专题19 几何综合题目（北京专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题19 几何综合 · · 考情概览 · 考点1 几何综合 · 考点1 几何综合 1．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 2．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 3．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．      (1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； (2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 4．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得 (1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：； (2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 5．（2021·北京·中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 1．（2025·北京东城·一模）如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明， 2．（2025·北京顺义·一模）在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 3．（2025·北京房山·一模）如图，在中，，，是边上一点．为的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，连接． (1)依题意补全图形； (2)若点N是的中点，连接和，猜想线段与的数量关系和位置关系，并证明． 4．（2025·北京平谷·一模）已知线段，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，再将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，点恰好在一条直线上． (1)如图1，求与的数量关系； (2)如图2，当时，过点作的垂线交的延长线于点，取的中点，连接，在上截取，连接，依题意补全图形；判断线段与的数量关系，并证明． 5．（2025·北京·一模）如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于． (1)求证：； (2)过点作，交于，以为圆心，长为半径作弧，交于，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． 6．（2025·北京石景山·一模）如图，在中，，，D是的中点，E是线段上的动点（不与点B，D重合），连接．F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段，连接． (1)求的大小； (2)连接，判断与的位置关系，并证明． 7．（2025·北京朝阳·一模）在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 8．（2025·北京海淀·一模）如图，在中，，，于，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作的垂线交于点，交射线于点，连接． (1)依题意补全图形，并求的大小（用含的式子表示）； (2)在上取点，使，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 9．（2025·北京丰台·一模）如图，在中，，为延长线上一点，过点作射线为射线上一点（不与点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，作，交射线于点．连接交于点，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 10．（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 11．（2025·北京通州·一模）以为斜边在它的同侧分别作和，其中，交于点． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2，在上取一点，使得，连接，过点作，分别交、于点、点． ①依据题意补全图形； ②求证：是的中点． 12．（2025·北京大兴·一模）已知正方形，点E是边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作射线，将射线绕点A逆时针旋转得到射线，过点D作交于点M，连接． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段的数量关系，并证明． 13．（2025·北京房山·二模）在和中，，连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是______； (2)如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 14．（2025·北京朝阳·二模）在Rt中，为射线上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，线段与直线相交于点． (1)如图，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． (2)若对于任意的点，上一问的结论总成立，写出满足条件的的值，画出相应的图形，并证明． 15．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，，为内一点，，其中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点． (1)求的度数； (2)用等式表示，，的数量关系，并证明． 16．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，，，是边上一点（不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数． (2)如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 17．（2025·北京西城·二模）如图，在中，，，点为边上一点（），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若点，，分别为，，的中点，连接，补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 18．（2025·北京丰台·二模）在中，，，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求证：； (2)如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明． 19．（2025·北京顺义·二模）如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)连接，求的大小（用含的代数式表示）； (2)过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 20．（2025·北京密云·二模）如图，在等腰直角三角形中，，是线段上一点（），连接，过点作的垂线，交延长线于点，交延长线于点． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)若点在线段上，且，连接，用等式表示，，之间的数量关系并证明． 21．（2025·北京海淀·二模）在中，为上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． (1)如图1，若点在线段上，求证：； (2)如图2，若，点关于点的对称点为点，连接． ①依题意补全图2； ②直接写出的大小，并证明． 10/11 11/11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 几何综合 · · 考情概览 · 考点1 几何综合 · 考点1 几何综合 1．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 2．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 3．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．      (1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； (2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； （2）； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 4．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得 (1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：； (2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明； （2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． （2）解：补全后的图形如图所示，，证明如下： 延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM， ∵，CM＝CB， ∴ 垂直平分BM， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，即， ∵， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键． 5．（2021·北京·中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1），，理由见详解；（2），理由见详解． 【分析】（1）由题意及旋转的性质易得，，然后可证，进而问题可求解； （2）过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交BC于点H，由（1）可得，，易证，进而可得，然后可得，最后根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵点M为BC的中点， ∴， ∵， ∴； （2）证明：，理由如下： 过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交BC于点H，如图所示： ∴， 由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键． 1．（2025·北京东城·一模）如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键， （1）根据题意补全图形即可； （2）证明即可得到结论； （3）延长到点G，使，连接．证明．得到．证明．得到，根据直角三角形的性质即可得到结论， 【详解】（1）解：补全图形如图． （2）证明：在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）．证明如下： 如图，延长到点G，使，连接． ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴ 在中，，F为的中点， ∴． ∴． 2．（2025·北京顺义·一模）在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（1）先得出，结合，，故，再整理得的度数， （2）延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N．结合，得证是的中位线，平分．由角平分线的性质得，，运用三角形内角和得出，再根据等角对等边，则，然后证明，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴，． ∴是的中位线，平分． ∴，． ∴． ∵平分，，， ∴，． 在中，． ∴． 在中，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 在与中， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2025·北京房山·一模）如图，在中，，，是边上一点．为的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，连接． (1)依题意补全图形； (2)若点N是的中点，连接和，猜想线段与的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，需要通过构造辅助线，利用以上知识来证明线段与的数量关系和位置关系． （1）根据题意作图即可； （2）延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，，根据中位线定理可得，，，，可得、和都是等腰直角三角形，继而得到、和都是等腰直角三角形，证明，可得，，，从而得到，延长，，相交于点，证得，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，可得，． （2）解：如图所示，延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，， 、、分别是、、的中点， ，， ，， ，，， 且， 和都是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ，， ，，是的中点， ，， ， ， 、和都是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ，，， ， 延长，，相交于点， 在中，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， ，， ， 线段与的数量关系是，位置关系是． 4．（2025·北京平谷·一模）已知线段，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，再将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，点恰好在一条直线上． (1)如图1，求与的数量关系； (2)如图2，当时，过点作的垂线交的延长线于点，取的中点，连接，在上截取，连接，依题意补全图形；判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)图见解析，．理由见解析 【分析】（1）由旋转的性质求得，，再利用等边对等角求得，再根据，列式计算即可求解； （2）先求得，，再证明是的平分线，再证明是等腰直角三角形，设，求得，根据线段垂直平分线的性质求得，据此求得． 【详解】（1）解：∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵将线段绕着点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：．理由如下： 如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 作于点， ∴点为的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即是的平分线， ∵，， ∴，即， 连接，作于点， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 5．（2025·北京·一模）如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于． (1)求证：； (2)过点作，交于，以为圆心，长为半径作弧，交于，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析  ②；证明见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意， ，，由，得到即可求解； （2）①根据题意补全图形即可；②延长到，使，连接，则， 由（1）得 ，可证 ，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：①依题意补全图形，如图： ②与之间的数量关系是， 证明：延长到，使，连接， ， ， 又∵由（1）得， ， ∵以为圆心，长为半径作弧，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（2025·北京石景山·一模）如图，在中，，，D是的中点，E是线段上的动点（不与点B，D重合），连接．F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段，连接． (1)求的大小； (2)连接，判断与的位置关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰三角形的定义即可解答； （2）连接，连接，可得点在以点为圆心，以为半径的圆上，再连接并延长交于点，证明即可解答． 