2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷6

**基本信息** 2027年广东学业水平数学模拟卷通过基础与综合题梯度设计，覆盖集合、函数、三角、立体几何等核心知识，检测学生数学抽象、逻辑推理与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/72|集合关系、复数几何意义、函数性质|第4题结合指数函数单调性考查充要条件，体现数学思维严密性| |填空题|6/36|向量垂直、统计量、函数最值|15题用基本不等式求2ˣ+2⁻ˣ最小值，培养数学运算能力| |简答题|4/42|三角函数周期、统计分析、立体几何|22题动态点E证明线线垂直，考查空间观念与逻辑推理|

2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷6 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x≤1}，则(　　) A.A=B B.A∩B=∅ C.B⊆A D.AB 2.已知复数z=i3(1+i)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3函数的定义域是 （ ） A． B． C． D． 4.已知f(x)=2x，则“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.的值是（    ） A．1 B． C． D． 6.若若不等式ax2+2x+b<0的解集是∪​， 则​=（       ） A．​ B． C．0 D．6 7.下列函数是奇函数的是(　　) A.f(x)=cos x B.f(x)=x2+x C.f(x)= D.f(x)=ln|1+x| 8.若角α的终边位于第二象限，且sin α=，则sin等于(　　) A. B.- C. D.- 9.下列说法不正确的有(　　) A.若事件A⊆B，则P(A)≤P(B) B.若A，B为对立事件，则P(A)+P(B)=1 C.若A，B为互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B) D.P(A∪B)<P(A)+P(B) 10.如图所示，在空间四边形ABCD中，F，G分别是BC，CD的中点，EH∥平面BCD，则EH与FG的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 11.在△ABC中，==，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则等于(　　) A.3 B. C. D. 12.知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论不正确的是(　　) A.f(f(1))=1 B.若f(x)=3，则x的值是 C.f(x)<1的解集为 D.f(x)的值域为 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于 14.一名同学的成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数是_____,众数是______　 15. 2x+2-x的最小值是 16.已知角α的终边上有一点P(1，-2)，则sin α-cosα的值为　　　　　　.  17.已知f(x+1)=2x，且f(m)=4，则m=　　　　.  18.已知圆锥的底面半径为，母线长为2，则这个圆锥的内切球半径为________ 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间. 20.甲和乙射箭，两人比赛的分数结果如下： 甲 乙 求甲和乙分数的平均数和方差，并说明甲和乙发挥的情况. 21.在△ABC中，AB=2，AC=4，角A为钝角，△ABC的面积为2. (1)求A的大小；(2)若D是BC的中点，求AD的长度； 22.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AB=1,AD=2,F是PB的中点,点E在边BC上移动. (1)求三棱锥E-PAD的体积;(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE. 2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷6解析 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x≤1}，则(　　) A.A=B B.A∩B=∅ C.B⊆A D.AB 【答案】D 【详解】因为集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x≤1}，所以A中元素都属于B，且A≠B，所以A是B的真子集. 2.已知复数z=i3(1+i)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【详解】z=i3(1+i)=－i(1+i)=1－i，z在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限. 3函数的定义域是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得：，所以该函数的定义域为. 4.已知f(x)=2x，则“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为函数f(x)=2x在R上为增函数， 则“f(x1)=f(x2)”可以推出“x1=x2”，“x1=x2”也可推出“f(x1)=f(x2)”， 故“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的充要条件. 5.的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】 6.若若不等式ax2+2x+b<0的解集是∪​， 则​=（       ） A．​ B． C．0 D．6 【答案】A 【详解】因为不等式ax2+2x+b<0的解集是∪， 所以-和是方程ax2+2x+b=0的两个实数根，由解得则= 7.下列函数是奇函数的是(　　) A.f(x)=cos x B.f(x)=x2+x C.f(x)= D.f(x)=ln|1+x| 【答案】C 【详解】对于A，f(x)=cos x为偶函数，不符合题意； 对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(x)=x2x ≠ ±f(x)，故函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(x)==f(x)，故函数为奇函数，符合题意； 对于D，函数的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意. 8.若角α的终边位于第二象限，且sin α=，则sin等于(　　) A. B.- C. D.- 【答案】D 【详解】∵sin α=，且角α的终边位于第二象限，∴cosα===， 则sin=cosα=. 9.下列说法不正确的有(　　) A.若事件A⊆B，则P(A)≤P(B) B.若A，B为对立事件，则P(A)+P(B)=1 C.若A，B为互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B) D.P(A∪B)<P(A)+P(B) 【答案】D 【详解】若事件B包含事件A，则P(A)≤P(B)，故A正确； 若A，B为对立事件，则P(A)+P(B)=1，故B正确； 若A，B为互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，故C正确； 因为当A，B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，故D错误. 10.如图所示，在空间四边形ABCD中，F，G分别是BC，CD的中点，EH∥平面BCD，则EH与FG的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 【答案】A 【详解】因为F，G分别为BC，CD的中点，所以FG∥BD， 因为EH∥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，EH⊂平面ABD， 所以EH∥BD，由平行的传递性可知EH∥FG. 11.在△ABC中，==，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则等于(　　) A.3 B. C. D. 【答案】A 【详解】　==)==×=， =+=+-=+， 因为=λ+μ，所以λ=，μ=，所以=3. 12.知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论不正确的是(　　) A.f(f(1))=1 B.若f(x)=3，则x的值是 C.f(x)<1的解集为 D.f(x)的值域为 【答案】C 【详解】对于A，∵f(x)=则f(1)=1+2=1，∴f(f(1))=f(1)=12=1，故A正确； 对于B，当x≤1时，由f(x)=x+2=3，解得x=1(舍去)；当1<x<2时，由f(x)=x2=3，解得x=(舍去)或x=， ∴f(x)=3的解为x=，故B正确； 对于C，当x≤1时，由f(x)=x+2<1，解得x<1；当1<x<2时，由f(x)=x2<1，解得1<x<1， ∴f(x)<1的解集为∪，故C错误； 对于D，当x≤1时，f(x)=x+2≤1+2=1；当1<x<2时，f(x)=x2∈， ∴f(x)的值域为，故D正确. 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于 【答案】2 【详解】　因为b⊥(b-4a)，所以b·(b-4a)=0，所以b2-4a·b=0，即4+x24x=0，解得x=2. 14.一名同学的成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数是_____,众数是______　 【答案】86.5，84 【详解】　将样本数据按升序排列为79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均数==86.5，因为84出现次数最多，所以众数为84. 16. 2x+2-x的最小值是 【答案】2 【详解】2x+2-x≥2=2，当且仅当x=0时，等号成立. 16.已知角α的终边上有一点P(1，-2)，则sin α-cosα的值为　　　　　　.  【答案】 【详解】因为sin α==-，cosα==，所以sin α-cosα==. 17.已知f(x+1)=2x，且f(m)=4，则m=　　　　.  【答案】 【详解】由题意知f(x+1)=2x，令x=2，得f(2+1)=4，即f(3)=4,又f(m)=4，∴m=3. 18.已知圆锥的底面半径为，母线长为2，则这个圆锥的内切球半径为________ 【答案】 【详解】设圆锥的高为h，因为圆锥的底面半径r=，母线长l=2， 则h==，易知圆锥的轴截面为等边三角形， 设圆锥的内切球半径为R，则=R2+，解得R=. 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间. 【小问1详解】 因为f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π，所以=π，解得ω=1 【小问2详解】 由(1)知f(x)=sin，令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)，得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 20.甲和乙射箭，两人比赛的分数结果如下： 甲 乙 求甲和乙分数的平均数和方差，并说明甲和乙发挥的情况. 【详解】甲分数的平均数为， 方差为， 乙分数的平均数为， 方差为， 所以，，故甲乙分数的平均数相同，但甲比乙发挥更为稳定. 21.在△ABC中，AB=2，AC=4，角A为钝角，△ABC的面积为2. (1)求A的大小；(2)若D是BC的中点，求AD的长度； 【小问1详解】 ∵AB=2，AC=4，△ABC的面积为2， ∴S△ABC=AB·AC·sinA=×2×4×sinA=2，∴sinA=，又A为钝角，∴A=， 【小问2详解】 ∵D是BC的中点，∴=+)， ∴=+)2，∴=2+2+)=2×2×4×()]=3 ∴||=，即AD=. 22.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AB=1,AD=2,F是PB的中点,点E在边BC上移动.(1)求三棱锥E-PAD的体积;(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE. 【小问1详解】 解: 矩形ABCD,AB=1, AD=2, 所以 因为PA⊥平面ABCD,且PA=1, 【小问2详解】 证明: ∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC. 又BC⊥AB,PA∩AB=A, PA、AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB. 又AF⊂平面PAB,∴BC⊥AF. ∵PA=AB=1,且F是PB的中点,∴AF⊥PB. ∵PB∩BC=B, PB、BC⊂平面PBC，∴AF⊥平面PBC. 又PE⊂平面PBC,∴AF⊥PE ∴无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE 学科网（北京）股份有限公司 $