培优11 十一个大招求空间几何体的表面积与体积（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优11 十一个大招求空间几何体的表面积与体积 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 公式法求简单几何体的表（侧）面积或体积 题型02 展平法求简单几何体的表（侧）面积或体积 题型03 割补法求组合体的表面积或体积 题型04 等体积转化法求锥体的体积或高 题型05 补形法求几何体外接球的表面积或体积 题型06 截面法求几何体的表面积或体积 题型07 相似法求解几何体的面（体）积或面（体）积之比问题 题型08 垂线法求几何体表面积或体积的最值 题型09 基本不等式法求几何体表面积或体积的最值（跨章节） 题型10 函数法求几何体表面积或体积的最值（跨章节） 题型11 祖暅原理法求不规则几何体的体积 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 简单几何体的表（侧）面积或体积 掌握柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，熟记表面积、体积公式，能熟练运用公式求解基础题型，解决简单实际应用问题. 高考基础必考点，近三年新高考卷高频考查，多以选择、填空题形式出现，分值5分左右，难度偏易，偶在解答题中作为基础设问. 组合体的表面积或体积 能拆分组合体的构成，掌握割补法求解体积，能准确识别重合面、扣除重复面积，熟练计算组合体的表面积与体积，应对综合题型. 高考高频考点，多在选择、填空题中考查，分值5分，难度中等，常结合切割拼接、镂空结构设计题型，侧重空间想象与运算能力. 几何体的外接球与内切球 理解外接球、内切球的概念，掌握球心定位、半径计算的核心方法，能熟练求解柱、锥、台等几何体的外接、内切球相关问题，应对综合变式题型. 高考立体几何核心热点，每年必考，多以选择、填空题形式出现，分值5分，难度中等偏上，外接球考查频率远高于内切球，常结合线面垂直、补形法考查. 知识点01多面体与旋转体的结构特征 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 2．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 续表 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展 开图 矩形 扇形 扇环 3.常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 4.球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面. (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面. (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为r2＝R2－d2. 知识点02 几何体的体积与面积公式 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2. 柱体、锥体、台体及球的体积公式 　　 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S表＝4πR2 V＝πR3 注意：(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面的面积之和，而表面积是侧面积与所有底面的面积之和. (2)圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r')lS圆锥侧＝πrl. 知识点03 几何体体积与表面积的重要结论（二级结论） 1.与体积有关的两个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 2.直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图. 3.外接球的有关知识与方法 (1)性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. (2)结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 4、内切球的有关知识与方法 (1)若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. (2)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. (3)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (4)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5.与内(棱)切球有关的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的内切球，则2R＝a； ②若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)二级结论：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足V＝Sr. 题型一 公式法求简单几何体的表（侧）面积或体积 解｜题｜技｜巧 1.先识别几何体类型（柱、锥、台、球等），匹配对应表（侧）面积、体积公式； 2.从题干提取核心参数（棱长、高、半径、母线长等）； 3.准确代入公式计算，注意区分侧面积与全面积，避免公式错用、参数代错. 【典例1-1】（2026·山东东营·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高一下·福建厦门·期中）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·河北·二模）已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（   ） A．148 B． C．168 D．80 【变式1-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是，则该圆锥的底面半径与球的半径的比值为______． 题型二 展平法求简单几何体的表(侧)面积或体积 解｜题｜技｜巧 1.将几何体侧面沿母线 / 棱展开，转化为矩形、扇形等平面图形； 2.在平面图形中确定边长、角度等核心参数，计算平面图形面积得侧面积； 3.结合底面积求全面积，体积仍用对应公式计算. 【典例2】（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025高三上·湖南衡阳·专题练习）如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（为扇形所在圆的圆心，圆心角为），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为，该圆台的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 题型三 割补法求组合体的表面积或体积 解｜题｜技｜巧 1.拆分组合体为多个熟悉的简单几何体，或补形为规则几何体； 2.体积计算：拆分后求和，补形后用整体体积减多余部分体积； 3.表面积计算：扣除重合面的重复面积后求和； 4.核对参数，准确计算. 【典例3-1】（25-26高一下·重庆·期中）如图，梯形中，，现将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·山东泰安·模拟预测）某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的2倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高的3倍．若圆台的母线长为12，且与底面所成的角为60°，则该模型的容积是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2021·江苏南京·二模）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·江苏南通·模拟预测）在平面四边形中，，，，将该四边形绕所在直线旋转一周，所得几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 题型四 等体积转化法求锥体的体积或高 解｜题｜技｜巧 1.核心利用锥体体积不变性，依托公式，通过换底换高简化计算； 2.求体积时，选取易求的底面与对应垂直高，代入公式计算； 3.求高时，先算出锥体体积，再通过反求对应高； 4.注意底面积与高的垂直对应，避免错配. 【典例4-1】（25-26高一下·浙江杭州·阶段检测）在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【变式4-1】（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（    ） A．5 B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 题型五 补形法求几何体外接球的表面积或体积 解｜题｜技｜巧 1.分析几何体结构特征，将其补形为长方体、正方体、直棱柱等外接球易求的规则几何体，确保原几何体顶点均在补形后几何体的外接球上； 2.计算补形后几何体的体对角线长，得外接球半径； 3.代入球的表面积、体积公式完成计算. 【典例5】（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 题型六 截面法求几何体的表面积或体积 解｜题｜技｜巧 针对旋转体或对称几何体，构造过旋转轴、 对称轴的轴截面，将空间问题转化为平面问题；在轴截面中提取半径、高、母线等关键元素，用平面几何知识计算核心参数，最终代入公式求解几何体的表面积或体积. 【典例6】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式6-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为.若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型七 相似法求解几何体的面（体）积或面（体）积之比问题 解｜题｜技｜巧 1.先判定两个几何体的相似关系，确定对应边的相似比； 2.依据相似性质，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方； 3.若为部分与整体，拆分出相似部分后再计算对应比例； 4.核对相似比的对应关系，避免错配. 【典例7】（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）一个圆锥的母线长为且轴截面为正三角形，一个平行于底面的平面将圆锥分为体积相等的两个部分，其中圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·湖南长沙·三模）一圆台上下底面半径为另一圆锥的底面半径也为.若圆台的母线与圆锥的母线长相等，则圆台与圆锥体积比为（     ） A． B．3 C． D．7 题型八 垂线法求几何体表面积或体积的最值 解｜题｜技｜巧 1.确定几何体固定底面，过对应顶点作底面垂线，垂线段长为高 h； 2.结合题干几何约束（棱长、线面角等），用勾股定理、三角函数求 h 的最值； 3.将 h 最值代入表面积、体积公式，计算得最终最值； 4.核对约束，确保取值符合几何意义. 【典例8】（2026·北京昌平·二模）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8】（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 题型九 基本不等式法求几何体表面积或体积的最值（跨章节） 解｜题｜技｜巧 1.分析几何体结构，设出棱长、高、半径等关键变量，结合几何约束列出表面积 / 体积的表达式； 2.运用基本不等式，遵循 “一正二定三相等” 原则求出最值； 3.验证等号成立的条件，确保符合几何意义，完成求解. 【典例9】（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式9】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知长方体的一条棱长为，体积为，则其外接球表面积的最小值为________. 题型十 函数法求几何体表面积或体积的最值（跨章节） 解｜题｜技｜巧 1.结合几何体结构，设棱长、高、角度等为自变量，依据几何约束，将表面积、 体积表示为该自变量的函数，明确定义域； 2.利用函数单调性、二次函数性质等，求函数的最值； 3.验证最值对应自变量符合几何意义，完成求解. 