【详解】（1）解：F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段， ，， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，连接，连接， ，D是的中点， ， F是的中点， ， 点在以点为圆心，以为半径的圆上，如图，连接并延长交于点， ， ∵， ， ， ，，D是的中点， ， ， ， ，即． 7．（2025·北京朝阳·一模）在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）依题意补全图形即可； （2）设，利用正方形和翻折的性质得到，，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数； （3）作，交的延长线于点H，连接，利用正方形和翻折的性质证明，得到，，推出是等腰直角三角形，则有，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形如图1所示： （2）解：设． 四边形是正方形， ，， ， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ， ， ． （3）解：，证明如下： 如图2，作，交的延长线于点H，连接． ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 将线段沿直线翻折，得到线段， ，， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 8．（2025·北京海淀·一模）如图，在中，，，于，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作的垂线交于点，交射线于点，连接． (1)依题意补全图形，并求的大小（用含的式子表示）； (2)在上取点，使，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据要求画出图形，证明，再证明，即可得到结论； （2）过点作于，连接DH，证明．则，，在以为圆心，BD为半径的圆上．得到．证明．得到．求出．即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示： 如图，∵射线绕点顺时针旋转得到射线， ∴ ． ，于． ∴． ∵于， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）线段和的数量关系为． 证明：过点作于，连接，如图所示． ∵于， ∴． ∵， ∴． ∵由（1），， ∴． ，，在以为圆心，为半径的圆上． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、解直角三角形、圆周角定理直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 9．（2025·北京丰台·一模）如图，在中，，为延长线上一点，过点作射线为射线上一点（不与点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，作，交射线于点．连接交于点，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的性质求得，，证明，求得，再根据等腰三角形的性质即可证明； （2）先求得，作交于点，证明，，再证明是的中位线，据此即可得到． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，旋转的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 10．（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析； (2)． 【分析】（1）①连接，，利用等腰直角三角形的性质求得，，再利用四边形内角和来求解；②过点作交于,易得，利用全等三角形的性质得到，再利用对称性来求解； （2）利用②的方法来求解． 【详解】（1）解：①连接，，如下图 为边上一点，点与点关于直线对称， ，，， ． 在中，， ，， ． ， ， ， ． ② 证明：过点作交于, ∴. ∵ ∴, ． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴， ， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴， ， ， ， ， ． （2） 证明：同②的方法． 【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键． 11．（2025·北京通州·一模）以为斜边在它的同侧分别作和，其中，交于点． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2，在上取一点，使得，连接，过点作，分别交、于点、点． ①依据题意补全图形； ②求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）过点作于点，由角平分线的性质得到，由得到，即可证明结论； （2）①按照题意补全图形；②连接、．证明，得到，由及得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点作于点， 平分， ， ， ， ， ， ． （2）①依据题意补全图形； ②证明：如图3，连接、． ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 是的中点． 【点睛】此题考查了角平分线的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形和全等三角形的判定是关键． 12．（2025·北京大兴·一模）已知正方形，点E是边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作射线，将射线绕点A逆时针旋转得到射线，过点D作交于点M，连接． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，构造全等三角形，作出辅助线是解题关键． （1）延长交的延长线于点P，根据平行线的性质得出，确定，再由各角之间的等量代换即可得出结果； （2）过点A作且，连接，根据全等三角形的判定和性质得出， ，确定，继续利用全等三角形的判定和性质证明，结合图形利用勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点P，如图所示： ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； （2）过点A作且，连接，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 由（1）得， ∴， ∵将射线绕点A逆时针旋转得到射线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 13．（2025·北京房山·二模）在和中，，连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是______； (2)如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)成立；证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）延长交于点，过点作，连接，则，进而根据等腰直角三角形的性质得出，证明四边形是矩形，得出，即可得证； （2）延长到，使得，证明，进而证明，得出，根据，即可得证． 【详解】（1），理由如下 如图，延长交于点，过点作，连接，则， ∵在和中，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， 又∵是的中点， ∴ ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图，延长到，使得． 是的中点， ， 又，                    ． ，． ． ， ． ， ， ． 即． 又， ． ． ， ． 14．（2025·北京朝阳·二模）在Rt中，为射线上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，线段与直线相交于点． (1)如图，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． (2)若对于任意的点，上一问的结论总成立，写出满足条件的的值，画出相应的图形，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，图形和证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）连接．由旋转的性质可得．可证明垂直平分，得到．则，证明，则．即可证明． （2）作于点．证明．得到．再证明．得到．证明．得到．则．再证明．即可证明． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图所示，连接． 由题意可知，． ， ∴垂直平分， ． ． ， ∴， ∴， ． ． （2）解：．证明如下： 如图，作于点． 由题意可知，． ． ， ． ． ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． 15．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，，为内一点，，其中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点． (1)求的度数； (2)用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）利用证明，即可求得； （2）过点作交于点，求得，再证明，求得，在和中，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， ． 即， 又， ， ； （2）解：用等式表示线段，，的数量关系为：， 证明：过点作交于点， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 在中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 16．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，，，是边上一点（不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数． (2)如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（）在上取点，使得，可证，可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而即可求解； （）延长与交于点，连接，，，由等腰直角三角形的性质可得，，，再证明，可证，可得，，即得，即可证明，得到，，即得到为等腰直角三角形，进而即可求证． 【详解】（1）解：在上取点，使得， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：． 证明：延长与交于点，连接，，， ∵，，是中点， ∴，，， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，正确作出辅助线是解题的关键． 17．（2025·北京西城·二模）如图，在中，，，点为边上一点（），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若点，，分别为，，的中点，连接，补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)，图见解析，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，熟练掌握全等的判定和性质是关键． （1）根据旋转的性质、全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）按照题意补全图形，证明，，．即可得到结论； 【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平分． （2）解：补全图形如图所示． 线段与之间的数量关系：． 证明：在上取点，使得，连接． ∵， ∴． ∵点为的中点， ∴． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵点为的中点， ∴． ∴． ∵点为的中点， ∴． 设，，则，． ∴． ∴． ∴． 18．（2025·北京丰台·二模）在中，，，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求证：； (2)如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)的大小为，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据旋转的性质和等边对等角的性质，得到，进而得出，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）延长至点G，使得，连接、，．证明，从而得到，再根据四边形内角和和邻补角的定义，得到进而证明，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可； 【详解】（1）证明：由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：的大小为．证明如下： 如图，延长至点G，使得，连接、，． ∵是中点， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴， ∵，， ∴在四边形中，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 19．（2025·北京顺义·二模）如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)连接，求的大小（用含的代数式表示）； (2)过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）过点作于点H，由旋转的性质得：，易证是等腰三角形，进而推出，求出，根据，即可求解； （2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论 【详解】（1）解：过点作于点H， 由旋转的性质得：， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图所示. ②， 证明：取中点P，连接， ∵，， ， 又，， ， ， ， ∴， ∴， ∴点中点， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 20．（2025·北京密云·二模）如图，在等腰直角三角形中，，是线段上一点（），连接，过点作的垂线，交延长线于点，交延长线于点． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)若点在线段上，且，连接，用等式表示，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，构造出等腰直角三角形和全等三角形是解本题的关键； （1）根据题意画出图形解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可； （3）如图2，连接交于点，延长交于点，证明，得出，可得，、是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：补全图形，如图1， （2）解：，， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图2，连接交于点，延长交于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ， 、、是等腰直角三角形， ∴，，， 设，， ，， ， ． 21．（2025·北京海淀·二模）在中，为上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． (1)如图1，若点在线段上，求证：； (2)如图2，若，点关于点的对称点为点，连接． ①依题意补全图2； ②直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据旋转得出，证明，根据等腰三角形判定得出，即可得出答案； （2）①先作出对称点F，再连接即可； ②，连接，取的中点，连接，证明，得出，证明．得出四点在以点为圆心，为半径的圆上．根据圆内接四边形性质 ．根据，求出结果即可． 【详解】（1）证明：线段绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ． ， ， ． （2）解：①补全图形如图： ②． 证明：如图，连接，取的中点，连接． 点关于点的对称点为， ． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 在中，， ． ． 四点在以点为圆心，为半径的圆上． ． ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，圆内接四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 56/57 57/57 学科网（北京）股份有限公司 $$