专题18 圆的综合题（北京专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

· 专题18 圆综合 · · 考情概览 · 考点1 圆综合 · · 考点1 圆综合 1．如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若，，求的长． 2．如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 3．如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 4．如图，是的直径，是的一条弦，连接 (1)求证： (2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 5．如图，是的外接圆，是的直径，于点． （1）求证：； （2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长． 1．（2025·北京大兴·一模）如图，内接于，，过点作的切线交延长线于点，是的直径． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（2025·北京丰台·一模）如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)过点作的切线交的延长线于点．若，求的长． 3．（2025·北京东城·一模）如图，在中，为直径，为弦，，垂足为，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为2，，求的长． 4．（2025·北京石景山·一模）如图，是的直径，点C在上，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)过点B作交于点M．若，，求半径的长． 5．（2025·北京顺义·一模）如图，是的直径，，交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)过点作交的延长线于点．若，，求的长． 6．（2025·北京朝阳·一模）如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 7．（2025·北京西城·一模）如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的半径． 8．（2025·北京平谷·一模）如图，为的直径，点为外一点，，连接交于点，连接，过作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．（2025·北京房山·一模）如图，是直径，点D是上一点，是切线，连接交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（2025·北京通州·一模）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，连接，分别与交于点．    (1)求证：； (2)过点作的切线交的延长线于点．若，求半径的长． 11．（2025·北京海淀·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D．点在线段上，．连接并延长交于． (1)求证：； (2)连接交于点．若，，求的半径． 12．（2025·北京·一模）如图，在△ABC中，，点D在AB上，以AD为直径作与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径的长． 13．（2025·北京房山·二模）如图，已知为的外接圆，为的直径，是的中点，弦于点，是上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求． 14．（2025·北京西城·二模）如图，为的外接圆，点为的中点，的切线交的延长线于点，交于点．连接，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．（2025·北京海淀·二模）如图，为的切线，为切点，与交于点P，交于点． (1)求证：； (2)连接交于点．若的半径为，求的长． 16．（2025·北京大兴·二模）如图，是的直径，是上一点，过点作交于点D，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．（2025·北京石景山·二模）如图，四边形内接于，． (1)求证：； (2)作直径，交于点，连接，交于点．若，，．求的长． 18．（2025·北京朝阳·二模）如图，为的直径，点，在上，平分，连接． (1)求证：； (2)过点作的切线，分别交，的延长线于点，，连接，交于点．若，求的长． 19．（2025·北京顺义·二模）如图，是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)为中点，直线交于点，（点在点上方），连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的长． 20．（2025·北京密云·二模）如图，是的直径，点E在上，连接交于点F，连接交于点G，． (1)求证：； (2)过点D作的切线交的延长线于点H．若，，求的长． 21．（2025·北京丰台·二模）如图，是的直径，点在上，于点， (1)求证：； (2)过点的切线交延长线于点．若，，求的长． 22．（2025·北京昌平·二模）如图，在中，，过中点作与相切于点，交于点E，F，交于点M，N． (1)求证：； (2)若，求的长． 10/10 9/10 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题18 圆综合 · · 考情概览 · 考点1 圆综合 · · 考点1 圆综合 1．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)长为44． 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【详解】（1）证明：，分别切于A点，B点， 平分， ， 又， ， ． （2）延长交于点F，连接，则， ，分别切于A点，B点， C为的中点， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 2．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证； （2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可. 【详解】（1）根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， 取的中点M，连接， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得， 故半径的长为.    【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键. 3．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2022·北京·中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接 (1)求证： (2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到； （2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线． 【详解】（1）证明：设交于点，连接， 由题可知， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明： 连接， ， ， 同理可得：,， ∵点H是CD的中点，点F是AC的中点， ， ， ， ， 为的直径，   ， ， ， ， ， ， 直线为的切线． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键． 5．（2021·北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点． （1）求证：； （2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长． 【答案】（1）见详解；（2）， 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴； （2）解：由题意可得如图所示： 由（1）可得点E为BC的中点， ∵点O是BG的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 1．（2025·北京大兴·一模）如图，内接于，，过点作的切线交延长线于点，是的直径． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点F，连接，利用切线的性质定理得到，利用圆周角定理得到，再利用平行线的判定定理解答即可； （2）连接，过点C作于点F，利用平行线的性质和直角三角形的边角关系定理求得，利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和矩形的判定与性质，正方形的判定与性质得到，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，则结论可求． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点F，连接，如图， 则为的直径， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点C作于点F，如图， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，矩形与正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 2．（2025·北京丰台·一模）如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)过点作的切线交的延长线于点．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）证明，利用垂径定理即可证明； （2）设，则，，证明，推出，，求得，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴设，则，， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 整理得， 解得， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， ∵， ∴， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 3．（2025·北京东城·一模）如图，在中，为直径，为弦，，垂足为，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由于点，得，由切线的性质得，即可由，，且，证明； （2）由的半径为2，得，因为，所以，由，求得，则． 【详解】（1）证明：，垂足为， ， 与相切于点， ， ， ，，且， ． （2）解：的半径为2，， ， ，， ， ， ， ， 的长是． 【点睛】此题重点考查切线的性质、等角的余角相等、勾股定理、垂径定理、解直角三角形等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 4．（2025·北京石景山·一模）如图，是的直径，点C在上，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)过点B作交于点M．若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）延长交于F，先证明，，则可证明四边形是矩形，得到，再证明，推出，即可证明； （2）先证明，得到，即，设，则，，解直角三角形得到；，则，由相似三角形的性质得到，由矩形的性质得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，延长交于F， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴半径的长为20． 5．（2025·北京顺义·一模）如图，是的直径，，交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)过点作交的延长线于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质得到，继而得到，根据切线的性质得到，得出，即可得到结论； （2）连接，得到，继而得到，求出，．得到． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ． ， ． ． ． ． 是的切线， ． ． ． ． （2）解：如图，连接． 是的直径， ． ∵， 是的中点． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 6．（2025·北京朝阳·一模）如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)是的切线 (2)1 【分析】（1）先利用圆周角定理证得，再根据平行线的性质，求得，然后利用切线的判定得出结论； （2）先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式，设，接着用表示出，然后利用勾股定理求得，代入比例式中，求得，再利用线段的和求得，得到关于的方程，求出，最后求出． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． ， ． ∵是半径， 是的切线． （2）设与相交于点D． ， ． ∵， ． ， ， ． ， ． 设，则． ∴在中，． ． ． ． ， ， ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长． 7．（2025·北京西城·一模）如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由角平分线的定义以及已知条件可证明可得，进而得到即可证明结论； （2）如图：连接．易证可得、，进而得到，易证可得，则、、，根据特殊角的三角函数值可得，则，进而得到，然后求得即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ． ， ． ． ，垂足是C， ． ． ∴半径． ∴是的切线． （2）解：如图：连接． ． ， ． ． ，， ， ． ． ， ． ， ． ． ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，即的半径为． 8．（2025·北京平谷·一模）如图，为的直径，点为外一点，，连接交于点，连接，过作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由，得，由，得，所以，则； （2）连接，作于点F，由为的直径，得，由，，且，得，，可求得，由，求得，则，可证明，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，作于点F， 则， ∵为的直径， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵与相切于点B， ∴于点B， ∴， ∵， ∴ 则 ∴的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的性质、勾股定理、解直角三角形、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．（2025·北京房山·一模）如图，是直径，点D是上一点，是切线，连接交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）切线的性质，得到，进而得到，圆周角定理结合已知条件推出，进而得到，即可； （2）解，求出的长，进而求出的长，连接，圆周角定理得到，根据，求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵是切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，则：， ∴， ∴． 10．（2025·北京通州·一模）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，连接，分别与交于点．    (1)求证：； (2)过点作的切线交的延长线于点．若，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）证明和，得到，即可得到结论； （2）证明，得到，设，得到，则，由即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ， ． ∵， ． ， ． （2）解：如图，    ∵， ， ， 设， ∵是的直径， ， ∵， 于点， ， 是的中位线， ， ， ∵是的切线， ， ， ∵， ， ∴半径的长为3． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、三角形的中位线的性质等知识，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．（2025·北京海淀·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D．点在线段上，．连接并延长交于． (1)求证：； (2)连接交于点．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，先证明，然后根据垂直平分线的性质定理证明，再逐步求得，即得答案； （2）连接，先证明，接着证明，即得和，从而可得，继续证明是等边三角形，最后利用直角三角形的性质，即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，设， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 由（1）可得，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 即的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合性问题，垂直平分线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（2025·北京·一模）如图，在△ABC中，，点D在AB上，以AD为直径作与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)5 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的判定和性质，三角函数比，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并准确构造辅助线． （1）利用圆的切线的性质得出，再结合条件得出，根据平行线的性质和等边对等角即可得出； （2）连接，则，利用三角函数比和勾股定依次求出的长即可求得半径． 【详解】（1）证明:∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，连接，则， 由（1）得， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ， 在中，， ， 在中，由勾股定理得：， 的半径长为5． 13．（2025·北京房山·二模）如图，已知为的外接圆，为的直径，是的中点，弦于点，是上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意可得，根据垂径定理可得进而可得，则； （2）连接，证明得出，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵D是的中点， ∴， ∵且为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（2025·北京西城·二模）如图，为的外接圆，点为的中点，的切线交的延长线于点，交于点．连接，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）本题要证明，通过设，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得到 ．再根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和求出 ．由切线性质得到，进而得出的度数．最后结合已知，得出的度数，从而证明两角相等． （2）求的长，先延长交于．根据点为的中点，利用垂径定理的推论得到，再通过证明得出 ．由得到，进而推出角相等关系．结合前面（1）中角的结论，得出 ，从而得到线段相等关系 ，最后根据，结合求出的长． 【详解】（1）证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：延长交于，则， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的相关知识，包括同弧所对圆心角与圆周角的关系、切线的性质、垂径定理及其推论，以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定．解题的关键在于利用圆的性质找出角之间的等量关系，通过角的关系推导线段的等量关系，进而求解问题． 15．（2025·北京海淀·二模）如图，为的切线，为切点，与交于点P，交于点． (1)求证：； (2)连接交于点．若的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键； （1）根据切线长定理得，根据平行线的性质即可得证； （2）连接．由（1）可得，则，由可得则，勾股定理求得证明得出，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：为的切线， ． ． ． ， ． （2）解：如图，连接． 由（1）可得， 是的直径． 是的切线， ． ． ， ． ， ． ． ． 在中，， ． 在中， 由（1）可得，， 为的中点． 为的中点， ． ， ． ． ． ． 在中，， ． 16．（2025·北京大兴·二模）如图，是的直径，是上一点，过点作交于点D，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据圆周角定理和等角对等边可证． （2）根据直径所对的圆周角为直角，切线的性质定理，可推出，，设，则，利用勾股定理可得，，，进而证明，即可得出． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：连接， 为切线，是直径， ， ，， ， ， ， ， 设，则， 是直径， ， 在中，， ，负值舍去 在中，， ， 解得：，负值舍去 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形，切线的性质定理，平行线的性质，等角对等边，勾股定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．（2025·北京石景山·二模）如图，四边形内接于，． (1)求证：； (2)作直径，交于点，连接，交于点．若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）结合圆内角四边形对角互补以及圆周角定理得，则，即可作答． （2）根据，得．则，结合，，得，运用．，．根据，得，，再证明是等边三角形．得，在中，，运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于，， ∴，． ∴． ∴； （2）解：依题意，连接，，过点A作于点H． ∵， ∴． ∴ ∵是直径， ∴． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵在中，， ∴，， ∴，． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵ ∴， 在中，， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，平行线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．（2025·北京朝阳·二模）如图，为的直径，点，在上，平分，连接． (1)求证：； (2)过点作的切线，分别交，的延长线于点，，连接，交于点．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用圆周角定理和角平分线的定义可得，进而即可求证； （）由切线的性质可得，由得，，即得，利用三角函数得，即得，设的半径为，由解得，即得，，进而得，，即可得，最后代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：为上的点， ， 平分， ， ， ∴； （2）解：如图， 与相切于点， ∴， ， ∵， ，， ， ， ∴在中，， ， 设的半径为，则， 解得， ∴，， ∴， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，平行线的判定，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用以上知识点是解题的关键． 19．（2025·北京顺义·二模）如图，是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)为中点，直线交于点，（点在点上方），连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弦、弧、圆心角的关系，垂径定理，解直角三角形等知识，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）由，且，得，由得，则，推出，从而可得结论； （2）连接，由是的直径，为的中点，根据垂径定理得出，则，可证明，由可求得，，则，，求得，，由可得结论． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵是的直径，为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 20．（2025·北京密云·二模）如图，是的直径，点E在上，连接交于点F，连接交于点G，． (1)求证：； (2)过点D作的切线交的延长线于点H．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得，得出，由圆周角定理得，从而可得结论； （2）设，则，，证明，推出，，求得，即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， 又， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 设，则，， ∵是的切线，是的直径， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 整理得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 21．（2025·北京丰台·二模）如图，是的直径，点在上，于点， (1)求证：； (2)过点的切线交延长线于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）垂径定理，得到，圆周角定理得到即可； （2）垂径定理，得到，解，求出的长，设的半径为，在，勾股定理求出的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵于点是的半径， ∴． ∴． （2）解：∵于点E，是的半径，， ∴，． ∵，， ∴． 在中，． ∴ 设的半径为． ∴． 在中，． ∴． ∴． ∴． ∵是的切线， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 22．（2025·北京昌平·二模）如图，在中，，过中点作与相切于点，交于点E，F，交于点M，N． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，．由圆切线的定义得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出．再由等腰三角形三线合一即可得出答案． （2）过点作于点，连接．设的半径为，则．先由勾股定理定理得出，再由垂径定理得出，再根据矩形的判定和性质得出，再根据勾股定理得出， 再利用垂径定理求值即可． 【详解】（1）解：连接，． 与相切， ． 在中，， ． ． （2）解：过点作于点，连接． 设的半径为，则． ， ． 在中， ， ． ． 解得：． 为的弦， ． ， 四边形为矩形． ． 在中， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了圆切线的定义，垂径定理，三线合一，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是 50/51 51/51 学科网（北京）股份有限公司 $$