精品解析：2026年宁夏回族自治区吴忠市第三中学中考前模拟数学试题

吴忠市第三中学2025—2026学年（下）九年级模拟考试（三） 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数，从容量的角度看，以下四盒牛奶容量最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】容量最接近标准容量，即与标准容量偏差的绝对值最小，计算各选项偏差的绝对值，比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， 又， ∴的偏差绝对值最小，容量最接近标准． 2. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形关键在于寻找对称轴，中心对称图形关键在于寻找对称中心，旋转后与自身重合． 【详解】解：A、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、应为x2•x3=x5，故本选项错误； C、（-x2）5+（-x5）2=-x10+x10=0，正确； D、应为（x3y2）3=x3×3•y2×3=x9y6，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键；要注意合并同类项时，不是同类项的一定不能合并． 4. 实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置可得，据此逐一判断式子符号即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D 【点睛】． 5. 下列说法正确的是（　　） A. 中位数就是一组数据中最中间的一个数 B. 10，9，10，12，11，12这组数据的众数是10 C. 如果x1，x2，x3，…，xn的平均数是a，那么（x1﹣a）+（x2﹣a）+…+（xn﹣a）=0 D. 如果x1，x2，x3，…，xn的方差是S2，那么x1﹣a，x2﹣a，x3﹣a，…xn﹣a方差是S2﹣a 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义、众数的定义、平均数的定义以及求方差公式逐项分析即可． 【详解】A选项：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，由此可知选项A表达不正确； B选项：10，9，10，12，11，12这组数据的众数是10和12，由此可知选项B表达不正确； C选项：如果x1，x2，x3，…，xn的平均数是a，那么（x1-a）+（x2-a）+…+（xn-a）=x1+x2+…+xn-na=0，由此可知选项C表达正确； D选项：如果x1，x2，x3，…，xn的方差是S2，那么x1-a，x2-a，x3-a，…xn-a方差仍旧是S2保持不变，由此可知选项D表达不正确， 故选C． 【点睛】考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 6. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑（xǔ）酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？下面是甲、乙两种解答方案，则（ ） 甲：设换了清酒斗，列方程为，…； 乙：设用斗谷子换清酒，列方程为，… A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设未知数，找等量关系列方程即可得到答案． 【详解】解：甲：设换了清酒斗，则醑酒斗， 列方程为； 乙：设用斗谷子换清酒，则用斗谷子换醑酒， 列方程为； 甲正确、乙错误， 故选：A． 【点睛】本题考查列方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系是解决问题的关键． 7. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的性质.先证明，可得，再结合三角形的中位线的性质可得答案. 【详解】解：在中，，，， ． 平分， ， ， ， ． 是的中点，是的中点， ． 故选：D． 8. 甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从甲车出发到返回与乙车相遇为止，两车之间的距离y（）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 乙车速度是 B. 函数图象中b的值是4 C. 甲车出发最终与乙车相遇 D. A，B两地的距离是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据函数图象解决行程问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据函数图象获得准确信息，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A.乙车先行1小时的路程是60千米，因此乙车的速度为60千米/小时，故选项A错误，不合题意； B.甲车出发小时就追上乙，因此速度差为千米/小时， 故甲车的速度为千米/小时， 甲车追上乙车后到两车距离为80千米需要时间为（小时）， 甲车行全程需要（小时）， ∴，故B选项错误，不符合题意； D.全程为千米，故选项D正确，符合题意； C.此时乙车出发（小时）， 甲车休息小时准备返回时乙车行（小时）， 此时乙车距B地（千米）， 返回时相遇时间为小时， 此时甲车行驶的时间为（h），故选项C错误，不合题意． 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先根据负整数指数幂的法则化简，再代入特殊角的三角函数值，最后利用实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 生活中的很多变化都是物理变化或化学变化．下面的五张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．从中随机抽取两张卡片，卡片内容均为化学变化的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．列表可得出所有等可能的结果数以及抽取两张卡片均属于化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：五张卡片分别为：A．铁钉生锈、B．滴水成冰、C．矿石粉碎、D．牛奶变质、E．火柴燃烧，其中，A、D、E为化学变化，列表如下： A B C D E A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E） B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E） C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E） E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） 共有20种等可能的结果，从中抽取两张卡片均属于化学变化的结果有6种， ∴从中抽取两张卡片均属于化学变化的概率为． 11. 如图，边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在内，长方形的两个顶点分别落在边，上，设点C，D为长方形的格点，连接，恰好经过格点D，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的性质，先求解，证明，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∵边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在内，点C，D为长方形的格点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知，，则多项式的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解和代数式求值．将多项式分解为含有，的式子，再将，代入整理后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：． 13. 若关于的分式方程有增根，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用分式方程的根的情况求参数，正确掌握分式方程的解法及增根的意义是解题的关键．先将分式方程去分母化为整式方程求出解，再根据分式方程有增根得，即可求出答案． 【详解】解：将方程去分母，得 解得： ∵方程有增根， ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 14. 图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一道由三视图求几何体的表面积，解决本题的关键是抓住圆锥中的相等关系解决问题．由已知三视图中标识的数据，我们易判断圆锥的底面直径为，高为，利用勾股定理求得母线长为，代入圆锥表面积公式，即可求出答案． 【详解】解：由三视图可知该几何体为圆锥，底面直径为，高为， 由勾股定理可知，母线， 则该几何体的表面积， 故答案为：． 15. 太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是的中点，．当太阳光与地面的夹角为，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为______；（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意算出，再结合线段的中点得，运用直角三角形的两个锐角互余得，然后根据，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∴太阳光与地面的夹角为，太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高 ∴， ∵点C是的中点，， ∴ 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 含角的菱形，，，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点 …，和点，…，分别在直线和轴上．已知，则点的坐标是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据所给图形，依次求出点，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点， ∵含角的菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 同理可得出：，则， 则点的坐标是：， ∴点的坐标是：． 故答案为：． 三、解答题（共10道小题，其中17-22题每题6分，23-24题每题8分，25-26题每题10分，共72分） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组：分别求出每个不等式的解集，然后取它们的公共部分即可． 【详解】解：解第一个不等式： 去括号得： 移项得： 合并得： 解得：； 解第二个不等式： 两边同乘6得： 去括号得： 移项得： 合并得：； ∴不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______（填序号）． ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2） ，， 甲同学的解法： 原式 ， 当时，原式； 乙同学的解法： 原式 ， 当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键． （1）根据两名同学的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先把小括号内的式子的分子去括号，然后合并同类项化简，再约分化简，最后代值计算即可；乙同学的解法：先计算分式乘法，再去括号后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【小问1详解】 解：观察解题过程可知，甲同学的解法是先把括号内的式子通分，即利用分式的基本性质求解， 乙同学所利用乘法分配律去括号， 故答案为：②；③； 【小问2详解】 略 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点．请仅用无刻度的直尺完成以下作图． （1）在图1中画出使，且的周长是的周长的3倍． （2）在图2网格中寻找点，使得． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别延长，，使得，连接，则，根据相似三角形的性质可得的周长是的周长的3倍． （2）作的垂直平分线交于格点，连接，则是的外心，根据圆周角定理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为庆祝中国共产主义青年团成立102周年，学校团委在七、八两个年级各抽取20名学生开展团知识竞赛．为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分100分，对竞赛成绩（数据分成5组：，其中85分及以上为优秀）进行整理、描述、分析、统计如下： A.七年级抽取学生成绩的频数分布直方图 B.七年级学生在这一组的成绩数据：． C．八年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下： 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 87 86 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）七年级学生甲与八年级学生乙的测试成绩均为87分，这两人在各自年级抽取的学生中成绩排名更靠前的是_______．（填“甲”或“乙”） （2）你认为哪个年级的学生对团知识的掌握较好？请说明理由．（从两个不同的角度说明） （3）该校七年级共有600名学生，若学校决定给测试成绩靠前的270名七年级学生颁发徽章，预估七年级学生分数至少达到_______分才可以获得徽章． 【答案】（1）甲 （2）八年级学生对团知识掌握的总体水平较好 理由：∵七年级的优秀率为， ∴八年级测试成绩的中位数和优秀率均高于七年级测试成绩的中位数和优秀率，故八年级学生对团知识掌握的总体水平较好； （3）86 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、中位数、用样本估计总体，理解题意以及统计量的意义是解答的关键． （1）求出七年级测试成绩的中位数，再根据七、八年级的中位数的意义求解即可； （2）可求得七年级的优秀率，通过中位数和优秀率的比较可得结论； （3）求得七年级抽取的20名同学中入选的人数，即可预估出入选的分数． 【小问1详解】 解：七年级共抽取20名学生，将测试成绩从小到大排列，第10、11个数据都是85， ∴七年级测试成绩的中位数为（分）， ∵八年级测试成绩的中位数为88分， ∴七年级学生甲的测试成绩87分，高于七年级测试成绩的中位数，而八年级学生乙的测试成绩为87分，低于八年级测试成绩的中位数， 故这两人在各自年级学生中成绩排名更靠前的是甲， 故答案为：甲； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，（名）， 则在七年级抽取20名学生中，必须有9人入选， ∴预估七年级分数至少达到86分的学生才可以入选， 故答案为：86． 21. 端午节是我国的传统节日，粽子是必不可少的美食．某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子进行销售，据了解，用6000元购买种粽子的数量比购买种粽子的数量少60袋，已知每袋种粽子的单价比种粽子单价多． （1）求每袋、两种粽子的单价各多少元； （2）该超市购进这两种粽子共500袋，其中种粽子的数量不超过种粽子数量的3倍，购进的种粽子每袋以30元价格出售，种粽子每袋以23元的价格出售，若这批粽子全部售出，则怎样进货可使获得的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）每袋种粽子的单价是25元，每袋种粽子的单价是20元 （2）购进种粽子375袋，购进种粽子125袋，获得的利润最大，最大利润是2250元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，根据等量关系或不等关系列出方程、函数式或不等式是解题的关键． （1）设每袋种粽子的单价是元，则每袋种粽子的单价是元，即元；根据等量关系：用6000元购买种粽子的数量比购买种粽子的数量少60袋，列出分式方程求解即可； （2）设购进种粽子袋，购进种粽子袋．由种粽子的数量不超过种粽子数量的3倍，列出不等式可确定a的范围；设利润为元，由题意列出关于a的一次函数式，由一次函数的性质即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：设每袋种粽子的单价是元，则每袋种粽子的单价是元，即元． 根据题意，得：． 解得：，经检验，是原方程的解． ． 答：每袋种粽子的单价是25元，每袋种粽子的单价是20元． 【小问2详解】 解：设购进种粽子袋，购进种粽子袋． ， ． 设利润为元，由题意得：． ， 随的增大而增大． 当时，最大值为2250，此时． 答：购进种粽子375袋，购进种粽子125袋，获得的利润最大，最大利润是2250元． 22. 已知，如图，在中，，是边的中线，过点A作，过点B作，两线交于点E，连接交于点O． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）由，得四边形是平行四边形，再由等腰三角形性质得，则，据此即可得出结论； （2）由矩形性质得，进而得，再由是边的中线，且得，然后在中，由勾股定理求得的长． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，是边的中线， ， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）可知：四边形是矩形， ， ， ， ， 是边的中线，且， ， 在中，， 由勾股定理得：． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数图象交于点和，与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，请直接写出使的x取值范围； （3）M是y轴上的一个动点，作MN⊥y轴，交反比例函数图象于点N，当由点O，C，M，N构成的四边形面积为时，直接写出点N的坐标． 【答案】（1）， （2）的x取值范围为：或． （3）的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）把代入可得反比例函数解析式，再求解的坐标，再由的坐标求解一次函数的解析式即可； （2）根据函数图象可得一次函数的图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，从而可得答案； （3）令，则，求解，再分两种情况讨论，如图，当在轴的正半轴上时，设，当在轴的负半轴上时，设，再利用面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入可得： ， ∴反比例函数为：， 把代入可得：， ∴， 把，代入可得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵，，结合图象可得：的x取值范围为： 或． 【小问3详解】 ∵一次函数的解析式为：， 令，则，即， 如图，当在轴的正半轴上时，设， ∵轴， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∴， 当在轴的负半轴上时，设，如图，设， ∵轴， ∴， ∴， 解得，经检验符合题意； ∴． 综上：的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例与一次函数的解析式，利用图象法解不等式，坐标与图形面积，清晰的分类讨论是解本题的关键． 24. 如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）求证：EF为半圆O的切线； （2）若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π） 【答案】 （1）证明：连接OD， ∵D为弧BC的中点， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°， ∴OD⊥EF， ∴EF为半圆O的切线； （2）﹣6π 【解析】 【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案； （2）直接利用条件得出S△ACD＝S△COD，再利用S阴影＝S△AED﹣S扇形COD求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接OC与CD， ∵DA＝DF， ∴∠BAD＝∠F， ∴∠BAD＝∠F＝∠CAD， 又∵∠BAD+∠CAD+∠F＝90°， ∴∠F＝30°，∠BAC＝60°， ∵OC＝OA， ∴△AOC为等边三角形， ∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°， ∵OD⊥EF，∠F＝30°， ∴∠DOF＝60°， 在Rt△ODF中，DF＝6， ∴OD＝DF•tan30°＝6， 在Rt△AED中，DA＝6，∠CAD＝30°， ∴DE＝DA•sin30°＝3，EA＝DA•cos30°＝9， ∵∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝60°， 由CO＝DO， ∴△COD是等边三角形， ∴∠OCD＝60°， ∴∠DCO＝∠AOC＝60°， ∴CD∥AB， 故S△ACD＝S△COD， ∴S阴影＝S△AED﹣S扇形COD＝＝． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S△ACD＝S△COD是解题关键． 25. 定义：若两条抛物线关于直线成轴对称，我们称其中一条抛物线是另一条抛物线关于直线的衍生抛物线．如图，抛物线与抛物线互为关于直线的衍生抛物线，以这两条抛物线的顶点和交点为顶点的叫伴随三角形． （1）直接写出抛物线关于直线的衍生抛物线的解析式：______． （2）若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的交点在直线上，求伴随三角形的面积； （3）若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的伴随三角形是直角三角形，求的值． 【答案】（1） （2）27 （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据衍生抛物线的定义解答即可； 对于（2），先设点P的坐标为，再将点的坐标代入二次函数关系式，求出a，即可得出衍生抛物线的关系式，然后根据顶点坐标和交点坐标得出答案； 对于（3），先表示出衍生抛物线的关系式，即可得出顶点坐标，再根据，结合直角三角形的三边关系得出方程，再求出解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是 ∴衍生抛物线的对称轴是， ∴衍生抛物线的关系式为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：设点，根据题意，得 ， 解得. ∵， ∴． ∴抛物线关于的衍生抛物线的关系式为． 当时，，则交点坐标为． ∵两个抛物线的顶点坐标为， ∴伴随三角形的面积； 【小问3详解】 解：由（2），知， 抛物线关于的衍生抛物线的关系式为． 当时，，交点坐标为． ∴顶点坐标为． ∵伴随三角形是直角三角形，以下图为例，只能以交点P为直角顶点， ∴当时，是直角三角形， ∴， 即， 解得或（舍去）． 所以． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数与几何图形，直角三角形的性质，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 26. 【问题情景】 （1）如图1，正方形中，点E是线段上一点（不与B，C点重合），连接.将绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数． 以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路： 小聪：过点作的延长线的垂线；小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【类比探究】 （2）如图2，点E是菱形边上一点（不与B，C点重合），，将绕点E顺时针旋转得到，使得，（）． ①求的度数（用含的代数式表示）； 【学以致用】 ②如图3，连接AF与CD相交于点G，当时，若，，则BE的长为_____． 【答案】（1）选小明的思路：如图，在上截取，使得． ，， 由图可知，， ． 顺时针旋转得到， ． ，， ． 在和中， ， ， ， ； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）在上截取，使得．证明，得出，则可得出结论； （2）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求解； （3）过点作交的延长线于点，证明，得出，在上截取，使，连接，作于点．由（2）可知，，求出和，则可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）①如图，在上截取，使得，连接， 四边形是菱形，， ，， ， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②过点作交的延长线于点， ，， 菱形的边长为3． ， ， ，， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在上截取，使，连接，作于点． 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市第三中学2025—2026学年（下）九年级模拟考试（三） 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数，从容量的角度看，以下四盒牛奶容量最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 中位数就是一组数据中最中间的一个数 B. 10，9，10，12，11，12这组数据的众数是10 C. 如果x1，x2，x3，…，xn的平均数是a，那么（x1﹣a）+（x2﹣a）+…+（xn﹣a）=0 D. 如果x1，x2，x3，…，xn的方差是S2，那么x1﹣a，x2﹣a，x3﹣a，…xn﹣a方差是S2﹣a 6. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑（xǔ）酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？下面是甲、乙两种解答方案，则（ ） 甲：设换了清酒斗，列方程为，…； 乙：设用斗谷子换清酒，列方程为，… A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 7. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从甲车出发到返回与乙车相遇为止，两车之间的距离y（）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 乙车速度是 B. 函数图象中b的值是4 C. 甲车出发最终与乙车相遇 D. A，B两地的距离是 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：___________． 10. 生活中的很多变化都是物理变化或化学变化．下面的五张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．从中随机抽取两张卡片，卡片内容均为化学变化的概率为_________． 11. 如图，边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在内，长方形的两个顶点分别落在边，上，设点C，D为长方形的格点，连接，恰好经过格点D，则的长为______． 12. 已知，，则多项式的值为______ 13. 若关于的分式方程有增根，则的值是____________． 14. 图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为__________．（结果保留） 15. 太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是的中点，．当太阳光与地面的夹角为，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为______；（结果精确到；参考数据：，，） 16. 含角的菱形，，，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点 …，和点，…，分别在直线和轴上．已知，则点的坐标是________ 三、解答题（共10道小题，其中17-22题每题6分，23-24题每题8分，25-26题每题10分，共72分） 17. 解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______（填序号）． ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点．请仅用无刻度的直尺完成以下作图． （1）在图1中画出使，且的周长是的周长的3倍． （2）在图2网格中寻找点，使得． 20. 为庆祝中国共产主义青年团成立102周年，学校团委在七、八两个年级各抽取20名学生开展团知识竞赛．为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分100分，对竞赛成绩（数据分成5组：，其中85分及以上为优秀）进行整理、描述、分析、统计如下： A.七年级抽取学生成绩的频数分布直方图 B.七年级学生在这一组的成绩数据：． C．八年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下： 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 87 86 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）七年级学生甲与八年级学生乙的测试成绩均为87分，这两人在各自年级抽取的学生中成绩排名更靠前的是_______．（填“甲”或“乙”） （2）你认为哪个年级的学生对团知识的掌握较好？请说明理由．（从两个不同的角度说明） （3）该校七年级共有600名学生，若学校决定给测试成绩靠前的270名七年级学生颁发徽章，预估七年级学生分数至少达到_______分才可以获得徽章． 21. 端午节是我国的传统节日，粽子是必不可少的美食．某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子进行销售，据了解，用6000元购买种粽子的数量比购买种粽子的数量少60袋，已知每袋种粽子的单价比种粽子单价多． （1）求每袋、两种粽子的单价各多少元； （2）该超市购进这两种粽子共500袋，其中种粽子的数量不超过种粽子数量的3倍，购进的种粽子每袋以30元价格出售，种粽子每袋以23元的价格出售，若这批粽子全部售出，则怎样进货可使获得的利润最大，最大利润是多少元． 22. 已知，如图，在中，，是边的中线，过点A作，过点B作，两线交于点E，连接交于点O． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数图象交于点和，与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，请直接写出使的x取值范围； （3）M是y轴上的一个动点，作MN⊥y轴，交反比例函数图象于点N，当由点O，C，M，N构成的四边形面积为时，直接写出点N的坐标． 24. 如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）求证：EF为半圆O的切线； （2）若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π） 25. 定义：若两条抛物线关于直线成轴对称，我们称其中一条抛物线是另一条抛物线关于直线的衍生抛物线．如图，抛物线与抛物线互为关于直线的衍生抛物线，以这两条抛物线的顶点和交点为顶点的叫伴随三角形． （1）直接写出抛物线关于直线的衍生抛物线的解析式：______． （2）若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的交点在直线上，求伴随三角形的面积； （3）若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的伴随三角形是直角三角形，求的值． 26. 【问题情景】 （1）如图1，正方形中，点E是线段上一点（不与B，C点重合），连接.将绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数． 以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路： 小聪：过点作的延长线的垂线；小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【类比探究】 （2）如图2，点E是菱形边上一点（不与B，C点重合），，将绕点E顺时针旋转得到，使得，（）． ①求的度数（用含的代数式表示）； 【学以致用】 ②如图3，连接AF与CD相交于点G，当时，若，，则BE的长为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $