2026年北京市中考数学冲刺模拟押题最后一卷

**基本信息** 2026年北京中考数学模拟卷，涵盖代数、几何、统计核心知识，以真实情境（如五一游客数据、智能机器人测试）和梯度问题（基础计算到动态几何综合）考查数学眼光、思维与语言，适配中考冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|轴对称、多边形内角和、概率|结合银行标志等生活情境考查几何直观| |填空题|8/16|二次根式意义、因式分解、内切圆|以统计图表、反例构造考查数据意识与推理| |解答题|12/68|动态几何（等边三角形动点）、函数应用（跳绳训练）、几何变换（旋转）|综合题融合实际问题（工厂材料费优化）与跨知识（函数与几何），体现创新意识与模型观念|

答案与解析 一、选择题： 1.【答案】A  【解析】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项B、、不是轴对称图形， 故选：． 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.【答案】B  【解析】解：由所给数轴可知， 且， 则， 显然只有选项符合题意． 故选：． 本题主要考查了实数与数轴及绝对值，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得， 这个多边形是八边形． 故选：． 本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握该知识点是关键． 4.【答案】C  【解析】解：如图， 从正六边形的个顶点中任取个顶点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种， 其中所得三角形是直角三角形的结果有：，，，，，，，，，，，，共种， 所得三角形是直角三角形的概率为． 故选：． 本题考查列表法与树状图法、正多边形和圆、概率公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5.【答案】B  【解析】解：关于的一元二次方程无实数根， ， 解得：， 的值可以是． 故选：． 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：万． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 7.【答案】A  【解析】解：连接，由作图可知垂直平分线段，    经过圆心，  ，，  ，  ，    故选：． 本题考查作图基本作图，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 8.【答案】B  【解析】解：点、都在反比例函数的图象上， ， 即， 四边形是正方形， ，， ≌， ，正确； ≌， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， 反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，， ，错误； ， ， ，正确； 作于点，如图， ，， 为等边三角形，，，， 在正方形中，，， ，即为等腰直角三角形， ， ， ， 解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 故直线的解析式为；正确； 故正确序号为， 故选B． 本题考查了反比例函数与正方形的综合运用，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于利用函数与正方形的相关知识逐一判断正误． 二、填空题： 9.【答案】．  【解析】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是， 故答案为：． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 12. 若该校共有学生人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有        人 【答案】  【解析】解：被调查人数是：人， 样本中最喜欢科学类的人数是：人， 则该校最喜欢科学类图书的学生大约有人． 故答案为：． 本题考查条形图和扇形图的综合问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13.【答案】  答案不唯一 答案不唯一  【解析】解：当，时，，但是， 故答案为：，答案不唯一． 本题主要考查了命题与定理的知识，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：连接、，  是的内切圆，切点分别为，，，  于点，于点，  ，  ，且，  ，  ，  ，  故答案为：． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、四边形的内角和等于、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：过点作的垂线，交的延长线于点， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 设，则， ， ， ， ， ， 解得负值已舍去， ， 故答案为：． 本题考查正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 16.【答案】甲   【解析】解：由题知， 当甲生产线生产批产品时， 材料费为：万元； 当乙生产线生产批产品时， 材料费为：万元； 当丙生产线生产批产品时， 材料费为：万元； 因为， 所以应向生产线甲分配批产品． 故答案为：甲； 当全部分给一条生产线时， 甲：，乙：，丙：， 则材料费最小为万元； 当一条线分配批，另外一条线分配批时， 甲乙：，甲丙：，乙甲：，乙丙：，丙甲：，丙乙：， 则材料费最小为万元； 当一条线分配批，另外一条线分配批时， 甲乙：，甲丙：，乙甲：，乙丙：，丙甲：，丙乙：， 则材料费最小为万元； 当一条线分配批，另外两条线各分配批时， 甲乙丙：，乙甲丙：，丙甲乙：， 则材料费最小为万元； 当两条线分配批，一条线分配批时， 甲乙丙：，甲丙乙：，乙丙甲：， 则材料费最小为万元； 因为， 所以材料费的最小值为万元． 故答案为：． 根据每条线的生产费用，分别进行计算即可； 根据每条线的生产费用，分别进行计算即可． 本题主要考查了函数的表示方法，准确的计算是解题的关键． 三、解答题： 17.【答案】  【解析】解： ． 本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键． 18.【解析】解：解不等式得，， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为， 数轴表示如下： ． 根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 19.