第一章 课时1 集合及其运算 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕集合及其运算专题，覆盖集合含义、关系、运算及新定义问题等核心考点，按概念-关系-运算-应用的逻辑梳理知识体系，通过知识梳理、考点扫描（含真题例析与对点训练）、规律方法总结等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破元素互异性、空集讨论等难点。 资料以新课标核心素养为导向，采用真题情境教学法，如结合2025新高考Ⅰ卷真题培养数学眼光，通过集合关系中含参数问题的分类讨论发展数学思维，用Venn图表示集合运算强化数学语言表达。设置基础回顾、考点分层训练及即时反馈，确保学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

课时1 集合及其运算 一、课标要求 1．了解集合的含义，了解全集与空集的含义. 2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 3．会求两个集合的并集、交集与补集. 4．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 二、知识梳理 1．集合的有关概念 概念 含义 集合 一般地，一定范围内某些 对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的 ，简称 集合元素的特征 确定性、 、无序性 元素与集合的关系 属于或 的关系，用符号“ ”或“ ”表示 集合的表示方法 列举法、 、Venn图 常见集合的记法 自然数集 ,正整数集 ,整数集 ,有理数集Q,实数集R 集合的分类 按集合元素个数划分，集合分为 、 、 2．两个集合的基本关系 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A的 都是集合B的元素 xAxB AB或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有 个元素不属于A AB，且B，x0A 或 相等 集合A，B的元素完全 AB， BAA=B 空集 任何元素的集合，空集是任何集合的 x，x，A 3．集合的基本运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 由所有属于集合A 属于集合B的元素构成的集合 {x|xA， xB} 并集 由所有属于集合A 属于集合B的元素构成的集合 {x|xA， xB} 补集 全集U中 集合A中的元素构成的集合 {x|x∈U，且x A} 【拓展知识】 1．集合的主要性质 交集的性质：． 并集的性质：． 补集的性质： ， ， . 2. 重要结论 (1)A∩B=A ；AB=A ；A∩B=AB ． (2) = ；= ． (3)对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 、 、 、 . (4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，解答含参数问题时要特别注意对空集的讨论． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1. ( ) (2)任何一个集合都至少有两个子集. ( ) (3)集合. ( ) (4)对于任意两个集合A,B，都有. ( ) 2．设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝(　 　) A.{1，3} B.{3，5} C.{5，7} D.{1，7} 3．设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝(　 　) A.{x|－1<x<3} B.{x|－1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 4．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}.若AB，则a＝ ． 四、考点扫描 考点一 集合的含义及表示 例1 (1) (2025·新高考Ⅰ卷)设全集，集合，则∁UA中元素个数为(   ) A.0 B.3 C.5 D.8 (2) 已知集合M={1，a+3，a2+2}，且6∈M，则实数a的值为　　　　.  对点训练 (1) (多选题)下列各组中，M，P表示不同集合的有(　　) A.M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)} C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R} D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R} (2)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是(　 　) A.1∈A B.{－1}⊆A C.∅⊆A D.{－1,1}∉A 规律方法： 考点二 集合之间的基本关系 例2 (1)(2025·山东泰安市期末)已知集合M＝，N＝，则(　 　) A.M⊆N B.N⊆M C.M＝N D.M∩N＝∅ (2)(2025·安徽安庆市二模)设集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|－a≤x≤a}.若A⊆B，则实数a的取值范围是_ __． 对点训练 (1)(多选题)已知集合M＝{x|x2－3x＋2≤0}，N＝{x|x>－1}，则有(　 　) A.NM B.MN C.M∩N≠ D.M∪(∁RN)＝R (2)(2025·山东烟台市模拟)已知集合M＝{x|x＋1≥0}，N＝{x|2x＜1}，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合{x|－1≤x＜0}的为(　　) 　　　A 　 　　 　B 　 　　 　　C 　　 　　D 规律方法： 考点三 集合的基本运算 考向1 求集合运算结果 例3 (1)(2025春·上海高考)已知集合，，则=　 　． (2)(2025·天津高考)已知全集，2，3，4，，集合，，，3，，则∁U(AB)=( ) A.，2，3， B.，3， C.， D. 对点训练 (1)(2025·山东聊城市期末)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A∪B)＝(　　) A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z} C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.∅ (2)(2025·安徽蚌埠市二模)已知集合，则( ) A. B. C. D. (3)(2025·河南省级联测)已知全集U＝{x∈N*|x≤8}，集合A＝{2,3,4}，B＝{3,5,7}，则{1,6,8}=(　 　) A. A∪(∁UB) B. ∁U(A∩B) C. (∁UA)∪(∁UB) D. (∁UA)∩(∁UB) 考向2 根据集合运算结果求参数 例4 (1) 已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}.若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　) A. (－∞，1] B. (－∞，2] C. [1，＋∞) D. [2，＋∞) 　 (2)(2025·山东泰安市期末)已知全集为R，集合A={x|2<x<6}，B={x|a-4≤x≤a+4}，且A⊆∁RB，则实数a的取值范围是　　　　　.  对点训练 (1) 已知集合A={x}，B={x}.若A∪B=A，则实数m的取值范围是(　　) A.[3，+∞) B.[2，3] C.(-∞，3] D.[2，+∞) (2) (2024·九省联考)已知集合A＝{－2,0,2,4}，B＝{x||x－3|≤m}.若A∩B＝A，则实数m的最小值为 ． 考点四 集合的新定义问题 例5 (1) 设集合，集合.定义：，则中元素的个数是(     ) A.2 B.5 C.7 D.10 (2) 已知非空集合A1，A2是集合A的子集，若同时满足两个条件：①若a∈A1，则a∉A2；②若a∈A2，则a∉A1.则称(A1，A2)是集合A的“互斥子集”，并规定(A1，A2)与(A2，A1)为不同的“互斥子集组”．则集合A＝{1,2,3,4}的不同“互斥子集组”的个数是(　 ) A.11 B.28 C.32 D.50 对点训练 (多选题)非空集合A具有如下性质： ① 若x，y∈A，则∈A； ② 若x，y∈A，则x＋y∈A. 下列判断正确的有(　　) A. －1∉A B. ∈A C. 若x，y∈A，则xy∈A D. 若x，y∈A，则x－y∈A 课时1 集合及其运算参考答案 二、知识梳理 1.确定的、不同的 元素 元 互异性 不属于 描述法 N Z 有限集 无限集 空集 2.任意一个元素 一 相同 A=B 不含 子集 3.且 且 或者 或 不属于 【拓展知识】 1. 2.（1）AB A=B （2） （3）2n 2n－1 2n－1 2n－2 三、基础回顾 （1）× 【解析】x＝1时，集合中两个元素相同，矛盾. （2）× 【解析】空集是一个特殊的集合. （3）× 【解析】前两个是数集，分别表示R和，第三个是点集. （4）√ 【解析】,. 2．B 【解析】由题知，A∩B＝{3，5}．故选B. 3．A 【解析】A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}．故选A. 4．1 【解析】依题意，a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2， 此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意； 当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意. 四、考点扫描 例1 （1）C 【解析】根据题意，，4，6，7，，所以的元素个数为5．故选C． （2）2或3 【解析】　由M={1，a+3，a2+2}，且6∈M， 得a+3=6或a2+2=6，解得a=3或a=±2. 当a=3时，M={1，6，11}，符合题意； 当a=2时，M={1，5，6}，符合题意； 当a=－2时，M={1，1，6}，不符合元素的互异性，舍去. 所以a的值为2或3. 对点训练（1）ABD 【解析】　对于选项A，M＝{3，－1}是数集，P＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P； 对于选项B，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P； 对于选项C，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，故M＝P； 对于选项D，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P.故选ABD. （2）D 【解析】因为A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，所以A，B，C正确，D错误.故选D. 例2 (1) A 【解析】　M＝＝，N＝＝.因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，k＋2，k∈Z表示所有的整数，所以M⊆N．故选A. （2）[3，＋∞)【解析】　集合A＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|(x－3)·(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜3}，又B＝{x|－a≤x≤a}，且A⊆B，可得即解得a∈[3，＋∞)． 对点训练（1） BC 【解析】 由x2－3x＋2≤0，解不等式得1≤x≤2，所以M＝{x|1≤x≤2}，又因为N＝{x|x>－1}，所以MN，故A错误，B正确；对于选项C，M∩N＝{x|1≤x≤2}≠，故C正确；对于选项D，因为∁RN＝{x|x≤－1}，所以M∪(∁RN)＝(－∞，－1]∪[1，2]≠R，故D错误．故选BC. （2）A　 【解析】 因为M＝{x|x＋1≥0}＝[－1，＋∞)，N＝{x|2x＜1}＝(－∞，0)，所以M∩N＝{x|－1≤x＜0}.由Venn图知，A符合要求．故选A. 例3(1) ， 【解析】由集合，，0，1，， 则，0，1，，． （2）D 【解析】因为，，，3，，所以，2，3，. 因为，2，3，4，，．故选D． 对点训练 (1) A 【解析】 因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}， U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. （2）D 【解析】因为，所以.故选D. （3）D【解析】　因为U＝{x∈N*|x≤8}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以画出Venn图如图所示．由图可知{1,6,8}＝∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．故选D. 例4 (1) B 【解析】因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝， 则a－1≤1，解得a≤2.故选B. (2) {a|a≤－2或a≥10} 【解析】　由题可知B≠∅，∁RB={x|x<a－4或x>a+4}. 因为A⊆∁RB，所以6≤a－4或2≥a+4， 解得a≥10或a≤－2， 所以实数a的取值范围是{a|a≤－2或a≥10}. 对点训练（1）　C 【解析】　由题意，集合A={x|x2－3x－10≤0}={x|－2≤x≤5}， 因为A∪B=A，所以B⊆A. ① 若B=∅，则m+1>2m－1，即m<2； ② 若B≠∅，则解得2≤m≤3.综上所述，m≤3.故选C. （2）5 【解析】 由A∩B＝A，知A⊆B．由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有解得即m≥5，故m的最小值为5． 例5 (1) D 【解析】因为，，所以，. 又，则有2种情况，有5种情况，则中的元素有（个）.故选D. （2） D 【解析】 ① 若A1，A2中各含一个元素，则“互斥子集组”有C×2＝12(个)；② 若A1，A2中一个含一个元素、一个含两个元素，则“互斥子集组”有C×C×2＝24(个)；③ 若A1，A2中一个含一个元素、一个含三个元素，则“互斥子集组”有C×2＝8(个)；④ 若A1，A2中各含两个元素时，则“互斥子集组”有C＝6(个)．综上，共有“互斥子集组”12+24+8+6=50(个)．故选D. 对点训练 ABC 【解析】 假设－1∈A，令x＝y＝－1，则＝1∈A，x＋y＝－2∈A，令x＝－1，y＝1，则＝－1∈A，x＋y＝0∈A，令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，所以－1A，故A正确； 由题，1∈A，则1＋1＝2∈A，2＋1＝3∈A，…，2 024∈A，2 025∈A，所以∈A，故B正确； 因为1∈A，x∈A，所以 ∈A.因为 y∈A，∈A，所以 ＝xy∈A，故C正确； 因为1∈A，2∈A，若x＝1，y＝2，则x－y＝－1∈A，故D错误．故选ABC. . 学科网（北京）股份有限公司 $