浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期学业水平测试数学试题

**基本信息** 高二下数学学考测试卷涵盖集合、函数、立体几何等核心知识，解答题设计概率应用（甲、乙射击）、体积计算及函数最值问题，注重基础巩固与能力提升，体现数学思维与语言的应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|12/36|集合、函数定义域、复数、向量等|基础知识点全面，考查抽象能力与运算能力| |多项选择题|3/18|不等式、三角形边长取值等|设置部分得分机制，培养推理意识| |填空题|3/9|独立事件概率、三角形最值等|简洁考查数据意识与模型应用| |解答题|3/37|概率计算（甲、乙射击）、立体几何体积、函数单调性与最值|综合应用空间观念与逻辑推理，梯度设计合理|

高二下数学科目学考测试卷参考答案 命题：黄黎蓉 审题：张希特 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） CADDB CAADB AA 11．【详解】以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ，，， ，， ， . 故选：A. 12．【详解】如图，设正三角形的边长为，中心为，由题设可知，则，即，又由实际意义可知以为圆心为半径的圆的截面的面积最小，其最小值为，应选答案A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对部分得分，不选、错选得0分） 13．AD 14．BC 15．ABD 15．【详解】根据题意，在直线上取点，且满足， 过分别作直线的垂线，交曲线于，，交曲线于， 在曲线上取点，使，如图所示： ，令，则， ，令，则， 若，则， 若，则即可，此时可以与重合，与重合，满足题意， 但是不成立，且，所以A、B不正确； 对于选项C，若，此时与重合，且与重合，或与重合，且与重合，所以满足，所以C正确； 对于D，当与重合时，满足，但此时在直线上的投影不在处，因而不满足，即，所以D不正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 16．0.88 17． 【详解】由题可得， 则由余弦定理得， 整理得， 所以由余弦定理，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 18．2或4 【详解】令，所以， 因为有零点，所以方程有根， 当仅有一根时，，所以， 此时，若，则有是方程的解， 即，此时有解，即有个零点； 当有两个不等实根时，，所以， 记两根为，所以，所以，此时是方程的解， 即，此时有解， 又因为，，， 所以，所以是方程的解， 即，此时有解， 所以当有两个不等实根时，共有解，即有个零点. 故答案为：2或4. 四、解答题（本大题共3小题，共37分.第19题12分，第20题12分，第21题13分） 19．（1）设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件. 则2人都射中目标的概率为P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.8×0.9＝0.72. （2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中（事件发生），另一种是甲未射中、乙射中（事件发生）.根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P（）＋P（）＝P（A）·P（）＋P（）·P（B） ＝0.8×（1－0.9）＋（1－0.8）×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26. （3）“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为p＝P（AB）＋[P（）＋P（）]＝0.72＋0.26＝0.98. （4）“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为p＝P（）＋P（）＋P（） ＝P（）·P（）＋P（A）·P（）＋P（）·P（B）＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. 20．【详解】（1）连接，，且，连接， 因为在正三棱柱中，底面边长为2，， 所以侧面都是边长为2的正方形， 所以在正方形中，， 又因为，为中点， 所以为等腰三角形，是底边中线，所以， 又因为，面，且，所以面. （2）法一：几何法 连接，由可得：， 记与平面所成角为，由于平面， 是在平面上的投影，则， 根据线面角的定义，， 在中，由且，则， 由勾股定理得：， 所以. 法二．向量法 以为坐标原点，为轴，为轴，过作轴垂直，建立空间直角坐标系， 设，结合图形对称性可知：，， 则，由题可知平面的法向量， 记与平面所成角为， 则， 由题意可知， 即，解得：（取正）， 所以. 21．【详解】（1）当，时， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， （2） 所以 因此 （3）当时， 令，则 当时根据二次函数图象对称性可得当时最大值取最小值 ，因此此时 综上，，从而 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下数学科目学考测试卷 命题：黄黎蓉 审题：张希特 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为 A． B． C． D． 3．设i为虚数单位，复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．若，则 A． B． C． D． 6．若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积为（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 9．样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为(　　) A． B． C． D．2 10．函数的图象大致为（    ） 11．如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 12．已知正三角形的三个顶点都在球心为、半径为3的球面上，且三棱锥的高为2，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对部分得分，不选、错选得0分） 13．若，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 14．已知锐角三角形的边长分别是，则的取值可以是（    ） A．4 B．5 C．5.5 D．7 15．设点A，B的坐标分别为，，P，Q分别是曲线和上的动点，记，则下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 16．已知事件与相互独立，，，则______． 17．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的最小值为______． 18．设a为实数，若函数有零点，则函数零点的个数是______． 四、解答题（本大题共3小题，共37分.第19题12分，第20题12分，第21题13分） 19．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率． 20．已知正三棱柱的底面边长为为中点． （1）若，证明：平面； （2）若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积． 21．设函数，，. （1）当，时，写出函数的单调区间； （2）当时，记函数在上的最大值为，在变化时，求的最小值； （3）若对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $