统指导。

课时5 从函数观点看一元二次方程和不等式 一、课标要求 1. 会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 2. 了解一元二次不等式的现实意义，能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3. 借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 二、知识梳理 1．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根 x1，x2＝ 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实根 一元二次不等式的解集 ax2＋bx＋c>0 (a>0) R ax2＋bx+c<0(a>0) 2. 求解一元二次不等式的方法和步骤 （1）将不等式化为二次项系数大于零的标准形式； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有无实根； （4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 3. 分式不等式的解法 ； ； ； ； 【拓展知识】 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，则需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若不等式的解集为(，)，则必有a >0.（ ） （2）若方程没有实数根，则不等式的解集为.（ ） （3）若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.（ ） （4）不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.（ ） 2．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－<x<}，则a－b的值是(　 　) A．－10 B．－14 C．10 D．14 3．“a<11”是“x∈R，使得x2－2x＋a<0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（多选题）设集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|y＝}，则有(　 　) A．A＝(－∞，－2]∪[1，＋∞) B．B＝[1，＋∞) C．A∩B＝[1，＋∞) D．A∪B＝(－∞，－1]∪[1，＋∞) 四、考点扫描 考点一 一元二次不等式的解法 考向1 求解不含参数的一元二次不等式 例1 （1）(2026·湖北武汉市二调)已知集合，，则（ ） A. B. C. D. （2）（2026·新高考Ⅱ卷）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 考向2 求解含参数的一元二次不等式 例2 解关于x的不等式：ax2－(a+4)x+4<0. 规律方法： 对点训练（1）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ．（用集合表示） （2）解关于x的不等式：x2－ax－2a2>0. 考点二 一元二次不等式的恒（能）成立问题 例3 已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使得不等式对任意恒成立？并说明理由. (2)若不等式对有解，求实数的取值范围. 规律方法： 对点训练 （1）（2026·陕西西安市模拟）若关于x的不等式－x2+ax－7≤0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.(－) B. C.(－∞，－)∪(，+∞) D.(－∞，－]∪[，+∞) （2）(2026·江苏苏州中学期末)已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是 ． 考点三 三个二次之间的关系 例4 （1）（多选题）(2026·安徽师范大学附中模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则有(　 　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为(－∞，－)∪(，＋∞) （2）（2026·上海青浦区二模）已知y=ax2－(a2+2)x+2a.若不等式y+6x≤0的解集为{x|x≤－2或x≥－1},则实数a的值为　　　　.  对点训练 若不等式－2<x2+mx－m2<1的解集为{x|n<x<2},则m+n=　　　　　　.  拓展与延伸2 一元二次方程的根的分布 一、考情分析 一元二次方程的根分布问题，是衔接初中代数与高中函数、导数的关键板块.它的核心在于“数形结合”，即利用二次函数图象来研究方程根的范围，这部分知识很少单独出大题，通常作为条件渗透在综合题中. 二、知识梳理 1. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的几种常见分布情况 分布情况 两根都小于k,即 两根都大于k，即 一个根小于，一个根大于，即 f(x)=ax2+bx+c(a>0)大致图象 得出的结论 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内（有两种情况） 一根在内，另一根在内， f(x)=ax2+bx+c(a>0)大致图象 得出的结论 2. 由一个一元二次方程根的分布情况确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解． (1)判别式Δ的符号． (2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系． (3)区间端点处函数值的符号． 三、考点扫描 考点一 由一元二次方程的根的分布求参数范围 例1 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围． 考点二 一元二次方程的根的分布的应用 例2 （1）(多选题)(2026·山西长治市质检)已知函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则有(　　) A.a2－b2≤4 B.a2＋≥4 C.若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0 D.若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 (2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x)<0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析式f(x)＝________. 三、 巩固提升 1. 已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. (多选题)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 3. (多选题)(2026·湖北宜昌市质检)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，下列结论正确的有(　　) A.a＜1 B.若x1x2≠0，则＋＝ C.f(－1)＝f(3) D.函数y＝f(|x|)有四个零点 4. （2026·上海浦东新区模拟）不等式的解集为 ． 5. 若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为________. 课时5 从函数观点看一元二次方程和不等式参考答案 二、知识梳理 1．{x|x<x1或x>x2} (x1＜x2) {x|x1<x<x2}(x1＜x2) 3. 三、基础回顾 1．（1）√ 【解析】 由不等式解集的形式以及不等号可知a >0. （2）× 【解析】当a < 0时，不等式的解集为. （3）× 【解析】当a =b =0，c>0时，ax2＋bx＋c>0恒成立. （4）× 【解析】当x－b=0不合. 2. A【解析】因为x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0 的两个根，所以 解得所以a－b＝－10.故选A. 3. B 【解析】x∈R，x2－2x＋a<0，则要满足Δ＝4－4a>0，解得a<1.因为a<11a<1，但a<1a<11，故“a<11”是“x∈R，x2－2x＋a<0”的必要不充分条件．故选B. 4. BD 【解析】因为A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，B＝{x|y＝}＝{x|x≥1}， 所以A∩B＝[2，＋∞)，A∪B＝{x|x≤－1或x≥1}＝(－∞，－1]∪[1，＋∞).故选BD. 四、考点扫描 例1 （1） B 【解析】，所以.故选B. （2）C 【解析】，即为，即，解集为.故选C. 例2 【解】　原不等式可化为(ax－4)(x－1)<0，所以当a=0时，解得x>1； 当0<a<4时，解得1<x<；当a=4时，不等式无解； 当a>4时，解得<x<1；当a<0时，不等式等价于(x－1)>0，解得x<或x>1. 综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<4时，不等式的解集为； 当a=4时，不等式的解集为∅； 当a>4时，不等式的解集为； 当a<0时，不等式的解集为. 对点训练（1） 【解析】不等式的解集为， 所以，且1，2是方程的两个实数根， 所以，解得，，其中； 所以不等式化为， 即，解得， 因此所求不等式的解集为. （2）【解】　不等式x2－ax－2a2>0可化为(x－2a)(x+a)>0. 当2a<－a，即a<0时，解得x<2a或x>－a； 当2a=－a，即a=0时，解得x≠0， 当2a>－a，即a>0时，解得x<－a或x>2a.综上所述，当a<0时， 解集为(－∞，2a)∪(－a，+∞)； 当a=0时，解集为(－∞，0)∪(0，+∞)； 当a>0时，解集为(－∞，－a)∪(2a，+∞). 例3【解】（1）原不等式等价于， 当时，，即，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则且，无解. 综上，不存在实数，使不等式恒成立. （2）若不等式对有解， 等价于时，有解. 令， 当时，即，此时显然在有解； 当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解； 当时，图象对称轴为，， 时，有解， 所以结合一元二次函数图象，易得：或， 解得或（无解），又因为，. 综上所述，的取值范围是. 对点训练 （1）　B 【解析】由题意得Δ=a2－4××(－7)≤0，解得－≤a≤. 因此，实数a的取值范围是.故选B. （2） 【解析】当x∈(0，2]时，不等式可化为ax＋<2.当a＝0时，不等式为0<2，满足题意；当a>0时，不等式化为x＋<，则>2＝2，当且仅当x＝时取等号，所以a<，即0<a<；当a<0时，x＋>恒成立．综上所述，实数a的取值范围是. 例4 （1）ABD 【解析】关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，所以a>0，故A正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，故C错误；不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，故B正确；不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，故D正确．故选ABD. （2）　－4 【解析】 由题意得不等式y+6x≤0,即ax2－(a2－4)x+2a≤0的解集是{x|x≤－2或x≥－1}, 所以a<0,且－2,－1是方程ax2－(a2－4)x+2a=0的两个实数根,则 解得a=－4(a=1不符合题意,舍去). 对点训练 　－2 【解析】 因为不等式－2<x2+mx－m2<1的解集为{x|n<x<2}, 而y=x2+mx－m2=－m2的图象开口向上, 且最小值大于－2,即－m2>－2,解得m2< 且x2+mx－m2=1的两个根为n,2, 所以解得或 当时,不符合m2<故舍去, 所以所以m+n=－2. 拓展与延伸2 一元二次方程的根的分布 二、知识梳理 1. 三、考点扫描 例1 【解】(1) 依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间 (－1,0)和(1,2)内，画出示意图， 得 即解得－<m<－.故实数m的取值范围是. (2) 依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内，画出示意图， 得即解得－<m<1－. 故实数m的取值范围是. 例2 （1）ABD 【解析】根据题意，函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点， 则Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b(b>0). 对于选项A，a2－b2－4＝4b－b2－4＝－(b2－4b＋4)＝－(b－2)2≤0， 即有a2－b2≤4，故A正确； 对于选项B，a2＋＝4b＋≥2＝4， 当且仅当4b＝，即b＝时等号成立，故B正确； 对于选项C，由x1，x2为方程x2＋ax－b＝0的两根，可得x1x2＝－b<0，故C错误； 对于选项D，由x1，x2为方程x2＋ax＋b－c＝0的两根，可得x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c， 则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝a2－4b＋4c＝4c＝16， 解得c＝4，故D正确.故选ABD. (2)x2－4x (不唯一) 【解析】因为f(x)<0恰有3个整数解，所以设三个整数解分别为1,2,3， 则f(x)<0的解集可以为(0,4)，故x1＝0，x2＝4是ax2＋bx＋c＝0的两个根， 故0＋4＝－，0×4＝，所以c＝0，b＝－4a， 令a＝1，则b＝－4，故f(x)＝x2－4x.(不唯一) 四、巩固提升 1. B 【解析】设.由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是.故选.B. 2.AB 【解析】画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合， 由函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得解得4≤m<6.故选AB. 3. ABC 【解析】二次函数对应二次方程根的判别式 Δ＝(－2)2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确； 由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a， ＋＝＝，故B正确； 因为f(x)图象的对称轴为x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确； 当a＝0时，y＝f(|x|)＝x2－2|x|有3个零点，故D不正确.故选ABC. 4. 【解析】，即，即， 则，根据穿根法解得. 5. 【解析】由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的实数根， 所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2. 又因为x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2. 又a＞0，解得a＝. . 学科网（北京）股份有限公司 $