【解析】解：根据题意可知，， 原式 ． 本题考查了分式的值，掌握分式的计算方法是关键． 20.【解析】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； 由可知，四边形是平行四边形， 则，， ， ， 平行四边形是矩形， ， ． 此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 21.【解析】解：设一次函数为，将，代入，  得，  解得，  所以函数的解析式是；  当时，，  当时，，  ，  当时，的取值范围是． 本题考查一次函数的求解，掌握用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解决此题的关键． 22.【解析】解：是边长为的等边三角形， ，， 由题意得：，，则有， 假设在点与点的运动过程中，能成为等边三角形， ， ， 解得， 当时，是等边三角形； 根据题意得，， ， 当时， ， ， ，即， 解得； 当时，同理可得，解得， 综上所述：当或，是直角三角形． 本题主要考查了一元一次方程的应用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 23.【解析】解：将款机器人的得分按照从小到大排列为：，，，，，，，，，，位于第个和第个的得分分别为，，故中位数；款机器人的得分中分出现的次数最多，故众数； 款机器人的得分的平均数分； 故答案为：，，； ， 通过比较方差，判断测试员对款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 故答案为：； 人， 答：估计打分为分的测试员有人． 本题考查了扇形统计图、众数、中位数，熟练掌握以上知识点是关键． 24.【解析】证明：在中，，过点作交于点，为边上一点，使得，连接，则：，    ，  ，  ，  为的直径，  ，  ，  ，  ，  ，  为的半径，  是的切线；  解：作，交的延长线于点，作于，连接，    为直径，  ，，  ，  设，则：，  ，  ，  ，，  ，，，  ≌，  ，，  ，，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，，  ，  ，，  ，  ，，，  ≌，  ，  ，  ． 本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 25.【解析】解：由曲线可得，当时，，当时，， 所以当跳绳训练天数为第天时，当天课堂测试的跳绳合格个数首次超过， 故答案为：； 时，从跳绳训练的第日起，合格标准中每一日比前一日多跳的跳绳个数逐渐减少或保持不变， 而在跳绳训练的第天跳绳个数为个，在跳绳训练的第天跳绳个数为个，在跳绳训练的第天跳绳个数为个， 第天和第天相差个，第天和第天相差个， 把分成和，即第天增加个，第天增加个，第天增加个才符合题意， ． 画出时的曲线如图， 故答案为：； 当时，无法完成跳绳个数不少于个的目标； 当时，由图象可得当，跳绳个数不少于个，故在参加课程第天时可以完成目标； 当时，由表格可得当，跳绳个数为个，故在参加课程第天时可以完成目标； 当时，由图象可得当，跳绳个数不少于个，故在参加课程第天时可以完成目标； 综上所述，小月最早在参加课程包含体能提升和跳绳训练的第天可以完成目标， 故答案为：； 若，则，则累计跳绳为， 若，则，则累计跳绳为， 若，则，则累计跳绳为， 若，则，则累计跳绳为， ， 小月应该选择安排天的体能提升训练，能使自己在课堂测试中的累计跳绳个数最多， 故答案为：． 本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键． 26.【解析】证明：二次函数的图象与轴有个公共点，理由如下： ， ， 则 ， 故二次函数的图象与轴有个公共点； 解：由可得抛物线的对称轴为直线， ， ； 解：由题可得二次函数， 令，则， 解得， 故AB，点， 的面积为， ， 即， 解得或． 本题考查了二次函数的增减性、与轴的交点个数、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握以上性质内容是解题关键． 27.【解析】解：以为中心，将线段顺时针旋转，  ，  在中，，，  ，  ；  ，证明如下：  如图，将沿翻折得到，连接，    ≌，  ，，，，  ，，  ，，，  ，  ≌，  ，  ，，  ，      ，  ，  ≌，  ，  ，  ． 本题考查几何变换的综合应用，主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，折叠的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 28.【解析】解：；两点之间线段最短； 作法：如图，连接，在上方作等边三角形， 再作的外接圆，过点作，垂足为， 交于，交圆于点，点即为要作的点． 点到点、点、直线的距离之和为的长． 点，到直线的距离， ，． 四边形是平行四边形． ，． ． ， ． 是等边三角形， ，． 在中，， ． 点到点、点、直线的距离之和最小值为． 管道路线总长度最短为． 设计方案：如图所示，分别以边和边向矩形外侧作等边三角形和等边三角形，再作和的外接圆． 连接，，分别交两圆于点和点， 连接，，，， ． 此时管道长度达到最小，最小值为， 三角形为等边三角形，， ，，， ，同理可求得为， ， 的长即为管道路线总长度的最小值，最小值为． 本题考查与圆有关的概念，等边三角形的性质，最短路径，正确作出辅助线是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年北京市中考数学冲刺模拟押题最后一卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列银行标志的图形中是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，数轴上的点，，分别对应实数，，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是(    ) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 4.从正六边形的个顶点中任取个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为(    ) A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程无实数根，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 6.年“五一”假期期间，我市接待游客突破万人次，同比增长数据“万”用科学记数法可表示为(    ) A. B. C. D. 7.如图，为的弦，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，，过点，作直线交优弧于点，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，与相交于点下列结论：；四边形与面积相等；若，；若，，则直线的函数解析式为其中正确的个数为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是        ． 10.因式分解：        ． 11.分式方程的解        ． 12.“黑发不知勤学早，白首方悔读书迟”某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有        人 13.能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为           ，           ． 14.如图，是的内切圆，切点分别为，，，，则的度数为            ． 15.如图，在正方形中，点为正方形内一点，且，，若，则的长为        ． 16.某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产每条生产线生产为正整数批产品后产生的材料费单位：万元与的对应关系如下： 甲 乙 丙 如果工厂生产批产品，且每条生产线至少生产批产品，那么为使材料费最小，应向生产线        分配批产品填“甲”“乙”或“丙”； 如果工厂将批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么批产品都完成生产后，材料费的最小值为        万元． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 18.本小题分 解不等式组，把不等式组的解集表示在数轴上． 19.本小题分 已知，求代数式的值． 20.本小题分 如图，在平行四边形中，对角线、交于点，、在上，且满足． 求证：四边形是平行四边形； 若，求证：． 21.本小题分 已知是的一次函数，其图象经过点，． 求这个函数的表达式． 当时，求的取值范围． 22.本小题分 如图所示，已知是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： 在点与点的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出，若不能，请说明理由． 为何值时是直角三角形？ 23.本小题分 某科研团队成功研发了三款智能机器人，分别命名为、、为评估这三款机器人的综合表现，该团队对它们开展了全方位测试综合表现测试由位专业测试员逐一评分，每位测试员最高可打分，最终成绩取所有测试员打分的平均分现对三款机器人的综合表现测试数据进行详细分析，绘制统计图，以评估哪款机器人的综合性能更优． 款机器人得分： 款机器人得分： A、、三款机器人综合表现测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 综合表现平均分 方差 和 根据上述信息，解答下列问题： ______；______；______； 通过比较方差，判断测试员对______选填，或款机器人综合表现测试评价的一致性程度更高； 若科研团队为得到更准确的结论，决定选取名测试员对款机器人进行二次测试，请你估计打分为分的测试员有多少人？ 24.本小题分 如图，在中，，过点作交于点，为边上一点，使得，以为直径作，交于点． 求证：是的切线； 若，求的值． 25.本小题分 为提升学生的跳绳能力，学校为同学们安排了“活力跳跳营”课程该课程分为体能提升不含跳绳和跳绳训练两个阶段：先进行天可取、、或的体能提升，从第天开始进入跳绳训练，每日跳绳训练后安排课堂测试，当跳绳的个数达到合格标准时立即停止跳绳体育老师根据以往经验制定的课堂测试合格标准为：一名同学在跳绳训练的第天跳绳个数为个经统计，对于给定的，可以认为是的函数当和时，部分数据如下： 时的值 时的值 时，从跳绳训练的第日起，合格标准中每一日比前一日多跳的跳绳个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各有序数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线． 当和时，曲线，如图所示． 解答下列问题： 观察曲线，当跳绳训练天数为第______天时，当天课堂测试的跳绳合格个数首次超过； 表中______，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； 小月同学报名参加了学校的“活力跳跳营”课程． 若小月的目标是在课堂测试中完成跳绳个数不少于个，在、、、四种训练方案中，小月最早在参加课程包含体能提升和跳绳训练的第______大可以完成目标； 若课程的总天数均为天，小月应该选择安排______天的体能提升训练，能使自己在课堂测试中的累计跳绳个数最多． 26.本小题分 已知二次函数其中、为常数． 若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由； 若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小； 若，设该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、点在点左侧，与轴交于点，当的面积为时，求的值． 27.本小题分 在中，，，是平面内的一点不与点重合，连接，以为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接． 如图，点在边上，用等式表示与之间的数量关系直接写出结果； 如图，点在外，延长到点，使，连接，，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 28.本小题分 【问题情境】 在锐角中，求作一点，使的值最小． 下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理． 如图，以为边向外作等边三角形，再作的外接圆，连接，与交于点则点即为求作的点． 在上取一点，使，连接，在中，根据“同弧所对的圆周角相等”，得______，故是等边三角形所以． 进而可证得≌所以． 所以． 由______从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空可得，的长即为的最小值． 【方法迁移】 如图，已知点，到直线的距离，在图中找一点，使点到点、点、直线的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值． 【拓展应用】 如图，若村庄，，，的连线构成一个矩形，且，． 现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来请你设计管道路线总长最短的铺设方案不需要说明理由，并直接写出路线总长用含，的代数式表示． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $