复习专题3 立体几何初步（9类必考点）-2026年高一暑期数学人教A版必修第二册

复习专题3 立体几何初步 【思维导图】 【考点分类】 【知识梳理】 8.1 基本立体图形 【知识点1 空间几何体的结构特征】 1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 含义 ①有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形. ②每相邻两个四边形的公共边都互相平行 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 【方法技巧】空间几何体概念辨析题的常用方法 (1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定． (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析． 3．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 8.2 立体图形的直观图 【知识点1 立体图形的直观图】 1．斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 8.3 简单几何体的表面积与体积 【知识点1 简单几何体的表面积与体积】 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【知识点2 球的截面、几何体与球的切、接问题】 1．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 2．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 【知识点1 平面】 1．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α，且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α，且平面唯一. 【知识点2 空间点、线、面之间的位置关系】 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 2．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 4．平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 8.5 空间直线、平面的平行 【知识点1 空间中的平行关系】 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 3． 平面与平面平行 8.6 空间直线、平面的垂直（一） 【知识点1 直线与直线垂直】 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 【知识点2 直线与平面垂直】 1．直线与平面垂直 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直【3】 ⇒l⊥α 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 ⇒b⊥α 性质 如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内任意一条直线 ⇒a⊥b 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 8.7 空间直线、平面的垂直（二） 【知识点1 二面角】 1．二面角 (1)二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α -l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (2)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 2．几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 【知识点2 平面与平面垂直】 1．面面垂直的定义及判定定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 ∠AOB是二面角α­l­β的平面角，且∠AOB＝90°，则α⊥β 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质 如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面 ⇒l⊥γ 2．点到平面的距离的常见求法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. 【考点1：直观图与斜二测画法】 1．（25-26高一·全国·课后作业）若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 2．（25-26高一下·福建三明·阶段检测）已知某一个图形的直观图如图所示，，求原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·吉林·期末）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 4．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 【考点2：空间几何体的表面积与体积】 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）如图，一个四面体，棱的长为6，其余的棱长均为，则该四面体的体积为______．      3．（2026·山西忻州·模拟预测）一个五面体满足，且这三条平行线两两之间的距离均为1.已知，，，则该五面体的体积为________________. 4．（25-26高一下·山东烟台·阶段检测）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则此三棱柱的体积为______． 5．（25-26高一下·山东淄博·期中）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． (1)求圆锥的体积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 【考点3：球的切接】 1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏徐州·期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱C1D1上的一点，则三棱锥外接球的表面积的最小值为（　　） A．12π B．11π C． D． 3．（25-26高二下·贵州·阶段检测）在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________． 5．（25-26高一下·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 【考点4：空间点、直线、平面之间的位置关系】 1．（25-26高一下·甘肃张掖·阶段检测）若空间中三条不同的直线a，b，c满足，，则直线b与c（     ） A．可能平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 2．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．平行于同一直线的两直线平行 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则，是异面直线 C．若，，，则 D．若，，，则 4．（25-26高一下·北京·期中）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 5．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则至少与，中一个平行 D．若，，，则 【考点5：直线、平面平行的判定与性质】 1．（25-26高一下·江苏·期中）如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． 2．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点. (1)证明：平面PCD； (2)求四棱锥的体积. 3．（25-26高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 4．（25-26高一下·重庆南岸·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若，证明：． 5．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 【考点6：直线、平面垂直的判定与性质】 1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）（多选）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将折起到，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是的中点． (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求证：平面平面． 3．（24-25高一下·山西运城·期末）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，各棱长均为为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 4．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为长方形，，，E，M，Q，N分别为线段AB，CD，BC，PD的中点，平面底面ABCD.求证：    (1)平面AMN； (2)平面平面AMN. 5．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 【考点7：空间中的角度】 1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江宁波·期中）正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在三棱锥中，，是等边三角形． (1)求证：； (2)若为直角三角形，求直线与平面所成角的大小. 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 5．（25-26高一下·江苏连云港·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，，为的中点． (1)证明：平面； (2)过，，作四棱锥的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积； (3)求二面角大小的正切值． 【考点8：空间中的距离】 1．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 4．（2026高二上·上海·专题练习）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 5．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 【考点9：探索性问题的研究】 1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点． (1)证明：平面； (2)在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 3．（25-26高一下·云南楚雄·期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 4．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面．    (1)证明: 平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若在线段BC上是否存在点 F，使得平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 5．（25-26高一下·吉林·期中）如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求的长； (3)是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 【达标检测】 一、单选题 1．（25-26高三·福建·期中）给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m； ③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（2026·广东湛江·一模）中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献．下图是明清时期的一件圆台形青花缠枝纹大花盆，其上口直径为20cm，下底直径为18cm，高为24cm，则其容积约为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 5．（2026·山东菏泽·模拟预测）将一个圆柱整体放入棱长为1的正方体中，圆柱的轴线与正方体体对角线重合，则圆柱的底面圆的半径的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河北·期末）已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是（    ） A．半径是3 B．体积为 C．表面积为 D．表面积为 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为2，如图将三棱锥的一个面和正四棱锥的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体的说法正确的是（    ）    A．新几何体为三棱柱 B． C．直线AF与CD 异面 D．正四棱锥的棱切球半径为1 三、填空题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为______. 10．（2025·安徽·三模）已知四棱锥的底面为矩形，其中，点平面，点M，N分别在线段，上（不含端点位置），其中，则四面体的体积最大值为__________. 四、解答题 11．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． 12．（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $ 复习专题3 立体几何初步 【思维导图】 【考点分类】 【知识梳理】 8.1 基本立体图形 【知识点1 空间几何体的结构特征】 1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 含义 ①有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形. ②每相邻两个四边形的公共边都互相平行 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 【方法技巧】空间几何体概念辨析题的常用方法 (1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定． (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析． 3．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 8.2 立体图形的直观图 【知识点1 立体图形的直观图】 1．斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 8.3 简单几何体的表面积与体积 【知识点1 简单几何体的表面积与体积】 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【知识点2 球的截面、几何体与球的切、接问题】 1．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 2．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 【知识点1 平面】 1．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α，且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α，且平面唯一. 【知识点2 空间点、线、面之间的位置关系】 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 2．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 4．平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 8.5 空间直线、平面的平行 【知识点1 空间中的平行关系】 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 3． 平面与平面平行 8.6 空间直线、平面的垂直（一） 【知识点1 直线与直线垂直】 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 【知识点2 直线与平面垂直】 1．直线与平面垂直 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直【3】 ⇒l⊥α 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 ⇒b⊥α 性质 如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内任意一条直线 ⇒a⊥b 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 8.7 空间直线、平面的垂直（二） 【知识点1 二面角】 1．二面角 (1)二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α -l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (2)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 2．几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 【知识点2 平面与平面垂直】 1．面面垂直的定义及判定定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 ∠AOB是二面角α­l­β的平面角，且∠AOB＝90°，则α⊥β 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质 如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面 ⇒l⊥γ 2．点到平面的距离的常见求法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. 【考点1：直观图与斜二测画法】 1．（25-26高一·全国·课后作业）若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【详解】圆柱中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 2．（25-26高一下·福建三明·阶段检测）已知某一个图形的直观图如图所示，，求原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直观图得，原图形是长为宽为的2倍的长方形，求出面积可得答案. 【详解】因为，所以， 可得， 原图形是长为，宽为的2倍的长方形，即，， 所以原图形的面积为. 故选：B. 3．（25-26高一下·吉林·期末）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系，再计算边长即可. 【详解】由题意可得还原后如下： 中，， 所以， 所以， ，，， 则. 4．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法即可得解. 【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图， 且其中， ， 所以 ， 所以中，， ， 所以． 5．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 【答案】 【详解】由斜二测画法的性质可得，原图中，，， 所以， 因此周长. 【考点2：空间几何体的表面积与体积】 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积. 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 2．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）如图，一个四面体，棱的长为6，其余的棱长均为，则该四面体的体积为______．    【答案】 【分析】取的中点，连接，通过计算证明平面，从而将作为高，利用锥体体积公式求解. 【详解】取的中点，连接． 因为，所以为等边三角形， 所以，且． 同理，因为，所以为等边三角形， 所以，且． 在中，， 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面，即为四面体的高． 底面的面积． 所以四面体的体积．    3．（2026·山西忻州·模拟预测）一个五面体满足，且这三条平行线两两之间的距离均为1.已知，，，则该五面体的体积为________________. 【答案】 【分析】采用“补形法”，将五面体补为三棱柱，通过三棱柱的体积和五面体体积的关系，计算体积. 【详解】用一个完全相同的五面体和已有的五面体拼接，拼接为一个三棱柱， 因为，且两两之间的距离均为1，且，，， 故该三棱柱与侧棱垂直的截面为边长为1的等边三角形，且侧棱长为， 因此. 4．（25-26高一下·山东烟台·阶段检测）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则此三棱柱的体积为______． 【答案】/ 【详解】取中点，连接， 已知底面是正三角形，故， 又底面，故， 又，平面， 故平面，又平面， ，故即为二面角的平面角， 所以， 已知，则， 在中，， 解得， ． 5．（25-26高一下·山东淄博·期中）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． (1)求圆锥的体积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 【答案】(1) (2) 最大值为，此时圆柱的高为. 【分析】（1）利用圆锥侧面展开图半圆弧长等于圆锥底面周长，结合已知母线长求出圆锥底面半径，再由勾股定理得圆锥的高，代入体积公式计算得体积； （2）利用轴截面的相似三角形建立圆柱底面半径与高的关系，将侧面积表示为二次函数，利用二次函数性质即可求得最大值及对应圆柱的高. 【详解】（1）设圆锥的母线长为，底面半径为，高为. 已知母线长，圆锥侧面展开图为半圆， 因此半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，代入，得， 圆锥的高. 因此圆锥的体积为. （2）设圆柱的底面半径为，高为. 由相似三角形（小圆锥的轴截面与原圆锥的轴截面相似）， 可得比例关系. 圆柱侧面积公式为，代入得 这是关于的开口向下的二次函数，当时，二次函数取得最大值， 代入得最大侧面积. 因此圆柱侧面积的最大值为，此时圆柱的高为. 【考点3：球的切接】 1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知棱长为1的正四面体的中心为，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把正四面体与棱相切的球和外接球转化为正方体的内切球和外接球，从而可得半径的范围． 【详解】由棱长为1的正四面体可以构造出棱长为的正方体，如图所示， 可知棱长为1的正四面体的外接球和棱长为的正方体的外接球相同， 设正四面体的外接球半径为， 则，所以． 由图可知与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球， 设与正四面体的各棱相切的球半径为， 则． 因为球的球面与正四面体的棱有公共点， 所以球的半径满足， 即球的半径的取值范围是． 2．（25-26高一下·江苏徐州·期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱C1D1上的一点，则三棱锥外接球的表面积的最小值为（　　） A．12π B．11π C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质，结合球的性质、平面垂线的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】如图所示：设三棱锥外接球的球心为，半径为， 设的中点分别为，连接，由正方体的性质可知：平面， 根据正方体和球的对称性可知：球心在线段上，设， 设，则， 由余弦定理，得， 在直角中，由勾股定理，得， 同理在直角中，由勾股定理，得， 所以可得：， 所以， 显然当时，有最小值， 所以三棱锥外接球的表面积的最小值为. 3．（25-26高二下·贵州·阶段检测）在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求正三棱台上、下底面正三角形的外接圆半径，再求正三棱台的高；设外接球的球心到下底面的距离为，外接球半径为，根据球心到上下底面顶点的距离都等于，列出两个关于和的方程，联立求解；最后根据球的表面积公式取出外接球的表面积. 【详解】设正的中心为，正的中心为，外接球的球心为，半径为， 球心到底面的距离为，过作，垂足为，如图所示； 棱台为正三棱台，，， ，； ，. ，在中，. 在和中， ，解得. ； . 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________． 【答案】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 5．（25-26高一下·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 【答案】 27 【分析】根据已知条件可得，求得三棱锥各面的面积即可求得表面积；利用线面垂直的判定定理可证明平面，设内切球半径为，利用等体积法求解内切球的半径，利用球的体积公式计算即可. 【详解】因为，，，在中，， 所以，又平面，所以， 因为平面，，，平面，所以，，， 故，又，，所以平面， 又平面，所以，所以，，，均为直角三角形， 设三棱锥的内切球的球心为，半径为，则， 即， 解得，故三棱锥的内切球的体积为． 【考点4：空间点、直线、平面之间的位置关系】 1．（25-26高一下·甘肃张掖·阶段检测）若空间中三条不同的直线a，b，c满足，，则直线b与c（     ） A．可能平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 【答案】D 【详解】因，即直线所成的角是， 又，则直线所成的角也是 故． 2．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．平行于同一直线的两直线平行 【答案】D 【分析】由线线位置关系、棱台、棱锥以及棱柱的定义即可逐一判断. 【详解】对于A，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，它应该保证各侧棱延长后交于一点，故A错误； 对于B，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故B错误； 对于C，如图所示， 若下面是一个正四棱柱，上面是一个以正四棱柱上底面为下底面的斜四棱柱，但它们的组合体不是棱柱，故C错误； 对于D，由平行线的传递性可知D正确. 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则，是异面直线 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据面面平行的判定定理、异面直线的定义，结合线面平行的性质、面面垂直的性质定理逐一判断即可. 【详解】A：只有当，相交时，才有，所以本选项说法不正确； B：当，时，，的位置关系为平行、相交、异面，所以本选项说法不正确； C：过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故， 又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故本选项说法正确； D：若， 如果或，则不能判断 ，故本选项说法不正确. 4．（25-26高一下·北京·期中）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 5．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则至少与，中一个平行 D．若，，，则 【答案】C 【分析】利用线面垂直的性质可判断A；举反例可判断BD；利用反证法可判断C. 【详解】对于A：若，，，根据线面垂直的性质可得，而非，故A错误； 对于B： 若，满足条件，，此时在平面内，不满足，故B错误； 对于C：若和、都不平行，即与有公共点，且与有公共点， 若在其中一个平面内，比如，由，，可得，矛盾； 若不在任何一个平面内，由，，可得，同理，也矛盾. 因此至少与、中一个平行，故C正确； 对于D： 当与相交时，也可以在两个平面内分别找到平行于交线的直线， 满足，但此时与不平行，故D错误. 【考点5：直线、平面平行的判定与性质】 1．（25-26高一下·江苏·期中）如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理即可证明. 【详解】（1） 设，连接， ，Q为侧棱的中点，为的中点， 又是正四棱锥，为的中点， 在中有， 平面，平面， 平面； （2）在正四棱锥中，有， 平面，平面，平面； 又平面，平面平面， 由线面平行的性质定理可得． 2．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点. (1)证明：平面PCD； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明：∵ 底面为正方形，对角线与交于点， ∴ 是的中点， 又∵ 为的中点， ∴ 在中，是中位线，可得 ， ∵ 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，得 平面. (2) 【分析】（1）利用正方形对角线交点是中点、是中点，得到是的中位线从而推得，再结合线面平行的判定定理证明平面； （2）由平面得是四棱锥的高，先计算底面正方形的面积，再代入四棱锥体积公式计算体积. 【详解】（1）略 （2）由平面，得四棱锥的高； 底面是边长为2的正方形，底面积， 因此体积. 3．（25-26高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，要判定平面，只需判定平行于平面内的一条直线即可证明. （2）根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行证明. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为为四棱锥，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面,在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 4．（25-26高一下·重庆南岸·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若，证明：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据中位线得到，从而证明出线面平行； （2）证明出四边形为平行四边形，故，所以平面，同理可得平面，证明出面面平行，由面面平行的性质得到线线平行. 【详解】（1）因为分别为线段的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）因为四边形是平行四边形， 所以且， 点分别为线段的中点， 故且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为，即平面平面， 平面平面， 所以. 5．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，得到且，进而证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）连接与交于点，得到，证得平面，结合线面平行的性质定理，即可证得. 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接， 因为为的中点，可得且， 又因为为平行四边形，可得且， 所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）证明：连接与交于点，且为的中点， 由点为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面，所以. 【考点6：直线、平面垂直的判定与性质】 1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）（多选）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将折起到，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知条件得平面，所以，根据线面垂直的判定定理可得平面，由此可判断B，C正确；由折叠而成，所以由知，从而判断D正确；假设，由线面垂直的判定定理可推得矛盾，判断A. 【详解】因为在平面BCD上的射影O恰好在CD上， 所以平面BCD．又平面BCD，所以． 因为四边形ABCD是矩形，所以， 又，CD，平面，所以平面． 因为，平面，所以，． 显然，由折叠而成，所以由知，故B，C，D正确； 假设，因为平面BCD，平面BCD，所以． 又，，平面，则得平面． 因为平面，所以，显然不成立. 所以假设不成立，故A错误． 2．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是的中点． (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求证：平面平面． 【答案】(1)连接交于，连接， 四边形是矩形，是的中点， 又M是的中点，， 又平面，平面，平面. (2)平面，平面，， 又四边形是矩形，， ，，平面，平面， 平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. (3)由（2）知：平面，平面， 平面平面. 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明即可； （2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明即可； （3）结合第（2）小问的结论，利用面面垂直的判定证明即可. 3．（24-25高一下·山西运城·期末）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，各棱长均为为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，结合中位线性质和线面平行的判定定理可得； （2）由线面垂直的性质定理得到，再由面面垂直的判定定理证明可. 【详解】（1）设，连接，可知为的中点， 因为为的中点，则， 且平面平面， 所以平面. （2）因为，且为的中点，则， 又因为平面平面，则， 且平面， 则平面，由平面，平面平面. 4．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为长方形，，，E，M，Q，N分别为线段AB，CD，BC，PD的中点，平面底面ABCD.求证：    (1)平面AMN； (2)平面平面AMN. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接DE，交AM于点H，连接NH，先证明四边形AEMD为平行四边形，进而得到，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题设可得，底面ABCD，进而得到，进而结合正切可得，得到平面AMN，从而求证. 【详解】（1）证明：连接DE，交AM于点H，连接NH. 因为底面ABCD为长方形，所以，， 因为E，M分别为线段AB，CD的中点， 所以，，所以四边形AEMD为平行四边形． 因为AM，DE为平行四边形的对角线，所以H为DE的中点． 因为N为PD的中点，所以. 因为平面AMN，平面AMN， 所以平面AMN.    （2）证明：在中，因为，E为AB的中点， 所以. 又平面底面ABCD，平面底面，平面PAB， 所以底面ABCD. 因为平面ABCD，所以，所以. 在长方形ABCD中，因为， ， 所以，， 所以. 因为，平面AMN， 所以平面AMN， 因为平面QMN，所以平面平面AMN. 5．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 【答案】(1)如图，取的中点为，连接，， 因为为的中点，所以，， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 又为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 故平面. (2)因为平面平面，平面平面， 又四边形为正方形，所以， 所以平面， 所以. 又因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】（1）取的中点为，连接，，利用三角形的中位线定理结合棱柱的性质可证得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）根据四边形为正方形，平面平面，得出，再结合（1）中的平行关系得出，从而得出平面，根据平面与平面垂直的判定定理得出平面平面． 【考点7：空间中的角度】 1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解. 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 2．（25-26高一下·浙江宁波·期中）正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平面，可得即为直线与平面ABCD所成角，再进行分析即可确定正确答案. 【详解】连接， 在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABCD所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， , 当P与O重合时，最小， 此时最大， 当P与B重合时，最大， 此时最小， 所以.    3．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在三棱锥中，，是等边三角形． (1)求证：； (2)若为直角三角形，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明：如图所示，取中点，连和， 因为是等边三角形，则，且，为公共边，所以， 所以，且中点，所以， 又因为是等边三角形，所以， 因为且平面，所以面， 又因为面，所以． (2)． 【分析】（1）取中点，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得面，进而证得； （2）设，利用勾股定理，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得面，得到即为直线与平面所成角，在直角中，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，设，因为为直角三角形，可得， 又因为是等边三角形，所以，且， 在中，由余弦定理得， 即，可得， 即，解得，所以，所以， 同理可得：，所以， 因为，且平面，所以面， 所以即为直线与平面所成角， 即直线与平面所成角的大小为． 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行判定定理，构造平行四边形，推出平行于平面内的直线，结合不在平面内即可得证； （2）由底面及可得面，则为与面的夹角，由（1）知为直线与平面的夹角. 【详解】（1） 设中点为，又因为是的中点，所以且， 因为底面是菱形且是的中点，所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，面，面，所以面. （2） 设中点为，又因为是中点，所以， 因为面，面，面，所以，. 又因为，所以，， 因为，，，面， 所以面，所以是直线与面的夹角. 又由（1）知，所以是直线与面的夹角， 由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形. 又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为. 5．（25-26高一下·江苏连云港·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，，为的中点． (1)证明：平面； (2)过，，作四棱锥的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积； (3)求二面角大小的正切值． 【答案】(1)因为平面，平面，所以. 又，，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以. 因为，为的中点，所以. 又，平面，所以平面 (2) 如图，过E作，交于F，连接，则截面为四边形， 理由如下： 因为，，所以，所以，，，四点共面， 从而过，，的截面为四边形. 截面面积为； (3) 【分析】（1）由，，结合线面垂直的判定证明即可； （2）作，得出，从而得出截面，再由梯形的面积公式得出截面面积； （3）过作于，过作于，连接，进而可证为二面角的平面角，计算求解即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）知平面，所以， 又，，，所以四边形为直角梯形， 其面积. （3）过作于，过作于，连接. 因为平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为四边形是直角梯形，且， 所以四边形为矩形，所以，， 在直角三角形中，，由勾股定理得， 所以， 因为，所以， 在直角三角形中，，所以， 在直角三角形中，，所以， 所以二面角大小的正切值为． 【考点8：空间中的距离】 1．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由等体积法可得到平面的距离. 【详解】连接，交于点，连接，则为的中点. 因为平面，平面， 所以. 所以， 所以. 所以， 所以的面积为. 因为平面，， 所以. 设到平面的距离为， 由，得. 2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点到平面OMA的距离为. ，，，平面； 平面，，即是直角三角形； ，，，； 为的中点，. . ，，，平面； 为的中点，平面，点到平面的距离为； ，，，. ，，即，解得. 即点到平面OMA的距离为. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 4．（2026高二上·上海·专题练习）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行的判定定理，需证明BF、BC均平行于平面AEG即可； （2）利用等体积法，令，即可求出距离． 【详解】（1）∵，是的中点，，即， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面，∴平面， ∵直角梯形与梯形全等，，， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面； （2）设点到平面的距离为， 平面，平面，故, 知， 由于直角梯形与梯形全等，故， 由，得， 即， ∵平面平面，∴平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 故平面与平面间的距离为． 5．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 因为，且平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）由题可得平面，所以，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由平面，得到是直线与平面所成角，在直角中，即可求解； （3）设点到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：因为平面，所以直线与平面所成角，即为， 又因为菱形的边长为且，可得为等边三角形，且， 因为是等边三角形，所以， 在直角中，可得， 因为，所以. （3）解：由题意，可得，与都是边长为是等边三角形， 所以，且， 所以， 因为，所以， 设点到平面的距离为，由，可得， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 【考点9：探索性问题的研究】 1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点． (1)证明：平面； (2)在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)由正三棱柱的定义可知是等边三角形， 因为D为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以． 因为，平面，且， 所以平面 (2)存在点E， 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）略. （2）存在．在中，作，垂足为E，连接BE． 由（1）知平面，所以． 因为AB，平面，且，所以平面． 因为平面BCE，所以平面平面． 设，则，，故． 因为，所以， 则，， 所以． 故在上存在点E，使得平面平面，此时． 2．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. (2)取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. (3)线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 【分析】（1）直接由线面平行的性质定理可得； （2）取的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （3）取的中点，由已知条件可得四边形是平行四边形，进而可得 平面，再结合（2）的结论及面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质可得. 3．（25-26高一下·云南楚雄·期中）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为平面平面， 所以平面， 又平面平面平面，所以. (2)取中点，连接， 则在中，， 又在中，， 则， 即四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. (3)存在，为中点；当为中点时，平面平面. 证明如下：取的中点为，连接， 则在中，， 又平面平面，则平面， 同理可证，平面， 又平面 ， 所以平面平面. 【分析】（1）先证明线面平行，再用线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过构造辅助线，在平面找到与平行的线，利用线面平行的判定定理可证明. （3）构造中点，面面平行的判定定理证明平面平面，可确定的位置. 4．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面．    (1)证明: 平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若在线段BC上是否存在点 F，使得平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1） 可证平面，由面面垂直的判定定理即可证明；           （2） 可证平面，由线面平行的性质定理即可证明；         （3）由线面平行的判定定理得出点F在BC的处，再证得平面，所以即为EF与底面所成角，求解即可得出答案. 【详解】（1）因为底面，平面，则， 又因为底面为正方形，则 ， 且，平面， 可得平面， 又因为平面PBD，所以平面平面. （2）在正方形中，则， 且平面，平面，可知平面， 且平面，平面平面，所以. （3）存在点F在BC的处，使得平面． 在线段PA上取点K，使，连接KE，KB，EF． 在中，，即， 则，且， 在正方形中，F在BC的处，则，且， 可得，且，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，所以平面， 在AD的处取点M，连接． 中，点E，M分别为的处，则，且， 因为平面，则平面，即EF在平面上的射影MF， 可知即为EF与底面所成角，                           在中，，    若，，所以. 5．（25-26高一下·吉林·期中）如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求的长； (3)是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)由题意知，平面，因为平面，所以. 又，，平面，，所以平面. (2) (3)存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理得到平面，在中求得，结合等体积法可得到当三棱锥的体积最大时，在中求解即可. （3）根据线面垂直的性质得到，，进而得到，，，四点共圆，圆心为中点；取中点，连接，可得到平面，结合勾股定理即可判断点即为所求的点；作，交于点，连接，证明平面，则即为二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面，因为，平面，所以，. 又，，平面，，所以平面. 因为，平面，所以，. 设过的一个轴截面交底面圆周于，点，则为等腰直角三角形， 所以，为等腰直角三角形，则， 又是的中点，所以，且. 因为，平面，，所以平面. 在中，. ， 当且仅当时，等号成立， 即当三棱锥的体积最大时，. 在中，，平面图如图： 在中，，，所以， 在中，. 故当三棱锥的体积最大时，的长为. （3）在四棱锥中， 由（2）得，平面，平面，所以，即. 又，即，所以，，，四点共圆，圆心为中点，记为. 取中点，连接，则， 由（2）得，平面，所以平面. 由，得， 故点即为所求的点. 作，交于点，连接， 因为平面，，平面，所以，. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角，记为. 在等腰中，，所以为中点，又为中点，所以. 在中，， 而，则，所以，故. 所以存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为. 【达标检测】 一、单选题 1．（25-26高三·福建·期中）给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m； ③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】利用面面关系的判定与性质逐项排除. 【详解】①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l、m； ②中l与m也可能异面； ③中，同理，l∥m，则m∥n，正确． 故选：C. 【点睛】本题主要考查有关面面关系的判定与性质. 2．（2026·广东湛江·一模）中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献．下图是明清时期的一件圆台形青花缠枝纹大花盆，其上口直径为20cm，下底直径为18cm，高为24cm，则其容积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据上下底面直径分别计算出上、下底面面积，代入公式计算即可得出结果. 【详解】依题意可得该圆台形大花盆的上底面面积为， 下底面面积为，又高为， 代入圆台体积公式可得. 故选：C 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面平行的性质定理得到，故，转化为求即可． 【详解】    连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 4．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的结构特征采用将沿直线BC旋转到某个位置的方法，将线段和转化为一条线段的长度问题，结合求解线段长度即得答案. 【详解】如图，连接EC，将沿直线BC旋转到的位置，    且在AB的延长线上．则， 由于圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，故，， 则，当三点共线时取等号， 当时，最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：C 5．（2026·山东菏泽·模拟预测）将一个圆柱整体放入棱长为1的正方体中，圆柱的轴线与正方体体对角线重合，则圆柱的底面圆的半径的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作出正方体的两个全等且平行的正三角形截面，，设，正内切圆的半径为，即可得到，设圆柱的高为，推导出，求出的临界值，即可得解. 【详解】如图，作出正方体的两个全等且平行的正三角形截面，， 则圆柱的两个底面是，的内切圆， 设，正，内切圆的半径为，则， 所以， 而，所以， 设圆柱的高为，又正方体的体对角线为， 所以，即， 显然当圆柱两底面圆逐渐靠近时，半径越来越大，令，解得， 所以圆柱底面圆的半径取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用圆柱和正方体的对称性推导出，然后利用临界分析求解. 6．（24-25高一下·河北·期末）已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当三棱锥体积最大时，平面平面，分别取和的外接圆圆心，进而找到三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可得解. 【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面， 取的中点，连接， 因为四边形为菱形， 所以， 因为平面平面， 所以， 如图，过上靠近的三等分点作平面的垂线， 过上靠近的三等分点作平面的垂线， 两条垂线的交点即为三棱锥的外接球的球心，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以， 所以， 同理可得， 所以， 所以. 故选：D. 二、多选题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是（    ） A．半径是3 B．体积为 C．表面积为 D．表面积为 【答案】ABC 【分析】作出正四棱锥的对角面，为半球的半个大圆的内接三角形，由图形可用球的半径表示出棱锥底面边长，高，由棱锥体积求得半球半径．然后计算半球体积，表面积，判断各选项． 【详解】如图，是正四棱锥的对角面，设球半径为，是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为，棱锥体积为，， 半球体积为， 表面积为， 故选：ABC． 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为2，如图将三棱锥的一个面和正四棱锥的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体的说法正确的是（    ）    A．新几何体为三棱柱 B． C．直线AF与CD 异面 D．正四棱锥的棱切球半径为1 【答案】ABD 【分析】取的中点，的中点，可证平面，平面，从而平面与平面重合，再证明四边形为平行四边形，可得，可得判断BC选项；根据棱柱的定义判断A选项；根据棱切球的定义得出的交点为球心判断D选项. 【详解】取的中点，的中点，连、、、，如图：    因为正三棱锥和正四棱锥的所有棱长都为， 所以，，， 又平面，所以平面， 因为，所以， 因为平面，所以平面， 所以平面与平面重合， 因为，，则四边形为平行四边形，则，又，所以， 故C错误； 因，则，故B正确； 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理得四边形也为平行四边形，平面， 因为平面，所以平面平面， 又且，根据棱柱的定义可得该新几何体为三棱柱，故A正确；    设， 因，， 则为等腰直角三角形，故边上的高为， 因，且，则为棱切球的球心，且半径为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为______. 【答案】/ 【分析】根据平面可知即为所求角，利用可求得结果. 【详解】连接， 平面，即为直线与平面所成角， 在中，，， . 故答案为：. 10．（2025·安徽·三模）已知四棱锥的底面为矩形，其中，点平面，点M，N分别在线段，上（不含端点位置），其中，则四面体的体积最大值为__________. 【答案】 【分析】设，，根据题意，得到，，，求得的面积为，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】在上取点，使得， 由，设，，其中， 又由，，且平面， 因为平面，所以， 可得，且，，， 因为，且平面，所以平面， 在中，由，可得，则的面积为， 故， 当且仅当时等号成立，所以四面体的体积最大值为. 故答案为：. 四、解答题 11．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)因为圆O直径，则， 又，，平面， 则平面，结合平面，则平面平面； (2) 【分析】（1）通过证明平面，结合题设可完成证明； （2）取中点为，连接DF，再作，由题可得为二面角平面角，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）取中点为，连接，因是正三角形，则， 又平面平面．平面平面，平面， 则平面，结合平面，可得. 如图，作，因，平面，则平面， 结合平面，可得，从而可得为二面角平面角. 因正三角形边长为2，则.因，则, 作，则，注意到，为AC中点，从而. 又易得，则. 12．（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 学科网（北京）股份有限公司 $