【典例10】（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)若F为中点，且，求二面角的余弦值； (3)若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 【变式10】（25-26高一·全国·单元测试）沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长)，所以圆柱的侧面积S＝2πrl，其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长．现已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积； (2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 题型十一 祖暅原理法求不规则几何体的体积 解｜题｜技｜巧 核心依据祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”，先分析不规则几何体的截面特征，找到同高、同位置截面面积恒等的规则几何体；计算规则几何体的体积，即可得不规则几何体的体积；需验证同高、截面面积恒等的适用条件. 【典例11】（2026·吉林白山·模拟预测）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（   ）. A．7 B．10 C．7π D．10π 【变式11-1】（25-26高三上·广东惠州·期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一下·辽宁·期末）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知一个底面半径为1的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的4倍，则该圆锥的母线长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）现有一件精美的瓷器，其形状可以近似看作是由两个圆台组合而成的几何体，如图．已知圆的面积为，圆，，的半径比为，圆台的高为5cm，圆台的高度是圆台高度的2倍，则该瓷器艺术品的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·四川·期末）已知直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26高一下·重庆·期中）半径为6的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·期中）图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·天津西青·期末）在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是（    ） A． B．2 C． D． 4．（25-26高二下·上海·期中）某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的动点，是的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若点是的中点，求三棱锥体积的最大值． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（2026·广东湛江·二模）已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动（含端点），则点到平面的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026·甘肃张掖·二模）如图，在三棱台中，侧面是等腰梯形，，，侧面平面，，，为的中点，点在上，且，则（     ） A．平面 B．直线与平面所成角小于 C．平面将该三棱台分成两个几何体，则体积较小几何体的体积为 D．四点，，，在同一球面上，则该球的表面积为 3.（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 4．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是__________. 14 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优11 十一个大招求空间几何体的表面积与体积 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 公式法求简单几何体的表（侧）面积或体积 题型02 展平法求简单几何体的表（侧）面积或体积 题型03 割补法求组合体的表面积或体积 题型04 等体积转化法求锥体的体积或高 题型05 补形法求几何体外接球的表面积或体积 题型06 截面法求几何体的表面积或体积 题型07 相似法求解几何体的面（体）积或面（体）积之比问题 题型08 垂线法求几何体表面积或体积的最值 题型09 基本不等式法求几何体表面积或体积的最值（跨章节） 题型10 函数法求几何体表面积或体积的最值（跨章节） 题型11 祖暅原理法求不规则几何体的体积 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 简单几何体的表（侧）面积或体积 掌握柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，熟记表面积、体积公式，能熟练运用公式求解基础题型，解决简单实际应用问题. 高考基础必考点，近三年新高考卷高频考查，多以选择、填空题形式出现，分值5分左右，难度偏易，偶在解答题中作为基础设问. 组合体的表面积或体积 能拆分组合体的构成，掌握割补法求解体积，能准确识别重合面、扣除重复面积，熟练计算组合体的表面积与体积，应对综合题型. 高考高频考点，多在选择、填空题中考查，分值5分，难度中等，常结合切割拼接、镂空结构设计题型，侧重空间想象与运算能力. 几何体的外接球与内切球 理解外接球、内切球的概念，掌握球心定位、半径计算的核心方法，能熟练求解柱、锥、台等几何体的外接、内切球相关问题，应对综合变式题型. 高考立体几何核心热点，每年必考，多以选择、填空题形式出现，分值5分，难度中等偏上，外接球考查频率远高于内切球，常结合线面垂直、补形法考查. 知识点01多面体与旋转体的结构特征 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 2．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 续表 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展 开图 矩形 扇形 扇环 3.常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 4.球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面. (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面. (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为r2＝R2－d2. 知识点02 几何体的体积与面积公式 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2. 柱体、锥体、台体及球的体积公式 　　 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S表＝4πR2 V＝πR3 注意：(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面的面积之和，而表面积是侧面积与所有底面的面积之和. (2)圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r')lS圆锥侧＝πrl. 知识点03 几何体体积与表面积的重要结论（二级结论） 1.与体积有关的两个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 2.直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图. 3.外接球的有关知识与方法 (1)性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. (2)结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 4、内切球的有关知识与方法 (1)若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. (2)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. (3)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (4)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5.与内(棱)切球有关的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的内切球，则2R＝a； ②若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)二级结论：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足V＝Sr. 题型一 公式法求简单几何体的表（侧）面积或体积 解｜题｜技｜巧 1.先识别几何体类型（柱、锥、台、球等），匹配对应表（侧）面积、体积公式； 2.从题干提取核心参数（棱长、高、半径、母线长等）； 3.准确代入公式计算，注意区分侧面积与全面积，避免公式错用、参数代错. 【典例1-1】（2026·山东东营·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，体积为. 则， 由， 所以， 所以. 【典例1-2】（25-26高一下·福建厦门·期中）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由， 则，所以， 则， 所以直棱柱的底面周长，又直棱柱的高， 所以棱柱的侧面积， 所以棱柱的表面积. 【变式1-1】（2026·河北·二模）已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（   ） A．148 B． C．168 D．80 【答案】A 【分析】根据已知条件和正四棱台的特征计算侧面等腰梯形的面积，然后利用表面积的定义计算可得结果． 【详解】因为正四棱台的侧面都是等腰梯形， 又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、8，体积为,设其高为，则，故 所以侧面梯形的斜高为， 则梯形的面积， 上，下底底面面积分别为，， 所以该四棱台的表面积为． 【变式1-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是，则该圆锥的底面半径与球的半径的比值为______． 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为， 因为圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高， 所以圆锥的体积为，球的体积， 所以，解得． 题型二 展平法求简单几何体的表(侧)面积或体积 解｜题｜技｜巧 1.将几何体侧面沿母线 / 棱展开，转化为矩形、扇形等平面图形； 2.在平面图形中确定边长、角度等核心参数，计算平面图形面积得侧面积； 3.结合底面积求全面积，体积仍用对应公式计算. 【典例2】（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆锥的底面半径为，侧面展开图的弧长为， 又侧面展开图的圆心角为，得圆锥母线长， 则圆锥的表面积. 故选：D. 【变式2-1】（2025高三上·湖南衡阳·专题练习）如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（为扇形所在圆的圆心，圆心角为），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为，该圆台的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，内切球半径为，高为， 则， 而， 得， 又因为， 得， 得， 则， 得该圆台的内切球表面积为， 该圆台的表面积为， 则 【变式2-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 【答案】 【详解】设圆锥的母线长为l，由题意得底面圆的半径， 则，可得，即母线， 所以圆锥的高， 因为是的中点，由三角形相似易得挖去圆柱的底面半径为1， 且圆柱的高，则该圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 则剩下几何体的体积． 题型三 割补法求组合体的表面积或体积 解｜题｜技｜巧 1.拆分组合体为多个熟悉的简单几何体，或补形为规则几何体； 2.体积计算：拆分后求和，补形后用整体体积减多余部分体积； 3.表面积计算：扣除重合面的重复面积后求和； 4.核对参数，准确计算. 【典例3-1】（25-26高一下·重庆·期中）如图，梯形中，，现将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为梯形中，， 所以，， 将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体为圆台， 圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，母线长为， 所以该圆台的表面积为， 即旋转形成的几何体的表面积为 【典例3-2】（2026·山东泰安·模拟预测）某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的2倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高的3倍．若圆台的母线长为12，且与底面所成的角为60°，则该模型的容积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出该模型的轴截面，如图所示，四边形是等腰梯形，四边形是矩形，其中， 分别过两点作的垂线，垂足分别为，则，所以． 因为上底的直径是下底直径的倍， 所以， 解得．又圆柱的高是圆台高的倍，所以． 设圆台上底半径为，下底半径为，则，， 所以圆台的体积为， 圆柱的体积为， 所以该模型的容积为． 【变式3-1】（2021·江苏南京·二模）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原正方体棱长为，裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点， 每个面切掉四个角后，剩余一个边长为的小正方形， 则六个小正方形面的面积和为： 而切掉正方体的个顶点后，每个切口新增一个边长为的正三角形， 则八个正三角形面的面积和为， 所以该饰品的表面积为. 【变式3-2】（2026·江苏南通·模拟预测）在平面四边形中，，，，将该四边形绕所在直线旋转一周，所得几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点分别作，垂足分别为，如下图所示： 在中，因为，，所以， 又在中，，因此，所以； 易知四边形为矩形，所以，可得； 将该四边形绕所在直线旋转一周，所得几何体为一个圆台和一个圆锥组成， 圆台的上、下底面半径为，高为，圆锥底面半径为，高为； 因此圆台体积为， 圆锥体积为， 所以所得几何体的体积为. 题型四 等体积转化法求锥体的体积或高 解｜题｜技｜巧 1.核心利用锥体体积不变性，依托公式，通过换底换高简化计算； 2.求体积时，选取易求的底面与对应垂直高，代入公式计算； 3.求高时，先算出锥体体积，再通过反求对应高； 4.注意底面积与高的垂直对应，避免错配. 【典例4-1】（25-26高一下·浙江杭州·阶段检测）在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设点到平面的距离为， 因为,, 所以， 因为，所以， 即点到平面的距离为． 【典例4-2】（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）证明：取中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，即， ∵平面，平面， ∴平面      （2）证明：∵平面平面， ∴ ∵，，， ∴， ∴，即 ∵，平面，平面， ∴平面， （3）解：设点到平面的距离为， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴ ∵∵平面平面， ∴ ∵，，平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴， ∴，即点到平面的距离为 【变式4-1】（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】设底面中心为D，取BC的中点E，连接AE，则A，D，E三点共线，连接PE，过点D作底面的垂线， 取棱PA的中点Q，在平面PAE中，过Q作PA的垂线，则与的交点即为球心O， 在正中，，，得， 又，即， 则，，， 由余弦定理得，则， 过O作PE的垂线，垂足为G，由，， 因为，PA，平面，所以平面， 又平面PBC，则平面平面， 又平面平面，平面，因此平面PBC， 在中，， 所以球心O到平面PBC的距离为， 则三棱锥的体积为， 而，设点到平面的距离为， 由，得，解得， 则点到平面的距离为. 【变式4-2】（25-26高二上·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)192；(3). 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 题型五 补形法求几何体外接球的表面积或体积 解｜题｜技｜巧 1.分析几何体结构特征，将其补形为长方体、正方体、直棱柱等外接球易求的规则几何体，确保原几何体顶点均在补形后几何体的外接球上； 2.计算补形后几何体的体对角线长，得外接球半径； 3.代入球的表面积、体积公式完成计算. 【典例5】（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面，， 可将三棱锥补形为长方体， 则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 则长方体的体对角线即为外接球的直径. 又， 故外接球的表面积为. 【变式5-2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以和均是腰长为的等腰直角三角形， 将其补充为如图1所示的长方形，将沿折起，则是二面角的平面角， 折起后得到如图2所示的上下底面是边长为的等边三角形的直三棱柱， 且该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 设外接圆的半径为，则，所以， 又三棱柱的高为，所以三棱柱外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 【变式5-3】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 【答案】D 【详解】如图,根据题意补全为长方体，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为, 则，所以， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 题型六 截面法求几何体的表面积或体积 解｜题｜技｜巧 针对旋转体或对称几何体，构造过旋转轴、 对称轴的轴截面，将空间问题转化为平面问题；在轴截面中提取半径、高、母线等关键元素，用平面几何知识计算核心参数，最终代入公式求解几何体的表面积或体积. 【典例6】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】如图，设内切球的半径为，圆台上、下底面的圆心分别为，，则圆台内切球的球心一定在的中点处. 设球与母线切于点，则，所以，，同理，圆台的母线长为. 又，所以，解得. 由，得，所以，，.    【变式6-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为.若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得. 则圆锥的轴截面为边长为10的等边三角形. 沿圆锥内三个球的球心的截面如图，则为边长为的等边三角形， 根据圆锥的性质易知截面圆的圆心为的外心，所以. 沿，所在轴截面如图，易知，所以. 所以，解得. 【变式6-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 题型七 相似法求解几何体的面（体）积或面（体）积之比问题 解｜题｜技｜巧 1.先判定两个几何体的相似关系，确定对应边的相似比； 2.依据相似性质，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方； 3.若为部分与整体，拆分出相似部分后再计算对应比例； 4.核对相似比的对应关系，避免错配. 【典例7】（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）一个圆锥的母线长为且轴截面为正三角形，一个平行于底面的平面将圆锥分为体积相等的两个部分，其中圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆锥的母线长为且轴截面为正三角形， 所以圆锥的高为. 平行于底面的平面将圆锥分为体积相等的两个部分，设截得的小圆锥的高为， 则，所以. 所以圆台的高为：. 【变式7-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知正三角形面积比为边长比的平方， 又因为正三棱台上、下底面边长为和， 因此上下底面积比， 设上底面积，则下底面积， 设棱台的高，即上下底面的距离为， 根据棱台体积公式可得： ， 又因为在上底面，到下底面的距离就是棱台的高， 因此：， ， 因此体积比：. 【变式7-2】（2026·湖南长沙·三模）一圆台上下底面半径为另一圆锥的底面半径也为.若圆台的母线与圆锥的母线长相等，则圆台与圆锥体积比为（     ） A． B．3 C． D．7 【答案】D 【详解】设，因为，所以. 设圆台高为，母线长为，. 设圆锥高为，. 所以，. 圆台体积. 圆锥体积. 所以. 题型八 垂线法求几何体表面积或体积的最值 解｜题｜技｜巧 1.确定几何体固定底面，过对应顶点作底面垂线，垂线段长为高 h； 2.结合题干几何约束（棱长、线面角等），用勾股定理、三角函数求 h 的最值； 3.将 h 最值代入表面积、体积公式，计算得最终最值； 4.核对约束，确保取值符合几何意义. 【典例8】（2026·北京昌平·二模）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取中点，中点，连接，， ，，， 因为点分别是棱的中点，所以，因为为中点， 所以，，，所以平面平面， 点在平面上运动，又因为点在正方体的表面上运动，所以点在直线，， ，上运动，且为等腰三角形， 求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值，点到边距离最小， 设点到边的垂足为，则为的中点，所以，所以线段的最小值为. 【变式8】（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据球的性质，结合直角三角形的性质、勾股定理进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以是直角三角形，斜边， 所以的外接圆的半径为， 因此球心O在平面的射影是的中点，设为， 设，球的半径为，于是有， 即， 要想球O的体积最小，只需，此时，O重合，， 因为点 P 在底面的射影在直线上， 所以设射影为，连接， 显然， 所以， 当最小时，有最大值， 显然当时，最小，因为，O是的中点 所以且， 所以的最大值为. 题型九 基本不等式法求几何体表面积或体积的最值（跨章节） 解｜题｜技｜巧 1.分析几何体结构，设出棱长、高、半径等关键变量，结合几何约束列出表面积 / 体积的表达式； 2.运用基本不等式，遵循 “一正二定三相等” 原则求出最值； 3.验证等号成立的条件，确保符合几何意义，完成求解. 【典例9】（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设球的半径为， 则有，解得， 又因为球心在棱上， 所以为直径且， 所以为直角三角形，且, 要使棱锥的体积最大， 则的面积最大，且点到平面的距离也要最大， 当平面时，最大，此时, 又, 当且仅当时，等号成立； 设三棱锥的体积为， 所以， 所以. 【变式9】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知长方体的一条棱长为，体积为，则其外接球表面积的最小值为________. 【答案】 【详解】设长方体共顶点的三条棱的长分别为， 则长方体的体积，解得． 设长方体的外接球半径为，则， 即，即，当且仅当时取等号， 所以， 所以其外接球表面积的最小值为． 题型十 函数法求几何体表面积或体积的最值（跨章节） 解｜题｜技｜巧 1.结合几何体结构，设棱长、高、角度等为自变量，依据几何约束，将表面积、 体积表示为该自变量的函数，明确定义域； 2.利用函数单调性、二次函数性质等，求函数的最值； 3.验证最值对应自变量符合几何意义，完成求解. 【典例10】（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)若F为中点，且，求二面角的余弦值； (3)若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1），，， 将沿折起，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，. （2）由（1）可知，，，二面角的平面角为， 由F为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. （3）由D为中点，得，设，则， 以为底的三棱锥的高为点到底面的距离，则距离的最大值为， 所以三棱锥的体积， 当且仅当时取等号，所以三棱锥的体积的最大值为. 【变式10】（25-26高一·全国·单元测试）沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长)，所以圆柱的侧面积S＝2πrl，其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长．现已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积； (2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 【答案】（1）（2） 【详解】(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示)． 设所求圆柱的底面半径为，它的侧面积． 因为，所以．所以， 化简得到，其中． (2) 由（1）可得． 当，有最大值，故当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大． 题型十一 祖暅原理法求不规则几何体的体积 解｜题｜技｜巧 核心依据祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”，先分析不规则几何体的截面特征，找到同高、同位置截面面积恒等的规则几何体；计算规则几何体的体积，即可得不规则几何体的体积；需验证同高、截面面积恒等的适用条件. 【典例11】（2026·吉林白山·模拟预测）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（   ）. A．7 B．10 C．7π D．10π 【答案】A 【详解】正四棱台的上底面边长为，故上底面积； 下底面边长为，故下底面积，棱台高 所以. 【变式11-1】（25-26高三上·广东惠州·期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，三棱锥的体积等于圆锥的体积， 圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一， 所以圆锥的底面周长为，故圆锥的底面半径为1，母线为3， 所以圆锥的高为，则圆锥的体积， 从而所求三棱锥的体积为. 故选：A 【变式11-2】（24-25高一下·辽宁·期末）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 【答案】B 【分析】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等，在正四棱柱，作四棱锥，作一平行截面，先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等， 在正四棱柱，作四棱锥， 为底面正方形的中心， 作截面平行于帐篷底面，与帐篷和正四棱柱与正四棱锥相截， 截面分别为四边形，四边形，四边形，如图所示， 设截面与底面的距离为，设底面中心为， 截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为. 设四棱柱底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形的面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故选：B. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知一个底面半径为1的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的4倍，则该圆锥的母线长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】已知圆锥底面半径 ，底面面积 ， 侧面展开图为扇形，其面积是底面面积的 4 倍， 因此侧面积 ， 圆锥的侧面积公式为 ，其中 为母线长， 联立得：， 解得：， 因此，该圆锥的母线长为 4. 故选：A 2．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为，球心为O，一个顶点为A，可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图， 则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为， 则球心是的中点， 由正六棱柱底面边长为，侧棱长为， 所以中，， 可得， 因此，该球的体积为. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）现有一件精美的瓷器，其形状可以近似看作是由两个圆台组合而成的几何体，如图．已知圆的面积为，圆，，的半径比为，圆台的高为5cm，圆台的高度是圆台高度的2倍，则该瓷器艺术品的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆的半径分别为，圆台的高分别为， 依题意知的面积为，故，则，， 又，则， 因此圆台的体积， 圆台的体积， 所以该瓷器艺术品的体积． 4．（25-26高一下·四川·期末）已知直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积． 【答案】(1)见解析;(2) 【详解】（1）连接，，则交于点，如下图所示， 因为分别为，的中点， 所以在中，， 因为平面，平面， 所以平面. （2）连接，如下图所示， 因为是边长为2的正三角形，为正方形， 所以，， 所以， 所以四面体的体积为. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26高一下·重庆·期中）半径为6的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，已知球O的半径， 作轴截面，如图， 由勾股定理得：， 圆柱侧面积， 当且仅当时等号成立， 因此圆柱侧面积的最大值为， 球的表面积为， 故两者差值为. 2．（25-26高一下·重庆·期中）图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为，可得该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上，且,由几何关系可得,解方程即可求解. 【详解】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为， 设正六棱锥的上顶点为,正六棱柱底面的中心为, 连接，则,正六棱柱底面 该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上， 且, 设该几何体外接球的半径为,则,解得：, 所以球的体积为 3．（25-26高三上·天津西青·期末）在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：该正八面体是由底面边长为，高为1的两个同底的正四棱锥组成， 所以该正八面体配位多面体模型的体积为， 故选：C 4．（25-26高二下·上海·期中）某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的动点，是的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若点是的中点，求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，，因为是的中点，所以是的中位线， 因此： ，且， 由圆台性质，上底直径，且， 故且， 因此四边形是平行四边形，得， 又平面，平面，所以平面. （2） 轴截面等腰梯形中，，，，圆台的高： ， 因为是下底直径，在下底圆周上，故， 设到底面直径的距离为，由下底圆半径为2，得，最大值为2， 的面积，是中点，故， 因为是中点，平面， 故， 到底面的距离为圆台的高， 因此： ， 因为，当时三棱锥体积取最大值： . 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（2026·广东湛江·二模）已知长方体中，，，是的中点，点在线段上运动（含端点），则点到平面的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，过点作的垂线，垂足为，则， 又,平面，所以平面， 平面，故， 又，故平面， 所以点到平面的距离即为点到直线的距离即， 故当点与重合时，所求距离有最大值， ， 又， 解得，所以点到平面的距离的最大值为. 2．（多选）（2026·甘肃张掖·二模）如图，在三棱台中，侧面是等腰梯形，，，侧面平面，，，为的中点，点在上，且，则（     ） A．平面 B．直线与平面所成角小于 C．平面将该三棱台分成两个几何体，则体积较小几何体的体积为 D．四点，，，在同一球面上，则该球的表面积为 【答案】ACD 【分析】A先求证，，再利用线面垂直的判定定理求证；B取线段的中点，取线段靠近点的四等分点，求证直线与平面所成角为即可；C延长交于点，延长交于点，连接交于点，求三棱台、体积即可；D求以为长宽高构成的长方体的外接球的表面积. 【详解】因为侧面是等腰梯形，，， 所以， 在中利用余弦定理得， 则，则， 因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面，故A正确； 因为，，，所以， 因为是三棱台，所以，即， 得， 取线段的中点，取线段靠近点的四等分点，连接， 因为为的中点，所以，， 又，，则，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，所以直线与平面所成角为， 由， 得， 因为，所以， 所以直线与平面所成角大于，故B错误； 延长交于点，延长交于点，连接交于点， 则为三棱台， 因为，所以，则， 记，则， 因为，所以，， 连接，因为， 所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 则三棱台的体积为， 三棱台的体积为， 则， 则平面将该三棱台分成两个几何体，则体积较小几何体的体积为，故C正确； 因为平面，，所以平面， 因为，所以三棱锥的外接球和以为长宽高构成的长方体的外接球相同， 则球的半径为，则该球的表面积为，故D正确. 3.（25-26高一下·湖南邵阳·期中）如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【详解】依题意，，正三角形的高为，则到的距离与梯形的高均为. 三棱锥的体积，其中， 是到底面的高，由图知，当且仅当平面平面时，最大（），此时其体积最大. 又因是等腰梯形，为圆内接四边形，其外心必在对称轴（中点到中点的连线）上，而. 设四棱锥的底面外接圆半径为，外心到的距离为， 由勾股定理： 将代入可得，解得， 因.则可知棱锥底面外接圆圆心就是中点，且，即. 外接球的球心必在过底面外心且垂直于底面的直线上， 设，外接球半径为，则：. 由平面平面，，得底面，， 且.由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：. 因此， 外接球表面积：. 4．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是__________. 【答案】 【详解】解：由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的，设原正四面体的棱长为， 则其表面积为，由图易知该多面体与原正四面体相比较， 表面积少了8个边长为的正三角形的面积， 所以该多面体的表面积为，所以. 如图，是下底面正六边形的中心，是上底面正三角形的中心， 由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心在原正四面体的高上， . 设球的半径为，在中，，所以， 在中，， 所以， 所以，解得，所以， 所以该多面体外接球的表面积. 14 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $