浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期学业水平模拟考试一数学试卷

**基本信息** 杭州学军中学学考模拟卷聚焦数学核心素养，通过集合、复数等基础题巩固知识，以频率分布直方图（第10题）、产品质量差统计（第19题）等现实情境题培养数据意识，新定义“依赖函数”（第21题）考查创新思维，适配学业考试要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|12/36|集合、复数、立体几何、命题否定等|第5题斜二测画法结合直观图与原图形面积转化，考查空间观念| |多项选择题|3/18|统计量、双曲函数、正方体动态问题|第14题以悬链线为背景引入双曲函数，体现数学文化| |填空题|3/9|三角恒等变换、向量数量积、解三角形最值|第18题结合解三角形考查参数取值范围，培养逻辑推理| |解答题|3/37|统计分位数、立体几何体积与线面角、新定义函数|第19题通过产品质量差数据处理考查应用意识，第21题“依赖函数”定义探究提升创新能力|

杭州学军中学学考模拟试卷一 命题 王加义 审题 叶向晨 一、单项选挥题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数，则复数的共轭复数（ ） A． B． C． D． 3．设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 7．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 8．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．在中，，则（    ） A． B． C． D． 10．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），画出如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（   ）    A．可以估计该市月均用水量在区间内的居民用户最多 B．可以估计随着月均用水量的增加，该市居民用户数呈现降低趋势 C．可以估计该市月均用水量的平均数小于中位数 D．可以估计该市居民月均用水量的分位数为14.2 11．如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ） A． B． C． D． 12．已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对部分得分，不选、错选得0分） 13．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（    ） A．平均数为3 B．众数为2和3 C．方差为 D．第85百分位数为4.5 14．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，则（    ） A． B．函数在其定义域上是增函数 C．函数的值域为 D．若实数满足不等式，则的取值范围是 15．已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（      ） A．的最小值为 B．不存在点，使与所成角等于 C．二面角正切值的取值范围为 D．当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 16．已知，则________． 17．已知，已知，则_______． 18．在中，角的对边分别为， ，，若有最大值，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本大题共3小题，共37分.第19题12分，第20题12分，第21题13分） 19．某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下： (1)求样本数据的70%分位数；（精确到0.01） (2)公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． ①若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品； ②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率． 20．如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． (1)求证：； (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角． 21．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学学考模拟试卷一参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B D B A D B C 题号 11 12 13 14 15 答案 D D ABC ABD ACD 1．C 【详解】由题意知集合，， 故. 2．C 【分析】根据复数的乘法与除法，结合共轭复数求解即可. 【详解】由， 所以. 3．D 【分析】根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，由 ，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误； 对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误； 对于C，由线面平行的判定定理可知C错误； 对于D，过直线作平面，且， 因为，所以， 过直线作平面，且， 同理可得， 所以， 因为，（若，则与重合） 所以， 因为，且， 所以，，故D正确.    4．B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 则其否定为：，. 故选：B 5．D 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图： 由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图： 易知，，， 所以原梯形面积为. 6．B 【详解】因为实数，满足，所以， . 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 7．A 【分析】根据诱导公式、同角三角函数关系及两角和余弦公式求解即可. 【详解】由诱导公式得， 因为，， 所以， 所以. 故选：A 8．D 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为函数在上为减函数，所以，即， 所以. 故选：D. 9．B 【分析】根据同角三角函数的基本关系，正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到，再根据正切的二倍角公式即可求出． 【详解】由，则， 则， 又在中，， 则，且， 所以， 即，得， 所以，， 所以． 故选：B． 10．C 【分析】根据众数、平均数、中位数、百分位数的定义逐一判断. 【详解】由众数的定义可知，100户居民月均用水量在区间内的居民用户最多，再由样本估计总体可知，A正确； 由图可知，随着月均用水量的增加，高度呈现降低的趋势，故B正确； 平均数为 ， 因为，，则中位数在第二组内， 设中位数为，则，得， 故可以估计该市月均用水量的平均数大于中位数，故C错误； 因为，， 则分位数在第五组内， 设该市居民月均用水量的分位数为，则， 得，故D正确. 故选：C 11．D 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：    依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 12．D 【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围. 【详解】如下图所示： 令，解得， 故当时，对称轴为直线，则， 因为，所以，， 又因为， ， 由可得，则，则， 所以，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于结合正弦型函数的对称性以及函数解析式将所求代数式转化为关于某个量的函数，求出变量范围后，转化为值域问题求解. 13．ABC 【分析】求得平均数判断选项A；求得众数判断选项B；求得方差判断选项C；求得第85百分位数判断选项D. 【详解】选项A：此组数据平均数为5+5+4+3+3+3+2+2+2+1.判断正确； 选项B：此组数据中3出现3次，2出现3次，5出现2次，4出现1次，1出现1次. 则此组数据众数为2和3. 判断正确； 选项C：此组数据方差为. 判断正确； 选项D：将此组数据从小到大排列为1，2，2，2 ，3，3，3，4，5，5. ，但8.5不是整数，则第85百分位数为为第9个数字5.判断错误. 故选：ABC 14．ABD 【分析】整理可得.对于A：直接代入运算即可；对于B：根据指数函数单调性结合单调性性质分析判断；对于C；根据指数函数值域结合不等式运算求解；对于D：分析可知函数为奇函数，结合单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】由题意可知：，且函数的定义域为， 对于选项A：，A正确； 对于选项B：因为函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，故B正确； 对于选项C：因为，则，可得， 所以函数的值域为，故C错误； 对于选项D：因为，可知函数为奇函数， 又因为，则， 由选项B可知：，解得， 所以的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 15．ACD 【分析】对于A，直接找出最近距离为为中点，计算即可；对于B，找出最大，最小的临界状态值即可解决；对于C，找出二面角的平面角，再用锐角三角函数即可；对于D，设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可． 【详解】对于A， 最小值时，为中点.作个草图，取中点，连接． 此时，故A正确． 设与所成的角为θ，当与重合时，， 当在中点时，．则存在点 ，使. 即存在点，使与 所成角等于 .故B错误． 如图，过中点作于，则为二面角的平面角， 因此，故C正确． 设三棱锥的外接球的球心为，显然平面，为等腰直角三角形，外心为M， 则O可以由M沿着方向移动即可,O一定在上． 为中点时，半径，于是． 在中有，解得， 于是球表面积为.故D正确． 故选：ACD. 【点睛】知识点点睛：本题考查了正方体性质，点线面的位置关系辨别，空间两点间的距离最值，异面直线夹角，二面角的问题，三棱锥的外接球问题．同时考查空间想象、逻辑推理、数形结合、转化计算能力.综合性较强，属于难题. 16． 【分析】由对数定义可得答案. 【详解】。 故答案为：. 17．0 18． 【解析】由正弦定理，三角恒等变换和辅助角公式可得，其中，结合范围，由于有最大值，可求，进而求解的取值范围. 【详解】由于，所以， 由正弦定理得， 所以，， 所以 . 当，即时，，没有最大值，所以， 则，其中， 要使有最大值，则要能取，由于， 所以，所以，即，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 19．(1) (2)①一等品；② 【分析】（1）利用频率直方图的中位数计算方法即可求解； （2）①利用频率直方图先计算出样本均值，即可做出判断； ②利用古典概型计算方法，先列举出总的基本事件，再选出事件所包含的基本事件，即可求出事件发生的概率. 【详解】（1）由于前2组的频率和为0.3，前3组的频率和为0.75， 所以可知70%分位数一定位于第三组内， 设70%分位数为x，则，解得 （2）①根据频率直方图计算样本平均数： 因为样本标准差，，所以，又， 则可知该产品属于一等品． ②记三件一等品为，两件二等品为， 摸出两件产品总基本事件共10个，分别为： ，，，，，，，，，， 设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件，则包含的基本事件共9个，分别是： ，，，，，，，，， 所以. 则摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为. 20．(1)证明见解析 (2)1 (3)45° 【分析】(1)先证明平面得到； (2)将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解； (3)设，，可证得为二面角的平面角，可得，为直线与平面所成的角，可求得知大小． 【详解】（1）如图所示，设点是棱的中点，连接，，， 由及点是棱的中点，可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 而是的中位线，所以，可得， 又由，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以． （2）若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面， 所以． （3）设点是与的交点，由（1）可知平面， 又，均在平面内，从而有，， 故为二面角的平面角，所以， 所以， 因为，所以为等边三角形． 不妨设菱形的边长为，． 则在直角中，，， ，所以， 因为平面，所以为直线与平面所成的角． 则， 所以直线与平面所成的角为45° 21．(1)不是“依赖函数”，理由见解析； (2) (3)最大值为. 【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可； （2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围； （3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值. 【详解】（1）对于函数的定义域内存在，则无解， 故不是“依赖函数”. （2）因为在上递增，故，即，， 由，故，得， 从而在上单调递增，故. （3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若，故在上单调递减， 从而，解得(舍)或， 从而存在.使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由，得. 由，可得， 又在单调递减，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： ① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ② 数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $