期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定复习讲义 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定复习讲义 考点目录 线面平行的判定 面面平行的判定 考点一 线面平行的判定 【知识点解析】 一、判定定理（核心） 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 符号：1中心，mCc,I‖m→l‖ 补充判定方法 1.面面平行推线面平行：x‖B,1cB→I‖ 2. 空间向量法：直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内。 二、解题思路 1.找平面内平行线：中位线、平行四边形、比例线段； 2.严格写清三条件：线在面外、线在面内、两线平行： 3. 向量做法：求a·n=0,验证直线不在平面。 【例题分析】 例1.(25-26高一下安徽六安期中)如图，等腰梯形ABCD中，AB/1CD,CD=2AB=2AD=4,AE⊥CD, 垂足为E,将ADE沿AE翻折，得到四棱锥P-ABCE.在四棱锥P-ABCE中，点M,N分别在线段PB,AC上， 且4-BM=2 NC MP D D E E B (I)若PE⊥EC,求直线BC与直线PA所成角的余弦值 (2)求证：MN1/平面PCE 例2.(25-26高一下·河北邢台·期中)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点M,N分别在线段BD, AD上，且B,M=AN=V2. 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定复习讲义 D C M A16 B D C B (1)证明：MN/平面CDD,C. (②)记过MN且与BC,平行的平面为a,平面a与直线B,C,交于点P,求B,P的长. 例3.(25-26高一下·陕西铜川期中)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为 正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点. D M A B N (I)当M为PD的中点时，求证：MW/平面PAB. ②)当P81平面AMN附，求P的值，并说明理由。 D 2 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定复习讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高一下·天津河东·阶段检测)在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，E为CC的中点.AB=BC=1, A4=4. D C A B B (I)求证：AC/1平面BDE; (2)求异面直线AC,与DE所成角的余弦值 变式2.(25-26高一下·广东珠海·期中)如图所示，正四棱锥S-ABCD中，P为侧棱SD上靠近D点的四等分点， 即SP=3PD,Q为侧棱SD的中点，平面SABO平面SCD=1. D B (1)证明：BQ∥平面PAC; (2)证明：ABWl: ③)侧棱SC上是否存在一点E,使得BB∥平面PAC?若存在，求二的值；若不存在，试说明理由 EC 3 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定复习讲义 变式3.(25-26高一下·黑龙江哈尔滨期中)如图，己知正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=A4,=2,点P为BC的中 点 A B P (1)证明：AB/1平面APC,: (②)求点B到平面APC的距离 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定复习讲义 考点二 面面平行的判定 【知识点解析】 一、判定定理（核心） 一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行。 符号：acB,bcB,anb=P,a‖a,bla→l 补充判定 1. 垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 2.两平面法向量平行n1‖n2→面面平行。 二、解题思路 1.在其中一个平面找两条相交直线： 2.分别证明两条相交直线都平行于另一平面： 3. 向量法直接求两个平面法向量，证明共线即可。 【例题分析】 例1.(25-26高一下·陕西西安·期中)如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形DBPQ所在平面互相垂直， 平面PBA⊥平面ABCD,M是线段PQ上的一点，且DMI∥平面ACP.求证： B D (I)平面ADQ∥平面BCP; (2)M是线段PQ的中点. 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定复习讲义 例2.(25-26高一下·黑龙江期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，点E,F,G分别为棱A,D,A,B,DC的中点 D G C B C B (I)求证：平面AEF/1平面GBD; (2)记A,C∩平面GBD=P,A,C,∩平面GBD=Q,CC,∩平面GBD=R,求证：P,Q,R三点共线 例3.(25-26高一下·北京·期中)如图，在正方体ABCD-AB,C,D,中，E为DD的中点 D E D B (I)求证：BD//平面AEC; (2)取CC,中点F,求证：平面AEC/平面BFD (3)求异面直线AE与DB所成角的余弦值， 6 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定复习讲义 【变式训练】 变式1.(24-25高一下·陕西汉中期末)由正方体ABCD-A,B,C,D,截去三棱锥C,-B,CD,后得到的几何体如图所示， O为AC与BD的交点 A B :D B C (1)求证：AO/1平面B,CD; (2)求证：平面A,BD/平面B,CD 变式2.(25-26高一下·内蒙古赤峰阶段检测)如图，在边长为2的正方体ABCD-A'B'CD'中，M,N,E,F都 是正方体棱上的中点， D F C M E B B (I)求证平面AMN∥平面DBEF; (2)求三棱台CBD-C,EF的体积 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定复习讲义 变式3.(24-25高一下山西忻州期中)如图所示，正四棱锥S-ABCD中，SA=SB=SC=SD=2,AB=√2. S *E5Z- B (I)求正四棱锥S-ABCD的体积； (2)若P为侧棱SD上的点，且SP=3PD,Q是SD的中点，E是侧棱SC上的点，且SE=2EC,求证： 平面BEQ∥平面ACP. P期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定复习讲义 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定复习讲义 考点目录 线面平行的判定 面面平行的判定 考点一 线面平行的判定 【知识点解析】 一、判定定理（核心） 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 符号：，， 补充判定方法 1. 面面平行推线面平行： 1. 空间向量法：直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内。 二、解题思路 1. 找平面内平行线：中位线、平行四边形、比例线段； 1. 严格写清三条件：线在面外、线在面内、两线平行； 1. 向量做法：求，验证直线不在平面。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·安徽六安·期中）如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.    (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造平行四边形，将平移至，把异面直线所成角转化为，再用余弦定理计算余弦值； （2）通过在、上取点构造辅助线，证明平面平面，再由面面平行的性质得平面. 【详解】（1）    在线段上取点，使得 ，则四边形是平行四边形，故， 连接，故是异面直线所成角（或补角），，， 由勾股定理，. 由余弦定理得， 故异面直线所成角的余弦值是. （2）    若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面. 例2．（25-26高一下·河北邢台·期中）如图，在棱长为4的正方体中，点M，N分别在线段，上，且． (1)证明：平面． (2)记过且与平行的平面为，平面与直线交于点P，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作，交于点，作，交于点，再连接，通过说明四边形是平行四边形，即可求证； （2）过点作直线，设直线分别与，交于点，，说明平面即平面，进而可求解. 【详解】（1） 作，交于点，作，交于点，连接． 因为，所以．同理可得． 因为在正方体中，，，所以，所以．因为，所以． 因为，所以四边形是平行四边形，所以． 因为不在平面内，平面，所以平面． （2）过点作直线，设直线分别与，交于点，，连接，，，记． 因为，所以，，即，分别为，的中点． 因为，，所以四边形为平行四边形，， 所以，平面即平面，延长，与的交点即为点． 因为，所以，解得． 例3．（25-26高一下·陕西铜川·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）取中点为，连接 ，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【详解】（1）取中点为，连接 ， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2）连接 ，相交于，连接， 面，面面 面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·天津河东·阶段检测）在正四棱柱中，E为的中点.，． (1)求证：平面BDE； (2)求异面直线与DE所成角的余弦值. 【答案】(1)连接交于点F，连接， ∵正四棱柱，为AC中点， 又为的中点， ∴在中有， 而平面，平面，平面； (2) 【分析】（1）连接AC交BD于点F，连接EF，根据线面平行定理证明； （2）取中点G，连接，，确定异面直线与DE所成角即为直线与所成角，根据异面直线夹角公式求解. 【详解】（1）略 （2）取中点G，连接，， 是正四棱柱，，， ∴四边形为平行四边形，， ∴异面直线与DE所成角即为直线与所成角， ，，， ∴在中，， 所以异面直线与DE所成角的余弦值． 变式2．（25-26高一下·广东珠海·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可得证； （2）证明平面，利用线面平行的性质即可证明； （3）过作的平行线交于，求出，证明平面，再根据平面即可得到平面平面，即可得到平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， ∵四边形为正方形， ∴点为的中点，又为的中点， ， 平面PAC，平面， 平面. （2），平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， . （3）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下： 由，为中点得， 过作的平行线交于，连接，， 由于，则， ，平面，平面， 平面， 由（1）知平面， 又，平面， ∴平面平面， 又平面， 平面， 所以侧棱上存在一点，使得平面，且. 变式3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点. (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离. 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，再结合线面平行的判定定理即可得证. （2）利用等体积法，通过计算三棱锥的体积和底面积求解点到平面的距离. 【详解】（1）连接交于点，连接. 因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形， 所以为的中点. 又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故. 因为平面，平面，所以平面. （2）设点到平面的距离为. 因为为正三角形，为的中点，所以，且. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面，所以.因为，平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，. 所以的面积. 又的面积. 由可得，即， 解得.所以点到平面的距离为. 考点二 面面平行的判定 【知识点解析】 一、判定定理（核心） 一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行。 符号： 补充判定 1. 垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 1. 两平面法向量平行 面面平行。 二、解题思路 1. 在其中一个平面找两条相交直线； 1. 分别证明两条相交直线都平行于另一平面； 1. 向量法直接求两个平面法向量，证明共线即可。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)M是线段的中点． 【答案】(1)在正方形中，在平行四边形中， ∵平面，平面，且平面，平面， ∴平面，平面， 又∵平面，平面，且， ∴平面平面. (2)取与交点为，则，连接. ∴平面平面， ∵平面，且平面， ∴，在平行四边形中， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴M是线段的中点. 【分析】（1）由线线平行得到线面平行，从而证明面面平行； （2）由线面平行的性质得到线线平行，借助平行四边形的性质即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由正方体中点性质证、,再利用线面平行判定定理证、分别平行于平面,最后由面面平行判定定理证平面平面； （2）依据点与直线、平面的从属关系,推出都在平面与平面的交线上,从而证得三点共线. 【详解】（1）连接，又点分别为棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 连接，又点分别为棱的中点，所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以，即三点共线. 例3．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体 中，为的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． （3）如图，作，连接则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明. （2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可. 【详解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 变式2．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，在边长为2的正方体中，，，，都是正方体棱上的中点. (1)求证平面平面; (2)求三棱台的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，则，分别取、的中点、，连接，，，推导出四边形，四边形，四边形为平行四边形，从而，由此即可证明； （2）求出，，，根据棱台的体积公式，即可求出三棱台的体积. 【详解】（1）连接，则， 因为面， 所以面， 分别取、的中点、，连接，，， 在四边形中，且， 所以四边形为平行四边形， 同理可得四边形也是平行四边形， 又，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为面， 所以面， 因为， 所以平面平面. （2）由题可知，，，， 根据棱台的体积公式，可得三棱台的体积为： . 变式3．（24-25高一下·山西忻州·期中）如图所示，正四棱锥S-ABCD中，，．    (1)求正四棱锥S-ABCD的体积； (2)若P为侧棱SD上的点，且，Q是SD的中点，E是侧棱SC上的点，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求得正四棱锥S-ABCD的高，利用锥体的体积公式求解即可； （2）通过线面平行的判定定理及面面平行的判定定理即得. 【详解】（1）由题意，在正方形ABCD中，，所以． 在正四棱锥S-ABCD中，， 所以正四棱锥S-ABCD的高为， 所以正四棱锥S-ABCD的体积为； （2）由题意及（1）得， 连接BD交AC于点O，连接OP，如图所示， ∵，Q是SD的中点， ∴，， ∴点P是QD的中点， 由几何知识得，点O是BD的中点， 在△BDQ中，，， ∵，，∴， 在△SCP中，，又，， 所以， ∵，，， ∴．    2 学科网（北京）股份有限公司 $