精品解析：2026年河北任丘市第八中学九年级下学期数学素养能力评价

九年级素养能力评价 数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下4个数中，最小的数是（ ） A. 2026 B. C. D. 0 2. 如图，由6个小立方体组成的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式运算时，2和4直接相乘的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一辆卡车沿坡角为的斜坡向上行驶，当行驶1000米时，高度上升了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 生活中处处有数学的影子．珍珍观察如图1所示的鱼；并将其抽象成如图2所示的图形，在矩形中，，根据图中数据可得的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为有理数，则整式的值（ ） A. 不是负数 B. 恒为负数 C. 恒为正数 D. 不等于0 9. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 10. 如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形网格中的八条等长线段形成了一个轴对称图形．将标号①②③④的四条线段随机擦去其中的两条后，剩下的图形仍是轴对称图形的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，且．将向右平移（为整数）个单位长度得到．当和有公共点时，的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 三角形的三边长分别为2，7，a，则奇数a的值是___________． 14. 若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为______． 15. 一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 16. 如图，在矩形中，，．若在该矩形中总能作出等边三角形，满足点E在边上，点F在边上，则的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设的结果为． （1）若“”内填入的数为，求的值； （2）若数轴上表示的点位于原点的左侧，求“”内所填的最大整数． 18. 有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 19. 如图，在菱形 中， ， ，垂足分别为 ， ，连接 ． （1）求证： ； （2）连接 ，求证：． 20. 4月23日为“世界读书日”．为增强学生们的阅读兴趣，某校八年级举办“校园读书节知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段，且八年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用 表示）：A：，B：，C：，D：，E：，F：．随机抽取 名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如图1，图2所示． 已知笔试成绩中，组的数据为：，，，，，，，，， （1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形圆心角是___________度； （2） ___________；补全图2中的频数分布直方图； （3）在笔试阶段中， 名学生成绩的中位数是___________分； （4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在90分以上的将获得“阅读之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，请通过计算说明最终谁能获得“阅读之星”称号． 笔试 展演 甲 乙 21. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ；整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度 的关系图象如图2所示． （1）图2中，点 对应状态___________，点 对应状态__________（填写图形序号）， ____________， __________； （2）当 时，求 关于 的函数解析式； （3）已知弹簧测力计在状态③时圆柱体下降高度为 ，求此时该圆柱体所受浮力的大小．（提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后，） 22. 【情境】将如图1所示的正方形通过裁剪拼接可以得到如图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】如图3，小明将正方形对折后展开，折痕为，再沿，裁剪后按照图4所示进行拼接． （1）线段与的大小关系为____________； （2）求线段的长； （3）求点到直线的距离； 【探究】小明说：“将图1所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图5所示的铅笔头型五边形．” （4）请你按照小明的说法设计一种方案：在备用图中正方形的边上确定点（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线的位置及完成拼接的大致图形，并直接写出的长． 23. 如图1，在中，，，，一个圆心角为的扇形的圆心与边的中点重合．以点在边上时为初始位置（点在点的右侧），此时点恰好在边上．将扇形绕点顺时针旋转． （1）判断直线与扇形所在圆的位置关系，并说明理由； （2）求扇形的半径；扇形旋转过程中，点与点的最短距离为___________； （3）在扇形旋转过程中，求扇形扫过的区域位于外部的面积；（提示：，，，） （4）如图2，延长，在扇形旋转过程中，射线，与射线交于点，．设，直接用含的代数式表示的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴、轴分别交于，两点，顶点为． （1）求点和点的坐标； （2）将抛物线绕点旋转，得到抛物线，求抛物线的解析式（用表示）； （3）在（2）的条件下，定义：为较小函数，即，为较大函数，即． ①求的最大值和的最小值； ②在的图象上有、两点，当，时，总有，直接写出的取值范围； ③较大函数与组成新的图形，直线与图形只有三个交点时，交点从左向右依次为，，，为线段的三等分点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级素养能力评价 数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下4个数中，最小的数是（ ） A. 2026 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数． ∵ 是负数， 和是正数， 是非负数， ∴ ， 因此最小的数是． 2. 如图，由6个小立方体组成的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：该几何体的俯视图为： ． 3. 下列各式运算时，2和4直接相乘的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式幂的运算规则，需要判断每个选项中2和4的运算类型，找出2和4直接相乘的选项． 【详解】对于A选项 ，是合并同类项，系数2和4做加法运算，不是相乘，不符合要求； 对于B选项 ，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘， 原式，这里2和4直接相乘，符合要求； 对于C选项 ，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 原式，2和4做加法运算，不符合要求； 对于D选项 ，根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， 原式，2和4做减法运算，不符合要求． 4. 如图，一辆卡车沿坡角为的斜坡向上行驶，当行驶1000米时，高度上升了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】在直角三角形中，利用三角函数的定义，找出竖直高度与斜坡长度、倾斜角的关系来求解． 【详解】解：令行驶1000米至点B，过点B作于O， 在中，，米，． ∴， 米， 即卡车在竖直方向上升的高度为米． 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据算术平方根的定义化简，再表示成负整数幂的形式即可． 【详解】解： ． 6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用“一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式”，求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， 化简得 解得 结合选项，只有选项A的，符合条件． 7. 生活中处处有数学的影子．珍珍观察如图1所示的鱼；并将其抽象成如图2所示的图形，在矩形中，，根据图中数据可得的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明四边形是平行四边形，得到，则，再根据三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 8. 已知为有理数，则整式的值（ ） A. 不是负数 B. 恒为负数 C. 恒为正数 D. 不等于0 【答案】A 【解析】 【分析】原式变形后，提取公因式，即可做出判断． 【详解】原式，即不是负数， 故选：A． 【点睛】此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 9. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用反比例函数的性质判断k的符号，再根据给定x区间的y最大值求出k的值，最后结合反比例函数性质求出目标区间y的最大值． 【详解】解：当时，y的最大值为， ，， ， 对于反比例函数，当时，每个象限内y随x的增大而减小， 在区间，x取最小值时y取得最大值， 将代入，得，即反比例函数为， 在区间中，x取最小值2时y取最大值． 10. 如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴可得，取正十二边形的外接圆圆心O，连接，根据正十二边形的性质证明是等边三角形，，，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐， ∴， 取正十二边形的外接圆圆心O，连接， 正十二边形的外接圆中，每个边对应的中心角为， ∴， ∴，即点共线， ∵， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴． 11. 如图，正方形网格中的八条等长线段形成了一个轴对称图形．将标号①②③④的四条线段随机擦去其中的两条后，剩下的图形仍是轴对称图形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出共有种等可能结果，根据轴对称图形的定义结合题意分析出剩下的图形仍是轴对称图形的可能数，进而根据概率公式即可求解． 【详解】解：擦去①和②，①和③，②和④，③和④，剩下的图形都是轴对称图形； 擦去②和③，①和④，剩下的图形不是轴对称图形． 共有种等可能结果，其中有4种符合题意， ∴随机擦去其中的两条后，剩下的图形仍是轴对称图形的概率为． 12. 如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，且．将向右平移（为整数）个单位长度得到．当和有公共点时，的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据两点间距离公式可得，然后得出直线的解析式为，设平移后的解析式为，当直线刚好经过点时，的值最大，进而问题可求解． 【详解】解：设， ∵，，， ∴根据两点间距离公式可得：， 整理得：（负根舍去）， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 由直线向右平移（为整数）个单位长度得到可设平移后的解析式为， 当直线刚好经过点时，的值最大， ∴把代入得：，解得：， ∴的最大值为6． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 三角形的三边长分别为2，7，a，则奇数a的值是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式组，求出a的取值范围，再结合a是奇数的条件进行判断． 【详解】由三角形的三边关系，得： ，即； ，即； ，恒成立． 所以． 又因为a是奇数， 所以， 故答案为：7． 14. 若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算．根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为： ， 故答案为：． 15. 一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于x，y的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， ∴． 16. 如图，在矩形中，，．若在该矩形中总能作出等边三角形，满足点E在边上，点F在边上，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，然后可分为当点E与点B重合，点F为的中点时，x的值最小，当点F与点D重合，点E为的中点时，x的值最大，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意可知： 如图，当点E与点B重合，点F为的中点时，x的值最小． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 如图，当点F与点D重合，点E为的中点时，x的值最大． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 综上，x的取值范围是． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设的结果为． （1）若“”内填入的数为，求的值； （2）若数轴上表示的点位于原点的左侧，求“”内所填的最大整数． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）根据有理数的乘法法则先计算乘法，再计算减法； （2）设“”内填入的数为，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：设“”内填入的数为， 由题意得， 解得：， ∴“”内所填的最大整数为0． 18. 有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 【答案】化简过程不正确； 原式 ， 当 时，原式． 【解析】 【详解】略 19. 如图，在菱形 中， ， ，垂足分别为 ， ，连接 ． （1）求证： ； （2）连接 ，求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是菱形， ， ， ， ∴， 又∵， ∴垂直平分，即． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得到 ； （2）证明和，可得到 垂直平分，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 4月23日为“世界读书日”．为增强学生们的阅读兴趣，某校八年级举办“校园读书节知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段，且八年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用 表示）：A：，B：，C：，D：，E：，F：．随机抽取 名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如图1，图2所示． 已知笔试成绩中，组的数据为：，，，，，，，，， （1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形圆心角是___________度； （2） ___________；补全图2中的频数分布直方图； （3）在笔试阶段中， 名学生成绩的中位数是___________分； （4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在90分以上的将获得“阅读之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，请通过计算说明最终谁能获得“阅读之星”称号． 笔试 展演 甲 乙 【答案】（1） （2），补全如图所示 （3） （4）乙将获得“阅读之星”称号 【解析】 【分析】（1）直接即可； （2）根据“”组人数求得总人数，进而求得的人数并补全频数分布直方图； （3）根据中位数的概念即可； （4）根据的权重分别计算，进而结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：“组”所对应的扇形的圆心角是:； 【小问2详解】 解：， 的人数为： 补全频数分布直方图略； 【小问3详解】 解：由（2）得：，即抽取名学生， 即中位数为从小到大排在第，位的平均数，为（分）； 【小问4详解】 解：甲：， 乙：， ∵总成绩在90分以上的将获得“阅读之星”称号，，， ∴乙将获得“阅读之星”称号． 21. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ；整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度 的关系图象如图2所示． （1）图2中，点 对应状态___________，点 对应状态__________（填写图形序号）， ____________， __________； （2）当 时，求 关于 的函数解析式； （3）已知弹簧测力计在状态③时圆柱体下降高度为 ，求此时该圆柱体所受浮力的大小．（提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后，） 【答案】（1）②，④，10，5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对应的状态读数即可； （2）先设直线解析式，再将两点代入解析式求出即可； （3）将代入函数解析式，求出对应的值，再根据求值即可． 【小问1详解】 解：圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全进入水中，拉力 一直在减小 点 对应状态为②，点 对应状态为④ 弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ， 【小问2详解】 解：设 ， 将，的坐标分别代入，得，解得， ∴当 时， 关于 的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当 时， ， （N）． 即此时圆柱体所受浮力为 ． 22. 【情境】将如图1所示的正方形通过裁剪拼接可以得到如图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】如图3，小明将正方形对折后展开，折痕为，再沿，裁剪后按照图4所示进行拼接． （1）线段与的大小关系为____________； （2）求线段的长； （3）求点到直线的距离； 【探究】小明说：“将图1所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图5所示的铅笔头型五边形．” （4）请你按照小明的说法设计一种方案：在备用图中正方形的边上确定点（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线的位置及完成拼接的大致图形，并直接写出的长． 【答案】（1） （2）5 （3） （4）如图2或图3： ； 的长为4或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，进而得到，得到即可； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）作，证明，进行求解即可； （4）取的中点，在或上确定中点的位置，进行裁剪即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，，， 由（1）知：， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴，即； 【小问3详解】 解：过点M作交的延长线遇到H， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知：，，， ∴， ∴，即点到直线的距离为； 【小问4详解】 解：图略， 由作图可知：或． 23. 如图1，在中，，，，一个圆心角为的扇形的圆心与边的中点重合．以点在边上时为初始位置（点在点的右侧），此时点恰好在边上．将扇形绕点顺时针旋转． （1）判断直线与扇形所在圆的位置关系，并说明理由； （2）求扇形的半径；扇形旋转过程中，点与点的最短距离为___________； （3）在扇形旋转过程中，求扇形扫过的区域位于外部的面积；（提示：，，，） （4）如图2，延长，在扇形旋转过程中，射线，与射线交于点，．设，直接用含的代数式表示的长． 【答案】（1）解：相切；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的半径， 与相切； （2）； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）易证，进而推出，即可得出结论； （2）解直角三角形求出的长，连接，得到当三点共线时，点与点的距离最短，为，进行求解即可； （3）根据题意，画出图形，得到扇形扫过的区域位于外部的为弓形，作，根据垂径定理，得到，，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，解，求出的长，的度数，再用扇形的面积减去三角形的面积，即可得出结果； （4）作，解，求出的长，勾股定理求出，证明，推出，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，扇形的圆心与边的中点重合， ∴， 由（1）知：， ∴； 连接，， 则， ∴当三点共线时，点与点的距离最短， ∵，为边的中点， ∴， ∴点与点的最短距离为； 【小问3详解】 解：如图，当点恰好落在上，此时扇形绕点顺时针旋转了， 由图可知，扇形扫过的区域位于外部的为弓形， 作，则，， 在中，， ∴， 由（2）可知，圆的半径为， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴扇形扫过的区域位于外部的面积为； 【小问4详解】 解：作，则在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴、轴分别交于，两点，顶点为． （1）求点和点的坐标； （2）将抛物线绕点旋转，得到抛物线，求抛物线的解析式（用表示）； （3）在（2）的条件下，定义：为较小函数，即，为较大函数，即． ①求的最大值和的最小值； ②在的图象上有、两点，当，时，总有，直接写出的取值范围； ③较大函数与组成新的图形，直线与图形只有三个交点时，交点从左向右依次为，，，为线段的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1）点的坐标为；点的坐标为 （2） （3）①的最大值为，的最小值为；②的取值范围是；③的值为或 【解析】 【分析】（1）由配方法可解得顶点的坐标，令，，可解得抛物线在轴正半轴的交点； （2）由旋转的性质可知点绕点旋转的对称点，由抛物线的顶点式方程即可求解； （3）①由函数图象可得的最大值和的最小值； ②的图象上有、两点，当，总有，而，由图象可知且即可求解； ③为线段的三等分点，则或，点在抛物线的图象上，列方程解得的值，再求解的值． 【小问1详解】 解：， ∴顶点的坐标为， 令 ，解得，， ∵点在轴正半轴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：由已知得点关于的对称点为， ∴； 【小问3详解】 解：①令， 解得，， 当时，， 当时，， ∴抛物线和的交点坐标为，， 结合图象可得的最大值为，的最小值为； ②如图，设抛物线与轴的交点为， 令，解得，则点的坐标为． 过抛物线和左边的交点，作一条平行于轴的直线，点也在该直线上， 抛物线的对称轴为， 利用抛物线的对称性可得该直线与的另一个交点为． 的图象上有、两点，当，时，总有， 由图象可得，且， 解得； ③设， 抛物线的对称轴为， 则． ∵为线段的三等分点， ∴或， ∴或， 即或， 解得：或 ∴或． ∵点在抛物线的图象上， ∴或， 解得，（舍去），或，（舍去）． 当时，， 当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $