1.3 公式法教学设计2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦公式法因式分解，以平方差公式和完全平方公式逆向使用为核心，通过“不用计算器计算”“分解多项式”的挑战导入，衔接提公因式法旧知，引出新知，构建旧知到新知的学习支架。 此资料特色在于融入核心素养培养，通过识别多项式结构特征发展抽象能力，借助逆向使用公式培养推理能力，以公式结构模型强化模型意识。如例2分解时强调彻底分解，例4先提公因式再用公式，帮助学生提升代数推理与运算能力，为教师提供清晰教学环节与例题设计，助力高效教学。

1.3 公式法教学设计 一、教材分析 本节课以平方差公式 和完全平方公式 为依托，引导学生将乘法公式逆向使用进行因式分解，形成“公式法”这一基本方法。教材通过“说一说”“做一做”“议一议”等环节，由旧知引出新法，注重观察结构、辨析特征、迁移应用。本节内容承接提公因式法，是因式分解的深化与拓展，为后续分式运算、解一元二次方程及代数式恒等变形奠定基础；同时培养学生观察能力、符号意识与模型思想，提升代数推理与数学抽象素养。 二、学情分析 八年级学生已掌握整式的乘法运算、平方差公式 及完全平方公式 、 ，具备识别代数结构和代入运算的基础能力；此阶段学生抽象思维逐步发展，能理解“公式逆用”的思想，但对多项式中整体代换（如将 视为一个字母）及因式分解条件的准确辨识仍存在困难；本节课要求学生在理解乘法公式结构特征的基础上，主动识别可套用公式的多项式形式，掌握公式法因式分解的基本步骤与适用条件，提升观察、归纳与符号表达能力，为后续学习分式、一元二次方程及函数奠定关键代数基础。 三、课前任务 1.知识回顾： 请回顾提公因式法因式分解的步骤，用提公因式法分解下列多项式： ， ，检验自己对提公因式法的掌握情况。 2.预习教材： 阅读课本中公式法因式分解的内容，先回顾平方差公式 和完全平方公式 ，再学习将公式逆用进行因式分解的方法。圈出能用平方差公式、完全平方公式分解的多项式特征，记录课本中例题的解题步骤，对疑问处做标记。 3.问题思考： 思考多项式 和 分别符合哪个公式的特征？尝试用预习的方法对它们进行因式分解，课上和同学交流你的思路。 四、教学目标 1.理解平方差公式与完全平方公式的结构特征，掌握用公式法分解因式的基本方法，提升数学抽象与符号意识，发展代数推理与运算能力。 2.能识别符合平方差或完全平方形式的多项式，正确选择并应用相应公式进行因式分解，培养观察分析与模型识别能力，增强数学建模素养。 3.通过公式逆向使用及整体代换（如将 视为整体），体会转化思想与化归策略，提高逻辑思维与问题解决能力，发展数学运算与推理核心素养。 五、教学重难点 重点： 掌握用平方差公式 、完全平方公式 因式分解的方法。 难点： 准确识别可运用公式的多项式特征，灵活整体代换进行因式分解。 六、教学环节 1.课堂导入 同学们，我们先来做两个小挑战： 1. 不用计算器，快速计算 的值； 2. 请把多项式 写成两个整式乘积的形式。 大家是不是发现用之前的提公因式法没法解决？其实这两个问题都可以通过我们学过的乘法公式解决。我们之前用乘法公式是从左到右算乘积，今天我们反其道而行之，把公式从右到左用，就能解锁一种新的因式分解方法——公式法，一起走进今天的课堂吧！ 2.探究新知 （一）知识精讲 我们来学习因式分解的另一种基本方法——公式法。首先，回忆平方差公式： 这个公式中的字母 和 可以代表任何数或任意多项式。例如，在平方差公式中，将 用5代入，得到： 把这个等式从右到左使用，就可以将多项式 因式分解： 像这样，将乘法公式从右到左使用，对某些形式的多项式进行因式分解，这种方法叫作公式法。 现在，我们试着把多项式 因式分解。由平方差公式得： 于是： 通过以上例子，同学们思考：具有什么特征的多项式可以用平方差公式分解因式？ 我们来讨论：一个多项式如果能写成两个数的平方差的形式，即 ，那么它就可以用平方差公式分解为 。这里 和 可以是数、单项式或多项式。 接下来，我们学习完全平方公式。完全平方公式有两个： 完全平方公式1： 完全平方公式2： 同样，公式中的字母可以代表任何数或任意多项式。例如，在完全平方公式1中，将 用2代入，得到： 将这个等式从右到左使用，就可以把多项式 因式分解： 现在，我们尝试用完全平方公式分解多项式 。把 看作一个整体，则： 同学们再思考：具有什么特征的多项式可以用完全平方公式分解因式？ 多项式如果可以写成两数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍的形式，即 ，那么它就可以用完全平方公式分解为 。这里 和 可以是数、单项式或多项式。 （二）师生互动 教师提问：刚才我们用平方差公式分解了 ，得到 。如果现在有一个多项式 ，你能尝试用我们刚学过的公式法进行因式分解吗？想一想，它可能用到哪些公式？ 学生回答：可以先利用完全平方公式把 写成 ，然后用平方差公式得到 。 教师追问：非常棒！那么，在用公式法因式分解时，我们需要注意什么？比如，如何判断一个多项式能否用平方差公式或完全平方公式？ 学生思考后回答：首先看多项式是否满足公式的形式特征。比如平方差公式要求有两项且都是平方项且符号相反，完全平方公式要求有三项，其中两项是平方项且同号，另一项是这两个底数乘积的2倍。 （三）设计意图 通过将乘法公式逆向使用引出因式分解的公式法，让学生经历从整式乘法到因式分解的逆向思维过程，培养逆向推理和化归思想。通过具体的代数式代入和整体换元的例子，巩固公式的结构特征，提高学生识别和运用公式的能力。在师生互动中，通过追问引导学生综合运用两个公式，深化对公式法分解因式步骤的理解，提升逻辑推理和数学表达能力。整个过程注重从特殊到一般的归纳，帮助学生建立知识之间的联系，感受数学公式的对称美与简洁美。 3.新知应用 例1题目： 把多项式 因式分解。 解答： 我们先观察这个多项式： 。 它由两项组成，中间是减号，形式为“平方减平方”，符合平方差公式的结构特征： 接下来，我们要判断它是否能写成某个数（或整式）的平方减去另一个数（或整式）的平方。 · ，因为 ； · ，因为 。 所以原式可以改写为： 现在，直接套用平方差公式，令 ， ，得： 因此，因式分解结果为： 例2题目： 把多项式 因式分解。 解答： 观察 ，它仍是两项相减，且都是四次幂。我们尝试将其看作平方差： · ， · ， 所以： 套用平方差公式： 但注意：因式分解要彻底，即每个因式都应不能再分解（在有理数范围内）。 其中 在有理数范围内不能继续分解（无实数平方差结构）； 而 仍是平方差，可继续分解： 因此，完整分解为： 例3题目： 把多项式 因式分解。 解答： 这是一个三项式，考虑是否符合完全平方公式。 回忆完全平方公式2： 我们尝试匹配： · 首项 → 所以 ； · 末项 → 所以 ； · 中间项应为 ，恰好等于原式中间项！ 因此，它完全符合 的结构： 所以因式分解结果为： 例4题目： 把下列多项式因式分解： （1） ；　　　　（2） 。 解答： （1） 观察：三项，首项为负，不利于直接套用完全平方公式（公式右边首项恒正）。 → 先提取负号，使括号内首项为正： 现在看括号内： · ， · ， · ，完全匹配 ，其中 ， 。 所以： 带回负号： （2） 先看公因式：三项都含 ，且次数最低为 1（ 、 、 ），故提 ： 括号内： · ， · ， · ， → 符合 ，其中 ， 。 所以： 因此： 4.课堂练习 1.下列各因式分解正确的是（     A    ） A． B． C． D． 2.小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： 分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   A      ） A．我爱兰州 B．爱兰州 C．我爱数学 D．兰州数学 3.在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是 的三边长，且满足 ，则 的形状为（     B   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5.课堂小结 同学们，这节课你们学到了什么？ 6、 板书设计 公式法因式分解 ├─ 平方差公式法 │ ├─ 乘法公式： │ ├─ 因式分解公式： │ ├─ 适用特征：两项、平方差形式 │ ├─ 例题： │ │ │ └─ 简便计算：如 └─ 完全平方公式法 ├─ 乘法公式： │ ├─ │ └─ ├─ 因式分解公式： │ ├─ │ └─ ├─ 适用特征：三项、完全平方式（首平方、尾平方，首尾两倍在中央） └─ 例题： 七、教学反思 本节课围绕公式法展开，通过复习平方差公式 与完全平方公式 ，引导学生理解“从右到左”逆用公式的因式分解本质，并借助代入、整体思想等策略落实应用。教学基本达成课标“能运用公式法对二次三项式及特殊二项式进行因式分解”的要求，成功之处在于情境衔接自然、代数推理清晰、整体思想渗透到位；不足在于对多项式结构特征的归纳略显仓促，“议一议”环节学生自主提炼能力未充分展现，部分学生对公式适用条件（如符号、项数、系数匹配）辨析仍模糊，后续需强化变式辨析与错误诊断训练。 学科网（北京）股份有限公司 $