2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务二十五 正弦定理和余弦定理课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦正弦定理和余弦定理，包含主干知识梳理（公式、变形、解的情况、面积公式）、基础检测、能力达标例题（解三角形、判断形状、范围最值）及规律方法总结，构建系统复习支架。 资料特色鲜明，知识结构化呈现（表格对比定理应用场景、解的情况分类），分层练习设计（基础题到综合题），注重数学思维（推导过程详细，如余弦定理求角、正弦定理多解分析）和语言表达（规范解题步骤），帮助学生巩固基础提升能力，为教师提供清晰教学路径。高一学生处于适应高中数学阶段，此资料能助其系统梳理知识，夯实基础，为后续学习铺垫。

高一数学期末复习课程 任务二十五·正弦定理和余弦定理 一、主干知识梳理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 =　　　　　=　　　　　=2R  a2=　　　　 　,  b2=a2+c2-2accos B, c2=　　　 　  b2+c2-2bccos A a2+b2-2abcos C 定理 正弦定理 余弦定理 常见 变形 (1)a=　　　　　,  b=　　　　　,  c=　　　　　. (2)sin A=　　　　,  sin B=　　　　　,  sin C=　　　　　. (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C   不要错以为a=sin A cos A=　　 　　,  cos B=　　　 　,  cos C=　　 　  2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C 定理 正弦定理 余弦定理 可解 决的 问题 (1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(该三角形具有不唯一性) (1)已知三边,求各角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角; (3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边 2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况 3.三角形的面积公式 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 则面积S=absin C=　　　　　=　　　　　. (公式中是两条边和夹角的正弦) bcsin A acsin B △ABC的面积公式的其他形式 (1)S△ABC=aha(ha表示边a上的高); (2)S△ABC=(a+b+c)r(r为△ABC内切圆半径); (3)S△ABC=,其中R为△ABC外接圆半径; (4)S△ABC=,其中p=(海伦公式). 1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=(　　) A. B. C. D. C 解析:由余弦定理,得cos∠BAC==- 因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=,故选C. 二、基础检测 2.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=,a=1,B=,则c=(　　) A. B.2 C. D.3 B 解析:由余弦定理得cos B=,即-,整理得c2+c-6=0,解得c=2(负值舍去). 3.在△ABC中,a=1,b=,B=60°,则A=(　　) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° A 解析:由正弦定理得,解得sin A= 因为a<b,所以A为锐角,所以A=30°,故选A. 4.在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=(　　) A. B. C. D. A 解析:由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos C=16+9-2×4×3=9,解得AB=3,所以cos B=,故选A. 5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A= (　　) A. B. C. D. C 解析:在△ABC中,由b=c,得cos A= 又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即tan A=1. 又A∈(0,π), 所以A=,故选C. 6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=, 则△ABC的面积为(　　) A.2+2 B.+1 C.2-2 D.-1 B 解析:由及已知条件得c=2 又sin A=sin(B+C)= 从而S△ABC=bcsin A=2×2+1.故选B. 7.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b是方程x2-3x+2=0的两个实数根,且△ABC的面积为,则C的大小是　　 　 　　. 45°或135° 解析:根据题意,得ab=2,则S△ABC=2×sin C=,解得sin C=,则C=45°或C=135°. ①.利用正弦、余弦定理解三角形 例1 (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=5,b=11,cos C=. (1)求△ABC的面积; (2)求c及sin A的值. 三、能力达标 解:(1)因为在△ABC中,cos C=,sin C>0, 所以sin C=, 故△ABC的面积为absin C=5×11=22. (2)在△ABC中,a=5,b=11,cos C=, 所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=52+112-2×5×11=80. 又c>0,所以c=4 由(1)可知sin C=,所以由正弦定理得,即,解得sin A= (2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(A-B)cos C=cos Bsin(A-C). ①判断△ABC的形状; ②若△ABC为锐角三角形,sin A=,求的最大值. 解 ①由题意(sin Acos B-cos Asin B)·cos C=cos B(sin Acos C-cos Asin C), 整理得cos A(cos Bsin C-sin Bcos C)=cos Asin(C-B)=0, 故cos A=0或sin(C-B)=0, 当cos A=0时,A=,△ABC为直角三角形, 当sin(C-B)=0时,B=C,△ABC为等腰三角形, 当cos A=0且sin(C-B)=0时,A=,B=C=,△ABC为等腰直角三角形. 故△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形. ②由①知,若△ABC为锐角三角形,则一定为等腰三角形,∴b=c, 由正弦定理得asin B=bsin A=1,∴a=,b=, =2sin2B+sin A, ∴2sin2B+sin A=1-cos 2B+sin 2B=1+sin(2B-), ∵△ABC为锐角三角形,解得<B<, ∴当2B-时,即B=时2sin2B+sin A取最大值,最大值为+1. 综上,的最大值为+1. 及时练1： (1)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=(　　) A. B. C. D. B 解析:由正弦定理=2R(R为三角形外接圆半径), 可得sin A=,sin B=,sin C=, ∴(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B)可化为(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2+b2-c2=ab, ∴cos C= 又C∈(0,π),∴C= (2)(多选)下列对三角形解的个数的判断中正确的是(　　) A.a=30,b=25,A=150°,有一解 B.a=7,b=14,A=30°,有两解 C.a=6,b=9,A=45°,有两解 D.a=,b=,A=60°,无解 AD 解析:对A,由正弦定理得,sin B=又0<B<,故B只有一个解,正确; 对B,由正弦定理得,sin B==1.又0<B<,显然B=,只有一个解,错误; 对C,由正弦定理得,sin B=>1,显然B无解,错误; 对D,由正弦定理得,sin B=>1,显然B无解,正确. ②.判断三角形形状 例2 (1)在△ABC中,若,则△ABC是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形 B 解析:,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B. ,∴a≠b,∴2A+2B=π, ∴A+B=,∴C=故选B. (2)在△ABC中,已知a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C, 则该三角形的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 C 解析:∵a2+b2-c2=ab,∴cos C= 又C∈(0,π),∴C= 由2cos Asin B=sin C,得cos A=,∴b2=a2,即b=a. 又C=,∴该三角形为等边三角形. 及时练2：(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且=sin2,则△ABC的形状为(　　) A.等边三角形　　　　　 　 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 B 解析 由cos B=1-2sin2,得sin2, ,即cos B= (方法一)由余弦定理得,即a2+c2-b2=2a2,∴a2+b2=c2, ∴△ABC为直角三角形,又无法判断两直角边是否相等.故选B. (方法二)由正弦定理得cos B=, 又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, ∴cos Bsin C=sin Bcos C+cos Bsin C,即sin Bcos C=0, 又sin B≠0,∴cos C=0,又角C为三角形的内角, ∴C=,∴△ABC为直角三角形,又无法判断两直角边是否相等.故选B. (2)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中 正确的命题是(　　) A.若,则△ABC一定是等边三角形 B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形 C.若,则△ABC一定是直角三角形 D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是钝角三角形 A 解析 A选项,,由正弦定理得sin Acos B=sin Bcos A,即sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B)=0,因为A,B∈(0,π),所以A-B∈(-π,π),故A-B=0,即A=B,同理可得B=C,A=C,故A=B=C=,△ABC一定是等边三角形,A正确; B选项,acos A=bcos B,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以sin 2A=sin 2B,因为A,B,A+B∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π,故A=B或A+B=,故△ABC为等腰三角形或直角三角形,B错误; C选项,,即acos A=bcos B,由B选项可知,△ABC为等腰三角形或直角三角形,C错误; D选项,a2+b2-c2>0,故cos C=>0,故C为锐角,但不知A,B其中之一是否为钝角,故无法确定△ABC是否为钝角三角形,D错误.故选A. ③.正弦、余弦定理的应用 例3 (1)记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知sin C= cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 与三角形面积有关的计算 解:(1)由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcos C,且a2+b2-c2=ab, 可得cos C=因为C∈(0,π),所以sin C>0, 从而sin C=又因为sin C=cos B, 即cos B=又B∈(0,π),所以B= (2)由(1)可得B=,cos C=,C∈(0,π),从而C=,A=π-, 而sin A=sin()=sin()= 由正弦定理有, 从而a=c=c,b=c=c, 由三角形面积公式可知, △ABC的面积可表示为S△ABC=absin C=ccc2, 由已知△ABC的面积为3+,可得c2=3+,所以c=2 (2)在△ABC中,AB=6,BC=5. (1)若C=2A,求sin A的值; (2)若△ABC为锐角三角形,cos A=,求△ABC的面积. 解 (1)因为C=2A,所以sin C=sin 2A=2sin Acos A,所以cos A= 在△ABC中,由正弦定理得, 而AB=6,BC=5,所以cos A= 因为A∈(0,π),所以sin A= (2)在△ABC中,因为cos A=,所以sin A= 由正弦定理得,所以sin C=sin A= 因为△ABC为锐角三角形,所以cos C=, 所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C= 所以△ABC的面积为S△ABC=AB×BC×sin B=6×5 及时练3：记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=2. (1)求bc; (2)若=1,求△ABC面积. 解:(1)由=2bc=2,得bc=1. (2)由正弦定理得 =1, 即sin Acos B-cos Asin B-sin B=sin C=sin(A+B),化简得-sin B=2cos Asin B. ∵sin B≠0,∴cos A=- 又A∈(0,π),∴sin A=,∴S△ABC=bcsin A=1 例4 在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 且bsin B-asin A=sin C. (1)求角A的大小; (2)求sin Ccos B的取值范围. 与范围、最值有关的问题 解:(1)bsin B-asin A=[2bsin(A+)-c]sin C=(2bsin Acos+2bcos Asin-c)sin C, 由正弦定理得b2-a2=2bcsin Acos+2bccos A·sin-c2, 所以bcsin A+bccos A=b2+c2-a2=2bccos A,即sin A=cos A. 又cos A≠0,所以tan A=又A∈(0,π),所以A= (2)因为△ABC为锐角三角形, 所以A+B=+B>,B>,即<B< sin Ccos B=sincos B=(sincos B-cossin B)cos B =cos2B+sin Bcos B=sin 2B =sin 2B+cos 2B)+sin(2B+)+<B<, 则<2B+,-<sin(2B+)<, 所以0<sin Ccos B<即sin Ccos B的取值范围是(0,). 解三角形中的最值或范围问题的两种解法 (1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值; (2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性、单调性再结合角的范围确定最值或范围. 及时练:4：(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若ccos A-csin A-b+2a=0,且c=3,则△ABC周长的最大值为(　　) A. B. C.6 D.9 D 解析 在△ABC中,由ccos A-csin A-b+2a=0及正弦定理, 得sin Ccos A-sin Csin A-sin B+2sin A=0, 而sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 则sin Csin A+cos Csin A=2sin A, 由0<A<π,故sin A≠0,所以sin(C+)=1, 又0<C<π,解得C=,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C, 得9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-3()2=(a+b)2,解得a+b≤6, 当且仅当a=b=3时等号成立, 所以△ABC周长的最大值为9.故选D. 及时练4：(2)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且 (2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为　　　　　. 解析:因为a=2, 所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C. 由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理可得 cos A=又因为0<A<π,故A=因为cos A=,所以bc≤4,当且仅当b=c时,等号成立.由三角形面积公式知S△ABC=bcsin A=bcbc,故△ABC面积的最大值为 例5 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上, BDsin∠ABC=asin C. (1)证明:BD=b; (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. (1)证明 在△ABC中,由正弦定理,得,即sin∠ABC=, 又由BDsin∠ABC=asin C,得BD=asin C,即BD·b=ac. 又b2=ac,所以BD·b=b2,即BD=b. 正弦、余弦定理解决平面几何问题 (2)解 因为AD=2DC,所以AD=b,DC=b. 在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ADB=; 在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC= 因为∠ADB+∠BDC=π,所以=0,即b2=2a2+c2. 又b2=ac,所以ac=2a2+c2,即6a2-11ac+3c2=0,即(3a-c)(2a-3c)=0,所以3a=c或2a=3c.当3a=c时,由b2=2a2+c2,得a2=b2,c2=3b2,在△ABC中,由余弦定理得,cos∠ABC=>1,不成立.当2a=3c时,由b2=2a2+c2,得a2=b2,c2=b2,在△ABC中,由余弦定理,得cos∠ABC=综上,cos∠ABC= 及时练5:记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). (1)证明:2a2=b2+c2; (2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长. (1)证明 ∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), ∴sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin B·sin Ccos A-sin Bsin Acos C, 由正弦定理及余弦定理, 得ca-cb=bc-ba, 化简整理,得2a2=b2+c2. (2)解 ∵a=5,∴b2+c2=2a2=50.由余弦定理,得cos A=, ∴bc=b+c==9,∴a+b+c=14.故△ABC的周长为14. 任 务 完 成 A的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 $