复习专题5 概率（8类必考点）讲义-2026年高一升高二暑期数学人教A版必修第二册

复习专题5 概率 【思维导图】 【考点分类】 【知识梳理】 10.1 随机事件与概率 【知识点1 有限样本空间与事件】 1． 有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们 将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 3．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或 A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生. 4．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举， 即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以 便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 5．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【知识点2 古典概型与概率的基本性质】 1．古典概型 (1)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (2)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同， 有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 4．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=P（A）， P(A)=P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）. 10.2 事件的相互独立性 【知识点1 事件的相互独立性】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，···，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 10.3 频率与概率 【知识点1 频率的稳定性】 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判 员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天 气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 【考点1：频率与概率】 1．（25-26高二下·海南·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁·三模）某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）抛掷一枚硬币，“正面向上”的概率为0.5，这是否意味着： “抛掷2次，一次正面向上”？ “抛掷50次，25次正面向上”？ 4．（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 5．（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 【考点2：生活中的概率问题】 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）气象局预报，今天武汉的降雨概率是80%，长沙的降雨概率是20%，下列说法正确的是（    ） A．武汉今天一定降雨，而长沙一定不降雨 B．武汉今天可能降雨，而长沙可能没有降雨 C．武汉和长沙都会降雨 D．长沙降雨的可能性比武汉大 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）（多选）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大 B．射击运动员击中靶的概率是0.9，说明他中靶的可能性很大 C．某彩票中奖的概率是2%，买100张一定有2张中奖 D．某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选）有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是（   ） A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性 B．猜“是4的整数倍的数”乙获胜的希望较大 C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大 D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性 4．（2026·西藏拉萨·二模）（多选）中国非遗文化传承成效显著，某文化部门随机抽取国内100个非遗传承工作室的年度投入进行统计，已知以下数据： ①抽样中，投入高于5000万元的工作室占30%，投入低于2000万元的占25%； ②投入万元的工作室中，专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为； ③投入高于5000万元的工作室中，有40%专注于传统技艺传承，剩下的专注于非遗文创开发． 下列说法正确的是（   ） A．抽样中，投入万元的工作室有55个 B．抽样中，专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有18个 C．抽样中，专注于非遗文创开发的工作室数量不超过40个 D．若从抽样工作室中随机抽取1个，抽到投入高于5000万元且专注于传统技艺传承的概率为0.12 5．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球． 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色 取出的球是黑球 取出的两个球同色 →甲胜 →甲胜 →甲胜 取出的两个球不同色 取出的球是白球 取出的两个球不同色 →乙胜 →乙胜 →乙胜 问其中公平的游戏是（   ） A．游戏1 B．游戏1和游戏3 C．游戏2 D．游戏3 【考点3：事件的关系与运算】 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）（多选）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西·二模）设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二·全国·暑假作业）生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，事件表示的含义是________． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点；出现的点数不大于1；出现的点数小于；出现奇数点；出现偶数点.请根据这些事件，判断下列事件的关系：（1）____________；（2）____________；（3）____________；（4）____________. 【考点4：概率的基本性质】 1．（25-26高一下·吉林长春·期中）设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与互斥，则 2．（2026·浙江台州·二模）设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·模拟预测）（多选）已知事件，，的概率均不为0，则下列说法正确的是（　　） A．若事件，则 B． C．若，则 D．若事件与相互独立，则 5．（25-26高一下·北京·期末）已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【考点5：互斥事件】 1．（25-26高一下·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 2．（2026高二下·浙江温州·学业考试）若事件与事件互斥，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 5．（25-26高二·全国·暑假作业）为维护世界经济秩序，我国在某论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年内（含3年）达到要求，则包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求的概率为_________． 【考点6：对立事件】 1．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（     ） A．小明只有一场比赛获奖 B．小明两场比赛均获奖 C．小明至多一场比赛获奖 D．小明两场比赛均未获奖 2．（浙江衢州市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，事件为“向上的点数为偶数”，则事件与事件（      ） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 3．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·期末）相互独立事件，满足，，则________． 5．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出的概率是______. 【考点7：古典概型】 1．（25-26高一下·河南周口·期末）周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． 2．（浙江衢州市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）某商场为吸引顾客，开展抽奖送代金券活动，规则如下：，两个箱子中均有若干个小球（除颜色外均相同），其中箱中有2个白球和个黑球，箱中有1个白球和个黑球．顾客每轮抽奖，需从，两个箱子中分别取一个球，按先后的顺序进行，取球结束后将球放回原箱子，且每次取球相互独立．若箱中取出白球，则送面值2元的代金券，否则无奖励；若箱中取出白球，则送面值3元的代金券，否则无奖励．（每位顾客每日至多参与两轮抽奖；代金券可用于商场停车缴费或参与下次消费，可叠加使用） (1)顾客甲参与一轮取球，求甲在箱中取出白球的概率；（用表示） (2)已知参与一轮取球后获得5元代金券的概率为，只获得一张代金券且为2元代金券的概率为． （ⅰ）求，； （ⅱ）若顾客乙参与两轮抽奖，现需用这两轮抽奖获得的代金券支付8元停车费，求乙可足额支付停车费的概率． 3．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 4．（24-25高一下·重庆·期末）学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值． (2)估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 5．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求． (2)当时，求的表达式． (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． 【考点8：事件的相互独立性】 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 2．（2026高三·全国·专题练习）某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）（多选）甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（     ） A．至少有一枪命中目标的概率为 B．恰好有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 4．（25-26高三·全国·一轮复习）某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 5．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【达标检测】 一、单选题 1．（25-26高二上·四川成都·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和概率最大时，其和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）从一批产品中取出三件产品，设三件产品全不是次品，三件产品全是次品，三件产品不全是次品，则下列结论正确的个数是（    ） ①与B互斥；②与C互斥；③与C互斥；④ 与B对立；⑤与C对立． A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·随堂练习）从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为1，2）的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个随机事件是（    ），并说明理由． A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球 C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球 4．（2026·辽宁·模拟预测）甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575 5．（24-25高一下·山西长治·期末）已知事件，互斥，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 6．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时，事件与事件不独立 C．当时， D．当时，事件与事件不独立 二、多选题 7．（24-25高二上·云南保山·期末）已知事件发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若事件互斥，则 B．若，则 C．若，则事件相互独立 D．若事件相互独立，则事件至少有一个发生的概率为 8．（24-25高二下·四川泸州·期中）某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（   ） A．第一组的频率为0.1 B．该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7 D．在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4 三、填空题 9．（25-26高三上·北京通州·期末）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为______；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为______. 10．（25-26高二下·天津·阶段检测）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为__________. 四、解答题 11．（25-26高二上·湖北·期中）一个袋子中有标号分别为、、、的个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次 (1)求摸出两球标号互质的概率； (2)设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，判断事件与事件是否相互独立. 12．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 复习专题5 概率 【思维导图】 【考点分类】 【知识梳理】 10.1 随机事件与概率 【知识点1 有限样本空间与事件】 1． 有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们 将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 3．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或 A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生. 4．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举， 即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以 便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 5．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【知识点2 古典概型与概率的基本性质】 1．古典概型 (1)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (2)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同， 有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 4．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=P（A）， P(A)=P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）. 10.2 事件的相互独立性 【知识点1 事件的相互独立性】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，···，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 10.3 频率与概率 【知识点1 频率的稳定性】 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判 员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天 气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 【考点1：频率与概率】 1．（25-26高二下·海南·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用概率的性质求解即可. 【详解】由概率的性质得无论试验多少次，概率始终不变， 故第2027次出现正面朝上的概率是，故C正确. 2．（2026·辽宁·三模）某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6 【答案】C 【详解】从频率分布条形图中可得：阅读课外书为4本的频率是， 阅读课外书为5本的频率是. 每月阅读课外书数量不少于4本，包含阅读4本和阅读5本两种情况. 总频率为. 由频率估计概率，可知该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）抛掷一枚硬币，“正面向上”的概率为0.5，这是否意味着： “抛掷2次，一次正面向上”？ “抛掷50次，25次正面向上”？ 【答案】不是 【分析】略 【详解】硬币正面朝上的概率是 0.5，这是每次抛掷时正面向上的理论概率. 但实际抛掷时，由于随机性，并不会每次都精确地满足比例上的 1:1，特别是次数较少时. 抛掷2 次，可能出现 2次正面向上、或1次正面向上1次反面向上或2次反面向上， 同理抛掷50次，也不是一定有25次正面向上. 4．（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个 (2) 【分析】（1）根据分层抽样的概念确定各层抽取的个数； （2）利用频率对概率进行估计. 【详解】（1）因为耐用型总共有个，合格型总共有个， 抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为. 所以耐用型抽取个，合格型抽取个． （2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为． 5．（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求样本中数学成绩低于分的频率，再由频率估计概率； （2）先分别求事件成绩不低于分的概率和事件成绩小于分的概率，再由独立事件概率乘法公式求结论； （3）根据方差公式分别求，比较大小可得结论. 【详解】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为， 所以数学成绩低于分的概率为， （2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为， 小于分的概率为， 所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为， （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以. 【考点2：生活中的概率问题】 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）气象局预报，今天武汉的降雨概率是80%，长沙的降雨概率是20%，下列说法正确的是（    ） A．武汉今天一定降雨，而长沙一定不降雨 B．武汉今天可能降雨，而长沙可能没有降雨 C．武汉和长沙都会降雨 D．长沙降雨的可能性比武汉大 【答案】B 【详解】武汉降雨概率80%仅说明其降雨可能性较高，并非一定降雨；长沙降雨概率20%仅说明其降雨可能性较低，并非一定不降雨，故A错误； 武汉、长沙降雨均为随机事件，因此武汉可能降雨、长沙可能未降雨，该表述符合随机事件的性质，故B正确； 两地降雨均为随机事件，无法确定必然同时发生，故C错误； 武汉降雨概率80%大于长沙的20%，因此武汉降雨的可能性比长沙大，故D错误. 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）（多选）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大 B．射击运动员击中靶的概率是0.9，说明他中靶的可能性很大 C．某彩票中奖的概率是2%，买100张一定有2张中奖 D．某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论 【答案】AB 【详解】对A，掷一枚硬币正面朝上的概率是0.5，抛一枚图钉钉尖着地的概率不是0.5，钉尖朝上的概率比较大，所以A对； 对B，射击运动员击中靶的概率是0.9，所以中靶的可能性很大，所以B对； 对C，概率只是一种可能性的预测，并不是绝对的，买100张也有可能全部没有中奖，所以C错； 对D，只对一个小区抽样并不能代表整个城市，所以D错. 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选）有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是（   ） A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性 B．猜“是4的整数倍的数”乙获胜的希望较大 C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大 D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性 【答案】ACD 【分析】结合古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，“奇数”有5个，“偶数”有5个，“是4的整数倍的数”有2个，“是大于4的数”有6个，“是大于5的数”有5个或“小于6的数”有5个. 对于A：“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，A正确. 对于B：“是4的整数倍的数”有2个，则乙获胜的概率为0.2，故甲获胜的希望较大，B错误. 对于C：“是大于4的数”有6个，则乙获胜的概率为0.6，故乙获胜的希望较大，C正确. 对于D：“是大于5的数”或“小于6的数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，D正确. 4．（2026·西藏拉萨·二模）（多选）中国非遗文化传承成效显著，某文化部门随机抽取国内100个非遗传承工作室的年度投入进行统计，已知以下数据： ①抽样中，投入高于5000万元的工作室占30%，投入低于2000万元的占25%； ②投入万元的工作室中，专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为； ③投入高于5000万元的工作室中，有40%专注于传统技艺传承，剩下的专注于非遗文创开发． 下列说法正确的是（   ） A．抽样中，投入万元的工作室有55个 B．抽样中，专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有18个 C．抽样中，专注于非遗文创开发的工作室数量不超过40个 D．若从抽样工作室中随机抽取1个，抽到投入高于5000万元且专注于传统技艺传承的概率为0.12 【答案】BD 【分析】根据题意，分别求得不同投入区间的工作室的数量，结合各个区间内专注于传统技艺传承和专注于非遗文创开发的工作室的数量关系，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由抽样中，投入高于万元的工作室占30%，投入低于万元的占25%， 可得投入万元的工作室占比为， 所以抽样中，投入万元的工作室有个，所以A错误； 对于B，由抽样中，投入万元的工作室有个， 因为专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为， 所以专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有个，故B正确； 对于C，投入高于万元的工作室的数量为个， 其中专注于非遗文创开发的工作室数量为个， 投入万元的工作室且专注于非遗文创开发的工作室有个， 所以专注于非遗文创开发的工作室总数至少为个，所以C错误； 对于D，投入高于万元且专注于传统技艺传承的工作室有个， 所以抽到投入高于5000万元且专注于传统技艺传承的概率为，所以D正确. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球． 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色 取出的球是黑球 取出的两个球同色 →甲胜 →甲胜 →甲胜 取出的两个球不同色 取出的球是白球 取出的两个球不同色 →乙胜 →乙胜 →乙胜 问其中公平的游戏是（   ） A．游戏1 B．游戏1和游戏3 C．游戏2 D．游戏3 【答案】AC 【分析】分别求出游戏1，游戏2，游戏3中甲胜的概率是否为即可判断各个选项. 【详解】游戏1中，取2个球的所有可能情况为（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑2，黑3），（黑1，白），（黑2，白），（黑3，白）， 所以甲胜的可能性为，故游戏是公平的，A正确； 游戏2中，显然甲胜的可能性为，游戏是公平的，C正确； 游戏3中，取2个球的所有可能情况为（黑1，黑2），（黑1，白1），（黑2，白1），（黑1，白2），（黑2，白2），（白1，白2）， 所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的，B、D不正确． 故选：AC. 【考点3：事件的关系与运算】 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 【答案】B 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. 2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）（多选）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意列出事件的情况总数，然后逐项计算判断即可. 【详解】设左脚运动鞋为，右脚运动鞋为，左脚凉鞋为，右脚凉鞋为， 则， 所以，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD. 3．（2026·江西·二模）设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件“、至少有一个发生”可表示为，事件“不发生”可表示为. 选项A中表示同时发生且不发生，不符合题意 选项B中表示至少一个发生且不发生，与题意一致 选项C中表示至少一个发生或不发生，不符合题意 选项D中表示同时发生或不发生，不符合题意. 4．（25-26高二·全国·暑假作业）生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，事件表示的含义是________． 【答案】产品不合格 【详解】事件表示的是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格， 所以事件D表示“产品不合格”． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点；出现的点数不大于1；出现的点数小于；出现奇数点；出现偶数点.请根据这些事件，判断下列事件的关系：（1）____________；（2）____________；（3）____________；（4）____________. 【答案】 【分析】根据事件的关系进行判断. 【详解】当事件发生时，必然发生，故；同理，，而事件与相等，即. 故答案为：，，， 【考点4：概率的基本性质】 1．（25-26高一下·吉林长春·期中）设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与互斥，则 【答案】C 【分析】依据概率的基本性质、对立事件、事件包含关系、互斥事件的定义逐一验证选项，判断是否必然成立。 【详解】对于A：是事件的对立事件，满足且，由概率加法公式可得，故A一定成立； 对于B：若，说明事件的全部样本点都属于事件，所以，故B一定成立； 对于C：若，由概率加法公式得，当且仅当即时，才有，若存在公共样本点，该等式不成立，故C不一定成立； 对于D：若与互斥，根据互斥事件定义得，空集的概率为0，因此，故D一定成立. 2．（2026·浙江台州·二模）设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立； 对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立； 对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立； 对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥， 由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立. 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及概率的取值范围求解即得. 【详解】依题意，，由， 得，又， 则当时，， 所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是. 故选：C 4．（2026·重庆·模拟预测）（多选）已知事件，，的概率均不为0，则下列说法正确的是（　　） A．若事件，则 B． C．若，则 D．若事件与相互独立，则 【答案】AB 【详解】根据基本事件的包含关系可知，若事件，则，即A正确； 由对立事件的基本性质可得，因此，即B正确； 抛掷一枚质地均匀的骰子，不妨设事件A：“抛出的点数为1或2或3”，事件B：“抛出的点数为3”，事件C：“抛出的点数为3或6”， 此时，但此时，即C错误； 若事件与相互独立，则，即D错误. 5．（25-26高一下·北京·期末）已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】利用概率的性质结合已知即可推出①正确；再利用和事件的概率公式，即可得出判断． 【详解】对于①，， ， 又，所以， 故，①正确； 对于②③④，，结合， 可得，而， 所以，②正确，③错误，④正确． 【考点5：互斥事件】 1．（25-26高一下·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 【答案】B 【详解】对于A，因为事件和事件可以同时发生，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于B，，，，所以事件和事件相互独立，所以B正确； 对于C，事件和事件可以同时发生，所以不是对立事件，所以C错误； 对于D，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）四种情况， 事件包括（正正）（正反）两个基本事件，事件包括（正反）（反反）两种情况，所以不相等，所以D错误． 2．（2026高二下·浙江温州·学业考试）若事件与事件互斥，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件“不可能同时发生”的核心定义，明确互斥事件的交集为不可能事件，再结合互斥、对立、独立事件的概率性质逐一辨析四个选项. 【详解】对于A：是对立事件（互斥且必有一个发生）的性质，互斥不一定对立，A错误； 对于B：若事件与互斥，即，因此，B正确； 对于C：互斥事件对两个事件的概率大小没有要求，无需满足，C错误； 对于D：是相互独立事件的定义，不是互斥事件的性质，D错误. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 【答案】CD 【分析】依据互斥事件不能同时发生、对立事件不能同时发生且必有一个发生的定义，逐一判断每个选项中两个事件的关系即可得到答案. 【详解】 从2红2白中取2个球，所有基本事件共三种：两个红球，一红一白，两个白球， 对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至少一个白球”包含一红一白、两个白球， 二者可同时发生（取到一红一白时），不互斥，A错误； 对于B：“恰有一个红球”即一红一白，“都是白球”即两个白球，二者互斥，但存在“两个红球”的情况， 二者不是必有一个发生，不对立，B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”即两个白球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，C正确； 对于D：“至多一个红球”包含两个白球、一红一白，“都是红球”即两个红球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，D正确. 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 【答案】 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式求解即可． 【详解】因为事件和互斥，， 所以， 因为事件和都不发生的概率为， 所以，所以， 所以． 5．（25-26高二·全国·暑假作业）为维护世界经济秩序，我国在某论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年内（含3年）达到要求，则包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求的概率为_________． 【答案】0.79/ 【分析】由互斥事件的和事件概率公式即可求解. 【详解】设“包括汽车在内的进口商品恰好4年关税达到要求”为事件，“不到4年达到要求”为事件， 则“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求”是事件，而，互斥， ． 【考点6：对立事件】 1．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（     ） A．小明只有一场比赛获奖 B．小明两场比赛均获奖 C．小明至多一场比赛获奖 D．小明两场比赛均未获奖 【答案】D 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】小明仅参加了两场比赛，情况如下： ①两次都获奖；②只有一次获奖；③两次均未获奖， 所以与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的事件是“小明两场比赛均未获奖”. 2．（浙江衢州市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，事件为“向上的点数为偶数”，则事件与事件（      ） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 【答案】B 【分析】利用互斥事件，相互独立事件的定义依次判断选项即可. 【详解】抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，对于A，C选项，事件与事件能同时发生，A，C错误； 对于B,抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数，,,, 满足,所以事件与事件为相互独立事件，故B正确； 对于D，事件包含两个基本事件，事件包含三个基本事件，所以事件与事件不相等，故D错误； 3．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 4．（25-26高二上·上海·期末）相互独立事件，满足，，则________． 【答案】/ 【详解】由对立事件的性质得， 则，解得， 已知事件，相互独立，则 ，解得． 5．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出的概率是______. 【答案】 【详解】记事件为“甲解出该题目”，事件为“乙解出该题目”，“题目被解出”对应事件. ∵ 甲、乙两人解题相互独立，且，， ∴ 甲、乙都未解出题目的概率为， 代入数值计算得， ∴ 这道题被解出的概率. 【考点7：古典概型】 1．（25-26高一下·河南周口·期末）周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． 【答案】(1)，众数为85，平均成绩为77.5 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及众数、平均数定义求解即可. （2）结合分层抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得， ，解得． 由频率分布直方图可知初赛成绩的众数为85， 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，众数为85，平均成绩为77.5． （2）由（1）知，成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为，， 在中随机抽取了人，记为，，， 从5人中随机抽取2人的样本空间为： ，共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为． 2．（浙江衢州市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）某商场为吸引顾客，开展抽奖送代金券活动，规则如下：，两个箱子中均有若干个小球（除颜色外均相同），其中箱中有2个白球和个黑球，箱中有1个白球和个黑球．顾客每轮抽奖，需从，两个箱子中分别取一个球，按先后的顺序进行，取球结束后将球放回原箱子，且每次取球相互独立．若箱中取出白球，则送面值2元的代金券，否则无奖励；若箱中取出白球，则送面值3元的代金券，否则无奖励．（每位顾客每日至多参与两轮抽奖；代金券可用于商场停车缴费或参与下次消费，可叠加使用） (1)顾客甲参与一轮取球，求甲在箱中取出白球的概率；（用表示） (2)已知参与一轮取球后获得5元代金券的概率为，只获得一张代金券且为2元代金券的概率为． （ⅰ）求，； （ⅱ）若顾客乙参与两轮抽奖，现需用这两轮抽奖获得的代金券支付8元停车费，求乙可足额支付停车费的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ） ，；（ⅱ） 【分析】（1）利用古典概型概率公式直接求解即可； （2）（ⅰ）利用古典概型概率公式列方程组求解即可； （ⅱ）先确定单轮抽奖各收益对应的概率，再枚举两轮总金额不低于8元的所有情况，结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1）甲在箱中取一个球的试验的样本空间包含个样本点， 事件A：箱取出白球包含个样本点，故甲在箱中取出白球的概率为； （2）（ⅰ）一轮取球的试验的样本空间包含个样本点， 事件：“获得5元代金券”包含个样本点，事件：“只获得一张代金券且为2元代金券”包含个样本点， 所以，解得； （ⅱ）乙可足额支付停车费的概率，即乙两轮抽奖获得的代金券面值叠加后大于等于8元的概率， 乙两轮抽奖试验的样本空间包含个样本点，获得的代金券面值叠加后大于等于8元的有：（白，白，白，白），（白，白，黑，白），（黑，白，白，白）， 共3个随机事件，均包含4个样本点，所以发生的概率为， 所以乙两轮抽奖获得的代金券面值叠加后大于等于8元的概率为， 即乙可足额支付停车费的概率为． 3．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】(1) 平均年龄为岁，众数为岁； (2) . 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用组中值乘以对应频率之和估算平均数，最高矩形底边的中点即为众数； （2）根据分层抽样比例计算第四、五组抽取的人数，确定样本空间，利用古典概型概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 第五组：. 则平均年龄约为：（岁）. 众数的估计值为最高矩形底边的中点，即（岁）. 故估计这人的平均年龄为岁，众数为岁. （2）第四组的人数为人，第五组的人数为人. 因为采用分层随机抽样抽取人，抽样比为. 所以第四组应抽取人，第五组应抽取人. 第四组和第五组共抽取人. 由题意知，甲在第四组被抽取的人中，乙在第五组被抽取的人中. 记第四组除甲外的人为，第五组除乙外的人为. 则这人构成的集合为甲，，乙，. 从中随机抽取名作为组长， 结果有：甲，，甲，，甲，，甲，乙，甲，，，， ，乙，，，，乙，，，乙，，乙，共15种. 设事件为“甲、乙两人至少有一人被选上”，则其对立事件为“甲、乙两人都没有被选上”. 事件包含的结果是从这人中抽取人，结果有：，，， ，，共6种，则. 故，即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为. 4．（24-25高一下·重庆·期末）学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值． (2)估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1列式求解. （2）利用（1）的结论，利用频率分布直方图中平均数和中位数定义求解. （3）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数并编号，再利用列举法求出古典概率. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以. （2）由（1）得，该次考试测试分数的平均数的估计值为： 分； 测试分数在的频率：， 测试分数在的频率：， 则测试分数中位数为，，解得， 所以此次数学测试分数的中位数约为. （3）记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中， 分数在的有2人，编号分别为，分数在有3人，编号为， 样本空间， 则，记事件“至少一人分数在”，则，则， 所以这2人中至少有一人分数在内的概率为. 5．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求． (2)当时，求的表达式． (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率. （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案. （3）只需研究，按的十位区间分类，分别统计数字0和数字9的个数，先确定集合，再比较各个候选点处的大小． 【详解】（1）当时，， 即这个数中共有个数字，其中数字的个数为， 则恰好取到的概率为； （2）当时，这个数有位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，个四位数组成，； 综上所述：. （3）由集合的定义，只需考虑． 当时，数字0和数字9都没有出现，所以，从而． 当时，，所以，即． 当时，设，其中，． 从1写到时，个位上的0出现在10，20，…，中，共有个，因此． 个位上的9在不超过的数中出现次；当且仅当时，数又增加一个个位数字9． 在此范围内十位尚未出现9，所以． 于是当且仅当，即． 当时，设，其中． 此时数字0的个数为． 个位数字9在9，19，…，89中出现9次，十位数字9在90，91，…，中出现次， 所以，从而． 因此只有时，即． 当时，，所以． 当时，100又增加2个0，所以，而，故． 综上，． 当时，． 当，时，． 并且，所以随增大而增大． 因此这些点中的最大值为． 当时，． 因为，所以当时，的最大值为． 【考点8：事件的相互独立性】 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 【答案】C 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由独立，得，B正确； 对于C，由独立，得，C错误； 对于D，由互斥，得，D正确. 2．（2026高三·全国·专题练习）某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出：因为直接受感染的人至少是，而恰有一人是由感染的，由此可计算出概率． 【详解】设直接受感染分别为事件，则事件是相互独立的， ，，，由题意可知，除了外，二人中恰有一人是由感染的， 由于二人中恰有一人是由感染的事件是，并且，， 所以， 所以中恰有两人直接受感染的概率是，故C正确. 3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）（多选）甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（     ） A．至少有一枪命中目标的概率为 B．恰好有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 【答案】AD 【分析】由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式、互斥事件和事件概率公式可判断AB，分别计算甲、乙、丙在第2枪时，连续命中两枪的概率，即可判断CD. 【详解】对于A：三枪全不中的概率， 故至少有一枪命中目标的概率为，A正确； 对于B：恰好有一枪命中目标的概率，B错误； 对于C、D： 设枪连续命中的概率为，枪连续命中的概率为，三枪都中的概率为， 则由题意至少连续两枪命中的概率， 若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪， 若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪， 即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为， 同理：若乙在第2枪， 连续命中两枪的概率为， 若丙在第2枪： 连续命中两枪的概率为， 因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设事件“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道， 则样本空间为，， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． （2）设事件“任选一道灯谜，甲猜对”，事件“任选一道灯谜，乙猜对”， 事件“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”， 根据题意可得， ，，，． 因为，且，互斥， 由已知相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为． 5．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 【达标检测】 一、单选题 1．（25-26高二上·四川成都·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和概率最大时，其和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】列举出所有情况，看向上所得点数之和最大的情况，利用古典概型求出概率即可. 【详解】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数组成一个有序实数对，共有个，如下表， 由表的对称性可知，和为7的情况有，概率最大. 故选：B. 2．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）从一批产品中取出三件产品，设三件产品全不是次品，三件产品全是次品，三件产品不全是次品，则下列结论正确的个数是（    ） ①与B互斥；②与C互斥；③与C互斥；④ 与B对立；⑤与C对立． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥，对立事件的定义判断选项. 【详解】①与B互斥，正确；②与C互斥，正确；③与C不互斥，两个事件都包含三件产品都是正品，所以③错误；④ 与B不对立，应是互斥，不对立，故④错误；⑤与C对立，正确． 故选：C 3．（25-26高一·全国·随堂练习）从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为1，2）的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个随机事件是（    ），并说明理由． A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球 C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断． 【详解】A，“都是白球”这个事件发生时，事件“至少有1个白球”也发生了，因此不互斥； B，任取2球一红一白时，事件“至少有1个白球”与“至少有1个红球”同时发生，因此不互斥； C，“恰有1个白球”，“恰有2个白球”这两个事件不可能同时发生，但当两个球都是红球时，它们都不发生，因此它们互斥且不对立； D，“至少有1个白球”与“都是红球”不可能同时发生，但必有一个会发生，因此它们是对立的， 故选：C． 4．（2026·辽宁·模拟预测）甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575 【答案】D 【分析】最终甲胜分三种情况，一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜，而每种情况又分甲先着子和乙先着子，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】由题意知， 一二局甲胜的概率为：， 一三局甲胜的概率为：， 二三局甲胜的概率为：， 因此最终甲胜的概率为， 故选：D. 5．（24-25高一下·山西长治·期末）已知事件，互斥，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的定义及性质判断A、B、D，利用反例说明C. 【详解】对于A：因为事件，互斥，所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：如抛掷一枚质地均匀的骰子，事件，事件，满足，互斥， 但是，，显然，不互斥，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：C 6．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时，事件与事件不独立 C．当时， D．当时，事件与事件不独立 【答案】D 【分析】分和的情况分别考虑四个选项. 【详解】当时，表示一正一反，故，故A正确； 此时，， ，故B正确； 当时，表示并非每次都是正面朝上， 故，故C正确； 此时，， ，所以，故D错误. 故选：D. 二、多选题 7．（24-25高二上·云南保山·期末）已知事件发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若事件互斥，则 B．若，则 C．若，则事件相互独立 D．若事件相互独立，则事件至少有一个发生的概率为 【答案】ACD 【分析】利用互斥事件概率的加法公式计算可得A正确，由事件的包含关系可知B错误，根据独立事件的定义可判断C正确，由对立事件概率的性质计算可得D正确. 【详解】对于A，若事件互斥，则，故A正确； 对于B，若，则，，故B错误； 对于C，由于，，而 因此事件相互独立，从而事件相互独立，故C正确； 对于D，“事件至少有一个发生”的对立事件为“事件都不发生”，即“事件”， 又因为事件相互独立， 所以事件至少有一个发生的概率，故D正确， 故选：ACD． 8．（24-25高二下·四川泸州·期中）某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（   ） A．第一组的频率为0.1 B．该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7 D．在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4 【答案】BCD 【分析】根据给定的频率分布直方图，结合众数、百分位数判断ABC；求出概率判断D. 【详解】对于A，第一组的频率为，A错误； 对于B，样本数据在区间的频率最大，该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25，B正确； 对于C，样本数据小于2.5的频率， 样本数据小于3的频率， ，由，解得吨， 因此月均用水量的标准定为吨，C正确； 对于D，月均用水量在的人数为：人，记为，， 月均用水量在的人数为：人，记为，，，， 从此人中随机抽取两人所有可能的情况有：,,,,,,,,,,,,,,，共种， 其中月均用水量都在的情况有：,,,,,，共种， 因此两人月均用水量都不低于吨的概率：，D正确. 故选：BCD 三、填空题 9．（25-26高三上·北京通州·期末）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为______；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为______. 【答案】 /0.5 【分析】列举出齐王与田忌赛马的每组马对阵的所有情况，即可求出双方均不知对方马的出场顺序时田忌获胜的概率，列举出田忌的上等马与齐王的中等马分在一组时的对阵情况，可求得田忌获胜的概率. 【详解】设齐王的三匹马分别记为，田忌的三匹马分别记为， 齐王与田忌赛马，双方每组对阵情况有∶ ，齐王获胜； ，齐王获胜； ，齐王获胜； ，田忌获胜； ，齐王获胜； ，齐王获胜,共6种； 其中田忌获胜的只有一种 则田忌获胜的概率为； 若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组， 此时情况为和共两种， 时，齐王获胜，，田忌获胜， 此时田忌获胜的概率为 ， 故答案为： 10．（25-26高二下·天津·阶段检测）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为__________. 【答案】 / 【分析】从甲乙丙三个盒子中各取一个球这三个事件相互独立，根据独立事件同时发生的概率公式求解即可；设甲乙丙三个盒子中球的总数分别为，，，分别求出三个盒中白球的个数，根据古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】由已知可得三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，， 从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为； 设甲乙丙三个盒子中球的总数分别为，，， 甲盒中白球的数量为， 乙盒中白球的数量为， 甲盒中白球的数量为， 三个盒子中球的总数为，白球总数为， 所以三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为. 故答案为：；. 四、解答题 11．（25-26高二上·湖北·期中）一个袋子中有标号分别为、、、的个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次 (1)求摸出两球标号互质的概率； (2)设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，判断事件与事件是否相互独立. 【答案】(1) (2)不独立，理由见解析 【分析】（1）记事件摸出两球标号互质，列举出样本空间，以及事件包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）利用独立事件的定义判断可得出结论. 【详解】（1）讨论摸出两球的标号，记事件摸出两球标号互质， 样本空间为，共个样本点， 每个样本点出现的可能性相同， ，共个样本点，故. 因此，摸出两球标号互质的概率为. （2）样本空间为， 共个样本点， ， ，， 则，，所以，， 所以，事件与事件不独立. 12．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】(1) 平均年龄为岁，众数为岁； (2) . 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用组中值乘以对应频率之和估算平均数，最高矩形底边的中点即为众数； （2）根据分层抽样比例计算第四、五组抽取的人数，确定样本空间，利用古典概型概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 第五组：. 则平均年龄约为：（岁）. 众数的估计值为最高矩形底边的中点，即（岁）. 故估计这人的平均年龄为岁，众数为岁. （2）第四组的人数为人，第五组的人数为人. 因为采用分层随机抽样抽取人，抽样比为. 所以第四组应抽取人，第五组应抽取人. 第四组和第五组共抽取人. 由题意知，甲在第四组被抽取的人中，乙在第五组被抽取的人中. 记第四组除甲外的人为，第五组除乙外的人为. 则这人构成的集合为甲，，乙，. 从中随机抽取名作为组长， 结果有：甲，，甲，，甲，，甲，乙，甲，，，， ，乙，，，，乙，，，乙，，乙，共15种. 设事件为“甲、乙两人至少有一人被选上”，则其对立事件为“甲、乙两人都没有被选上”. 事件包含的结果是从这人中抽取人，结果有：，，， ，，共6种，则. 故，即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $