专题10.3 频率与概率（9类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦“频率与概率”核心知识点，系统梳理频率与概率的区别、频率稳定性及用频率估计概率的原理，衔接生活中游戏公平性、天气预报、决策分析等应用，构建从概念到实践再到随机模拟的完整学习支架。 资料以生活实例（如抽奖、天气预测）为载体，通过辨析题培养数学思维，用随机模拟问题强化数据意识，助力学生用数学眼光观察现实。课中辅助教师分层教学，课后供学生针对性练习，有效查漏补缺。

专题10.3 频率与概率 【知识梳理】 1 【考点1：计算频率】 2 【考点2：辨析概率与频率的关系】 3 【考点3：用频率估计概率】 4 【考点4：游戏的公平性】 7 【考点5：决策中的概率思想】 9 【考点6：天气预报中的概率解释】 12 【考点7：抽奖、彩票的概率解释】 13 【考点8：其他问题中的概率解释】 15 【考点9：随机模拟问题】 17 【知识梳理】 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频 率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又 具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可 能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数 之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着 试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生 的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判 员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天 气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨. 3．随机数的产生 (1) 随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1n(n∈)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，n放入一 个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数 的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行， 因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每 次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域 中去. ④随机模拟法的步骤 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 【考点1：计算频率】 1．（25-26高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是__________. 2．（25-26高二下·上海·期中）某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为________． 3．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）从存放号码分别为的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9 则取到号码为奇数的频率是___________． 5．（2026·辽宁大连·二模）抽取样本容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间的频率为______. 【考点2：辨析概率与频率的关系】 1．（25-26高二下·安徽淮北·开学考试）下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 3．（2026高一·全国·专题练习）下列结论正确的是（　　） A．互斥事件一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的概率为 C．，，则（均不相等） D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 9．（24-25高一下·天津东丽·期末）考虑掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（      ） A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．掷10次硬币，事件发生的次数一定是5 C．重复掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D．当投掷次数足够多时，事件发生的频率接近0.5 5．（多选）（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）（多选）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大 B．射击运动员击中靶的概率是0.9，说明他中靶的可能性很大 C．某彩票中奖的概率是2%，买100张一定有2张中奖 D．某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论 【考点3：用频率估计概率】 1．（25-26高二下·海南·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 3．（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 4．（25-26高二下·北京平谷·阶段检测）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率． 5．（25-26高一上·北京西城·期末）运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 【考点4：游戏的公平性】 1．（25-26高一·全国·随堂练习）某学校校庆，给每班发了5张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5位同学参加，为此制作了50张卡片，其中5张写有“庆典”字样．50位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的概率只有，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为．抽中的机会未必相等．”你认为王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？ 2．（高一数学课时作业（61））小明、小英、小强三个同学进行某种游戏时需要确定做游戏的先后顺序，他们商定：将两枚一元硬币同时向上抛出，落地后，如果两个都是正面向上，小明先做；如果两个都是反面向上，小英先做；如果两个一正一反，小强先做. 确定了第一以后（不妨设小强已确定为第一），再将一枚硬币向上抛出，落地后，如果正面向上，小明第二，小英第三；如果反面向上，小英第二，小明第三． 请你思考一下，他们用这样的办法来确定做游戏的先后顺序是否合理？各人取得第一、第二和第三的机会是否均等？为什么？ 3．（25-26高一·湖南·课后作业）甲、乙两人玩一个游戏，每次各出1~5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问：B与C是否为互斥事件？为什么？ (2)这个游戏规则公平吗？试说明理由. 4．（25-26高一下·重庆·期末）小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法，他拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小颖，将数字为4，6，7，10的四张牌给自己，并按如下游戏规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去. (1)求小颖去看电影的概率； (2)这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由，若不公平，在小颖和哥哥所拿4张牌不变的情况下，如何修改游戏规则使其对双方公平. 5．（25-26高一·全国·课后作业）在编号分别为i（i＝0，1，2…，）的n名同学中挑选1名参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，若两枚骰子的点数之和除以n所得的余数为i，则选编号为i的同学．当时，这种规则对每名参加活动的同学公平吗？请说明理由． 【考点5：决策中的概率思想】 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨或下跌（两种情况概率各）．若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略： 策略P：按需购买，当前买1件（100元），下个月按当时价格买1件； 策略Q：当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为元）． 不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？（   ） A．策略P B．策略Q C．平均总成本相同 D．需根据价格波动幅度判断 2．（25-26高二·上海·课堂例题）社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．1965年，华纳（Stanley L. Warner）发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法．华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题，在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的，另一个则是无关紧要的．这样，应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他自己知道回答的是哪个问题．例如，在调查运动员是否服用兴奋剂的时候，设计一个从袋中摸球的试验：袋中放有1黑1白两个大小与质地相同的小球，运动员从中随意摸出1个小球．无关紧要的问题是：你摸出的小球是白色的吗？而敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗？然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．假设用这个方法调查了200名运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂． 3．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）如图，地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站的概率： (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各自的路径. 4．（25-26高一·全国·单元测试）对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 150 200 300 400 检出次品件数 5 7 9 15 21 30 检出次品频率 (1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率； (2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？ 5．（2026高一·全国·专题练习）阶梯挑战赛中的排名跃迁，某电竞比赛采用阶梯挑战赛制，共有5个阶梯（从低到高为阶），初始时10支队伍随机分布在各阶梯上，分布情况为：1阶2队、2阶2队、3阶2队、4阶2队、5阶2队． 比赛规则： 1．每轮比赛，各阶梯内随机配对进行比赛（若某阶梯队伍数为奇数，则有一队轮空） 2．比赛胜者上升1阶，败者下降1阶（5阶胜者保持5阶，1阶败者保持1阶） 3．每轮结束后，重新按阶梯排序，进行下一轮比赛 4．比赛共进行3轮 假设每支队伍实力相当，任意两队比赛获胜概率均为，且各场比赛结果相互独立． (1)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后仍位于3阶的概率； (2)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后升至5阶的概率； (3)若某支队伍希望最大化3轮后位于5阶的概率，应选择从哪一阶开始比赛？证明你的结论． 【考点6：天气预报中的概率解释】 1．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）气象局预报，今天武汉的降雨概率是80%，长沙的降雨概率是20%，下列说法正确的是（    ） A．武汉今天一定降雨，而长沙一定不降雨 B．武汉今天可能降雨，而长沙可能没有降雨 C．武汉和长沙都会降雨 D．长沙降雨的可能性比武汉大 3．（25-26高一·全国·课后作业）气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（    ） A．本市明天将有的地区降雨 B．本市明天将有的时间降雨 C．明天出行不带雨具肯定会淋雨 D．明天出行不带雨具可能会淋雨 4．（25-26高一·全国·课后作业）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（    ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 5．（25-26高一·全国·课后作业）生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了.”学了概率后，你能给出解释吗？ 【考点7：抽奖、彩票的概率解释】 1．（24-25高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 2．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）“某彩票的中奖概率为”意味着（    ） A．买张彩票就一定能中奖 B．买张彩票中一次奖 C．买张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性是 3．（25-26高一·全国·课后作业）“某彩票的中奖概率为”意味着（    ） A．购买彩票中奖的可能性为 B．买100张彩票能中一次奖 C．买100张彩票一次奖也不中 D．买100张彩票就一定能中奖 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在生活中，我们有时要用抽签的方法决定一件事情，例如5张彩票中有1张为中奖彩票，5个人按照顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的中奖彩票，那么先抽还是后抽（后抽的人不知道先抽的人抽出的结果）对每个人来说公平吗？也就是说，每个人抽到中奖彩票的概率相同吗？ 5．（2026高三·全国·专题练习）某种体育彩票的抽奖规则是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个.有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码，也有人说，由于每个号码出现的机会相等，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？ 【考点8：其他问题中的概率解释】 1．（25-26高三上·上海·期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 2．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 3．（2026·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是______． 4．（25-26高一·全国·随堂练习）根据统计，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次． (1)求这名运动员的投篮命中率； (2)若这名运动员要想投篮命中10000次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100） (3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确． 5．（2026·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． 【考点9：随机模拟问题】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 4．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一·全国·课后作业）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是： 则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 频率与概率 【知识梳理】 1 【考点1：计算频率】 2 【考点2：辨析概率与频率的关系】 4 【考点3：用频率估计概率】 6 【考点4：游戏的公平性】 10 【考点5：决策中的概率思想】 14 【考点6：天气预报中的概率解释】 19 【考点7：抽奖、彩票的概率解释】 20 【考点8：其他问题中的概率解释】 22 【考点9：随机模拟问题】 25 【知识梳理】 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频 率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又 具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可 能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数 之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着 试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生 的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判 员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天 气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨. 3．随机数的产生 (1) 随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1n(n∈)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，n放入一 个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数 的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行， 因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每 次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域 中去. ④随机模拟法的步骤 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 【考点1：计算频率】 1．（25-26高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是__________. 【答案】0.51/ 【分析】根据频率公式计算即可. 【详解】由题意，出现正面的频率为. 故答案为：0.51. 2．（25-26高二下·上海·期中）某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为________． 【答案】/0.7 【分析】由频率的定义即可得解. 【详解】某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为. 故答案为：. 3．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________． 【答案】0.45 【分析】根据给定条件，利用频率的定义求解. 【详解】正面向上的频率为：. 故答案为： 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）从存放号码分别为的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9 则取到号码为奇数的频率是___________． 【答案】0.53/ 【分析】利用频率的意义求解即可. 【详解】由表可以得出取到号码为奇数有10+8+6+18+11=53种结果， 所以取到号码为奇数的频率是. 故答案为：. 5．（2026·辽宁大连·二模）抽取样本容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间的频率为______. 【答案】0.25 【分析】由表求出落在区间的频数，即可求出频率. 【详解】解：由题意知，落在的频数为，所以频率为. 故答案为:0.25. 【点睛】本题考查了频率的计算. 【考点2：辨析概率与频率的关系】 1．（25-26高二下·安徽淮北·开学考试）下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确的有2个． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】根据频率与概率的概念逐个判断即可. 【详解】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确． 故选：A 3．（2026高一·全国·专题练习）下列结论正确的是（　　） A．互斥事件一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的概率为 C．，，则（均不相等） D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】D 【详解】根据互斥与对立、频率与概率的关系、交集的定义依次判断各个选项即可. 【分析】对于A，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，对立事件是在一次试验中，有且仅有一个发生的两个事件， 互斥事件未必是对立事件，对立事件一定是互斥事件，A错误； 对于B，做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率为，频率不等同于概率，B错误； 对于C，由交集定义知：，C错误； 对于D，频率与概率之间关系为：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，D正确. 故选：D. 9．（24-25高一下·天津东丽·期末）考虑掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（      ） A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．掷10次硬币，事件发生的次数一定是5 C．重复掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D．当投掷次数足够多时，事件发生的频率接近0.5 【答案】D 【分析】对A，根据随机事件的概率即可求解；对B，C，D，根据随机事件的频率和概率的定义即可判断. 【详解】解：对A，掷2次硬币，有个基本事件， 其中“一个正面，一个反面”有两个基本事件， 故该事件发生的概率为，故A错误； 对B，掷10次硬币，事件发生的次数不一定是5，故 B 错 误； 对C，重复掷硬币，事件发生的频率接近于事件发生的概率，故C错误； 对D，当投掷次数足够多时，事件发生的频率接近事件发生的频率，即0.5，故 D 正 确. 故 选：D. 5．（多选）（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）（多选）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大 B．射击运动员击中靶的概率是0.9，说明他中靶的可能性很大 C．某彩票中奖的概率是2%，买100张一定有2张中奖 D．某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论 【答案】AB 【详解】对A，掷一枚硬币正面朝上的概率是0.5，抛一枚图钉钉尖着地的概率不是0.5，钉尖朝上的概率比较大，所以A对； 对B，射击运动员击中靶的概率是0.9，所以中靶的可能性很大，所以B对； 对C，概率只是一种可能性的预测，并不是绝对的，买100张也有可能全部没有中奖，所以C错； 对D，只对一个小区抽样并不能代表整个城市，所以D错. 【考点3：用频率估计概率】 1．（25-26高二下·海南·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用概率的性质求解即可. 【详解】由概率的性质得无论试验多少次，概率始终不变， 故第2027次出现正面朝上的概率是，故C正确. 2．（25-26高二上·江苏苏州·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【答案】A 【分析】先确定回答“是”的130人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为， 回答A问题“是”的学生人数为， 所以回答B问题“是”的学生人数为， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 故选：A 3．（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个 (2) 【分析】（1）根据分层抽样的概念确定各层抽取的个数； （2）利用频率对概率进行估计. 【详解】（1）因为耐用型总共有个，合格型总共有个， 抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为. 所以耐用型抽取个，合格型抽取个． （2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为． 4．（25-26高二下·北京平谷·阶段检测）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，分别估计的概率． 【答案】(1) (2)，，. 【分析】（1）由频率估计概率可得结论； （2）先分别求甲校，乙校抽取一人选择正确和选择错误的概率，再利用独立事件概率乘法公式计算相应概率即可； 【详解】（1）因为甲校所抽查的100名学生中选择正确的人数为80， 所以甲校所抽查的学生该题选择正确的频率为， 故估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率； （2）设事件为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设事件为“从乙校抽取1人做对”，则，， 依题意可知， ， . 5．（25-26高一上·北京西城·期末）运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)丙 【分析】（1）由频率计算公式即可求解； （2）分别计算乙丙获得优胜奖的概率，再计算乙丙都没获得优胜奖的概率，再由对立事件计算公式即可求解； （3）结合甲乙丙高分段的数量（频率）和最大值即可判断. 【详解】（1）由甲：181   180   179   178   173   172   170   168 8组数据中成绩达到以上（含）有4组， 甲在决赛中获得优胜奖的概率为； （2）由乙：180   179   175   171   170   169 6组数据中成绩达到以上（含）有3组， 故乙在决赛中获得优胜奖的概率为； 由丙：183   176   165 3组数据中成绩达到以上（含）有2组， 故丙在决赛中获得优胜奖的概率为； 则乙、丙两人在决赛中都没获得优胜奖的概率为：， 故乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率为； （3）甲的成绩达到以上（含）的数量为2， 概率（频率）为，最大值为181； 乙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为180； 丙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为183； 可判断丙获得冠军的概率最大. 【考点4：游戏的公平性】 1．（25-26高一·全国·随堂练习）某学校校庆，给每班发了5张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5位同学参加，为此制作了50张卡片，其中5张写有“庆典”字样．50位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的概率只有，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为．抽中的机会未必相等．”你认为王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？ 【答案】公平，理由见解析. 【分析】利用随机抽样的定义及性质分析可得抽签方法公平即可求解. 【详解】王老师的抽签方法公平，每位同学抽中的概率均为，即. 理由如下： 小明的话看似也有道理，第二名同学在第一名同学抽中和未抽中的情况下抽到门票的概率有所不同，但抽中门票的总概率是相同的，只考虑第个人摸卡片的情况，50张卡片中的每张卡片有可能被第50个人摸到，且可能性相等，其中有5张情形写有“庆典”，因此第50个人摸到写有“庆典”的卡片的概率为，即，与摸卡片的人的摸卡片顺序无关. 2．（高一数学课时作业（61））小明、小英、小强三个同学进行某种游戏时需要确定做游戏的先后顺序，他们商定：将两枚一元硬币同时向上抛出，落地后，如果两个都是正面向上，小明先做；如果两个都是反面向上，小英先做；如果两个一正一反，小强先做. 确定了第一以后（不妨设小强已确定为第一），再将一枚硬币向上抛出，落地后，如果正面向上，小明第二，小英第三；如果反面向上，小英第二，小明第三． 请你思考一下，他们用这样的办法来确定做游戏的先后顺序是否合理？各人取得第一、第二和第三的机会是否均等？为什么？ 【答案】答案见解析 【详解】根据概率的定义，向上抛一枚硬币，落地时正面向上和反面向上的概率都是. 在两枚硬币同时抛掷时，如果设一枚硬币为A，另一枚硬币为B，那么可能出现的情况有： （A正面，B正面），（A正面，B反面），（A反面，B正面），（A反面，B反面）． 即出现正正、反反、一正一反的概率分别为，，. 由上面的分析可知，小明、小英、小强三人约定的方法对于决定第一来说，是不合理的，小强得到第一的机会要比小英、小明大；对于决定第二、第三来说，是合理的． 【题型】概率的实际应用 【难度】B 【核心素养】数学建模、数学运算 3．（25-26高一·湖南·课后作业）甲、乙两人玩一个游戏，每次各出1~5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问：B与C是否为互斥事件？为什么？ (2)这个游戏规则公平吗？试说明理由. 【答案】(1)不互斥 (2)不公平 【分析】（1）根据互斥事件的定义判断； （2）求出和为偶数与和为奇数的概率后判断． 【详解】（1）共玩三次，事件和事件可以同时发生，因此它们不互斥； （2）根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数知一次游戏中基本事件有25个，其中和为奇数的有12个：12，14，21，23，25，32，34，41，43，45，52，54，和为偶数的有13个:11，13，15，22，24，31，33，35，42，44，51，53，55，因此甲蠃的概率高于乙蠃的概率，所以这个规则不公平． 4．（25-26高一下·重庆·期末）小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法，他拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小颖，将数字为4，6，7，10的四张牌给自己，并按如下游戏规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去. (1)求小颖去看电影的概率； (2)这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由，若不公平，在小颖和哥哥所拿4张牌不变的情况下，如何修改游戏规则使其对双方公平. 【答案】(1) (2)不公平，游戏规则修改见解析 【分析】（1）利用树状图展示所有的结果数，再找出两数和为偶数的结果数，利用古典概型概率公式直接计算即可； （2）根据两人看电影的概率大小判断是否游戏规则公平，然后根据数字和是不是3的倍数修改规则，使得两人看电影概率一样即可. 【详解】（1）由题意画树状图:    两张牌的数字之和所对应16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19， 其中和为偶数的结果有6,8,12,10,12,16共6种，所以小颖去看电影的概率为； （2）哥哥设计的游戏规则不公平，因为小颖去看电影的概率为， 哥哥去看电影的概率为，，此规则对哥哥更有利； 因为在所拿的牌不变的情况下，两张牌的数字之和所对应16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和为3的倍数的结果有8个， 故可修改规则为：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为3的倍数，则小颖去；如果和不是3的倍数，则哥哥去. 5．（25-26高一·全国·课后作业）在编号分别为i（i＝0，1，2…，）的n名同学中挑选1名参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，若两枚骰子的点数之和除以n所得的余数为i，则选编号为i的同学．当时，这种规则对每名参加活动的同学公平吗？请说明理由． 【答案】当时，这种规则对每名参加活动的同学都是公平的，理由见解析 【分析】用列举法列举出抛掷两枚骰子的所有可能的情况，从而求出两枚骰子的点数之和除以6所得的余数的情况及概率，得到相应的结论. 【详解】当时，设事件表示“所得的余数为i，i＝0，1，2，3，4，5”． 由题意知抛掷两枚骰子的所有可能的情况如下表． （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 两枚骰子的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12． 设事件表示“两枚骰子的点数之和为j，j＝2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12”，则，，，，，，，，，，． 所以， ， ， ， ， ， 所以当时，这种规则对每名参加活动的同学都是公平的． 【考点5：决策中的概率思想】 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨或下跌（两种情况概率各）．若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略： 策略P：按需购买，当前买1件（100元），下个月按当时价格买1件； 策略Q：当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为元）． 不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？（   ） A．策略P B．策略Q C．平均总成本相同 D．需根据价格波动幅度判断 【答案】B 【分析】分别计算出两种策略的平均总成本，进行比较即可判断． 【详解】先分析策略（分两次购买）：当前成本：100元（第1件）．下个月价格：上涨后为元，下跌后为元，概率各，则下月购买第2件的平均成本为元； 所以总平均成本：元． 再看策略（一次性囤货2件）：无论下个月价格如何波动，总成本固定为元（享受折扣后无价格风险）． 所以策略平均总成本197.5元＞策略固定成本190元，尽管价格波动非对称，但策略通过固定折扣直接降低了总成本，且折扣后的单价（95元／件）低于策略P的预计单价（97.5元／件），因此策略更优， 故选：B． 2．（25-26高二·上海·课堂例题）社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．1965年，华纳（Stanley L. Warner）发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法．华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题，在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的，另一个则是无关紧要的．这样，应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他自己知道回答的是哪个问题．例如，在调查运动员是否服用兴奋剂的时候，设计一个从袋中摸球的试验：袋中放有1黑1白两个大小与质地相同的小球，运动员从中随意摸出1个小球．无关紧要的问题是：你摸出的小球是白色的吗？而敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗？然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．假设用这个方法调查了200名运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂． 【答案】 【分析】根据抛掷硬币出现正面的概率为，摸出的小球的是白色的概率也是，用这种方法用于个运动员，可得个运动员回答“是”，可得这人中有人回答“是”的运动中使用了兴奋剂，根据古典概率及概率的计算公式，即可求解. 【详解】因为掷硬币出现正面的概率是，大约有100人回答了第一个问题，因为摸出的小球的是白色或黑色的可能性是相同的，因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人回答了“是”，其余6个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此我们估计这群人中大约有6%的人服用过兴奋剂． 3．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）如图，地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 (1)试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站的概率： (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各自的路径. 【答案】(1)； (2)甲应选择路径，乙应选择路径. 【分析】（1）根据频数计算频率即可； （2）分别计算两个时间段的概率，比较概率的大小可得结论. 【详解】（1）调查的100人，其中40分钟内不能赶到火车站有：（人）， 因此40分钟内不能赶到火车站的频率为， 用频率估计概率，所以40分钟内不能赶到火车站的概率为. （2）设分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站； 分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站， 依题意，，， 由，得甲应选择路径； ，， 由，得乙应选择路径， 所以甲应选择路径，乙应选择路径. 4．（25-26高一·全国·单元测试）对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 150 200 300 400 检出次品件数 5 7 9 15 21 30 检出次品频率 (1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率； (2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？ 【答案】(1)0.1，0.07，0.06，0.075，0.07，0.075； (2)0.075； (3)75件. 【分析】（1）根据频率的定义可得每次检出次品件数除以当次抽取总件数即为对应的频率，即可一一填写； （2）经验概率即为6次检出次品频率的稳定值，计算其平均值可得其值约为0.075； （3）由（2）中求得的经验概率可得1000件西装中的次品件数，可得需要预备的正品件数. 【详解】（1）利用频率的计算公式可得， 每次次检出次品的频率即为当次检出次品件数除以本次抽取件数， 所以从左到右的6次检测对应的频率分别为： ，，， ，， 所以，对应的频率表格如下： 抽取件数 50 100 150 200 300 400 检出次品件数 5 7 9 15 21 30 检出次品频率 0.1 0.07 0.06 0.075 0.07 0.075 （2）从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率约为6次检出次品频率的稳定值， 即， 所以抽到次品的经验概率约为； （3）由（2）可知，销售1000件西装大约有件次品， 所以，应当准备75件正品西装以供买到次品的顾客调换. 5．（2026高一·全国·专题练习）阶梯挑战赛中的排名跃迁，某电竞比赛采用阶梯挑战赛制，共有5个阶梯（从低到高为阶），初始时10支队伍随机分布在各阶梯上，分布情况为：1阶2队、2阶2队、3阶2队、4阶2队、5阶2队． 比赛规则： 1．每轮比赛，各阶梯内随机配对进行比赛（若某阶梯队伍数为奇数，则有一队轮空） 2．比赛胜者上升1阶，败者下降1阶（5阶胜者保持5阶，1阶败者保持1阶） 3．每轮结束后，重新按阶梯排序，进行下一轮比赛 4．比赛共进行3轮 假设每支队伍实力相当，任意两队比赛获胜概率均为，且各场比赛结果相互独立． (1)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后仍位于3阶的概率； (2)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后升至5阶的概率； (3)若某支队伍希望最大化3轮后位于5阶的概率，应选择从哪一阶开始比赛？证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)3轮后，证明见解析 【详解】（1）设表示该队第n轮后所处的阶梯，． 要使，需满足3轮中胜场数等于负场数，即1胜2负或2胜1负（因为3轮总比赛场次为3）． 计算1胜2负的路径：—（概率：）—（概率：）—（概率：）—（概率：） 计算2胜1负的路径：—（已计算）（概率：）—（概率：）—（已计算） 注意：部分路径重复计算，实际不同路径为：—— 每条路径概率均为，共有6条路径，因此： （2）要使，需满足3轮中至少2胜且路径不违反阶梯边界． 可能路径：—（3胜，但第3轮在5阶胜后仍为5阶）：概率—（2胜1负）：概率—（2胜1负）：概率， 因此：， （3）设从k开始，3轮后位于5阶的概率为． 对于—必须3连胜：，概率， 对于—3连胜：，概率—2胜1负（不影响最终到5阶）：（无法到5阶）（无法到5阶）（无法到5阶）（已计入3连胜）因此，， 对于—如（2）所计算，， 对于—至少1胜：（概率）—1胜2负：（概率）—2胜1负：（无法到5阶）（概率）（已计入）因此，，对于—无需胜场：（概率1） 比较：， 因此，从5阶开始比赛，3轮后位于5阶的概率最大（为1）.这符合直观，因为高阶梯起点意味着离目标更近，且5阶胜者保持5阶的规则使得从5阶开始的队伍不会下降． 【考点6：天气预报中的概率解释】 1．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率公式直接得出结论. 【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为. 故选:B 2．（2026·湖南株洲·模拟预测）气象局预报，今天武汉的降雨概率是80%，长沙的降雨概率是20%，下列说法正确的是（    ） A．武汉今天一定降雨，而长沙一定不降雨 B．武汉今天可能降雨，而长沙可能没有降雨 C．武汉和长沙都会降雨 D．长沙降雨的可能性比武汉大 【答案】B 【详解】武汉降雨概率80%仅说明其降雨可能性较高，并非一定降雨；长沙降雨概率20%仅说明其降雨可能性较低，并非一定不降雨，故A错误； 武汉、长沙降雨均为随机事件，因此武汉可能降雨、长沙可能未降雨，该表述符合随机事件的性质，故B正确； 两地降雨均为随机事件，无法确定必然同时发生，故C错误； 武汉降雨概率80%大于长沙的20%，因此武汉降雨的可能性比长沙大，故D错误. 3．（25-26高一·全国·课后作业）气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（    ） A．本市明天将有的地区降雨 B．本市明天将有的时间降雨 C．明天出行不带雨具肯定会淋雨 D．明天出行不带雨具可能会淋雨 【答案】D 【分析】根据概率的意义：是说“明天下雨发生的可能性”，找到正确选项即可． 【详解】本市降雨的概率是， 是说明天下雨发生的可能性很大， 但不一定就一定会发生． 所以只有合题意． 故选：D． 4．（25-26高一·全国·课后作业）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（    ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 【答案】D 【分析】根据概率的实际意义即可判断. 【详解】明天本地区降雨的概率为90%意味着有90%的可能会下雨，结合选项可知只有D正确， 故选：D. 5．（25-26高一·全国·课后作业）生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了.”学了概率后，你能给出解释吗？ 【答案】答案见解析 【分析】结合概率的定义解释即可. 【详解】天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为的事件也可能不出现， 因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为”的天气预报是错误的. 【考点7：抽奖、彩票的概率解释】 1．（24-25高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 2．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）“某彩票的中奖概率为”意味着（    ） A．买张彩票就一定能中奖 B．买张彩票中一次奖 C．买张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性是 【答案】D 【分析】根据概率的意义可得出结论. 【详解】由概率的意义可知，“某彩票的中奖概率为”意味着“购买彩票中奖的可能性是”. 故选：D. 3．（25-26高一·全国·课后作业）“某彩票的中奖概率为”意味着（    ） A．购买彩票中奖的可能性为 B．买100张彩票能中一次奖 C．买100张彩票一次奖也不中 D．买100张彩票就一定能中奖 【答案】A 【分析】根据概率的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为，可得购买彩票中奖的可能性为，所以A正确； 对于B、C中，买任何1张彩票的中奖率都是，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B、C错误； 对于D选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D错误. 故选：A. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在生活中，我们有时要用抽签的方法决定一件事情，例如5张彩票中有1张为中奖彩票，5个人按照顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的中奖彩票，那么先抽还是后抽（后抽的人不知道先抽的人抽出的结果）对每个人来说公平吗？也就是说，每个人抽到中奖彩票的概率相同吗？ 【答案】答案见解析 【分析】可求出每人(在不知先抽的人抽出的结果)抽到的概率 【详解】不妨把问题转化为排序问题， 即把5张票随机地排列在位置1、2、3、4、5上，对于这张奖票来说， 由于是随机地排列，因此它的位置有5种可能 ，故它排在任一位置上的概率都是. 5个人按排定的顺序去抽，比如甲排在第三位上，那么他抽到奖票的概率，即奖票恰好排在第三个位置上的概率为. 因此不管排在第几位上去抽，在不知道前面的人抽出结果的前提下，得到奖票的概率都是. 因此，先抽还是后抽，对各人来说是公平的. 5．（2026高三·全国·专题练习）某种体育彩票的抽奖规则是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个.有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码，也有人说，由于每个号码出现的机会相等，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？ 【答案】不对 【分析】根据概率的意义判断. 【详解】抽奖中的36个球的大小、重量等应该是一致的， 严格说，为了保证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次， 除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形，和没有用过的球一样. 因此，当你把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时， 不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响， 上述两种说法都是错的. 【考点8：其他问题中的概率解释】 1．（25-26高三上·上海·期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 【答案】A 【分析】根据概率的概念与意义求解. 【详解】他踢点球进门的概率是，所以他第3次踢进门的概率为. 故选：A 2．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 【答案】B 【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案. 【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为，大约有150人回答第一个问题， 又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的， 在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”， 共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人， 因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为3.33%. 故选：B 3．（2026·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是______． 【答案】 【分析】设非吸烟者患肺癌的概率为，根据题意列出方程，求出，即可得到答案 【详解】本次研究调查中，非吸烟者有7500人，吸烟者样本量有2500人， 设非吸烟者患肺癌的人数是人，则，， 因此，本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数为45人． 故答案为：. 4．（25-26高一·全国·随堂练习）根据统计，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次． (1)求这名运动员的投篮命中率； (2)若这名运动员要想投篮命中10000次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100） (3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确． 【答案】(1) (2) (3)不正确 【分析】（1）根据命中率计算方法即可得到答案； （2）根据命中率反推出投篮次数即可； （3）根据概率的含义即可判断. 【详解】（1）根据题意，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次， 则这名运动员的投篮命中率； （2）若这名运动员要想投篮命中10000次，则有； （3）虽然这名运动员的投篮命中率，但由概率的定义，“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”说法不正确. 5．（2026·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． 【答案】(1) (2)甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元 【分析】（1）用频率估计概率,利用频率公式即可求； （2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润. 【详解】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为． （2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）． 乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）． 【考点9：随机模拟问题】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率. 【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组， 所以估计四天中恰有三天下雨的概率为. 故选：B. 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出基本事件的个数以及符合条件的事件的个数，进而结合古典概型概率公式即可求出结果. 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，016，543，247，062共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 3．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 【答案】C 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算， 知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 故选：C. 4．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出组随机数中代表“次中至少两次投中环以上”的数组的组数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中， 代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组， 因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为. 故选：A. 5．（25-26高一·全国·课后作业）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是： 则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________. 【答案】. 【分析】由题意可知，恰有2天涨潮就是在这组数中，恰有两个是1或2，从这20组数找出恰有两个是1或2的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可 【详解】产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为， 故答案为： 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $