期末复习讲义07：统计【9个题型归纳】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义07：统计】 总览 题型梳理 【知识梳理】 1．简单随机抽样 【知识点的认识】 1．定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． 2．特点： （1）有限性：总体个体数有限； （2）逐个性：每次只抽取一个个体； （3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体； （4）等概率：每个个体被抽到的机会相等．（如果从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，则每个个体被抽取的概率等于） 3．适用范围：总体中个数较少． 4．注意：随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素． 2．分层随机抽样 （1）分层随机抽样的定义 按一个或多个变量把总体划分成若干个__子总体____________，每个个体__属于且仅属于______一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这种抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为___层______，分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成__比例______，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． （2）总体平均数和样本平均数公式 总体平均数公式：，样本平均数公式： 3．频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的___频率_____，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为___1_____． 4．用样本的数字特征估计总体 （1）总体百分位数的估计 定义 意义 百分位数 一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值 反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点 （2）常用样本的数字特征___中位数_____、__众数______、____平均数____来估计总体的集中趋势. （3）总体离散程度的估计 假设一组数据是，用表示这组数据的平均数，那么这个数的：①标准差；②方差. 众数、中位数、平均数的优缺点 【解题方法点拨】 众数、中位数、平均数的选取： （1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况； （2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）； （3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）． 根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数： （1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数． （2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值． （3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和． 5．特征：标准差、方差刻画了数据的_离散_______程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越_ 大_______；标准差越小，数据的离散程度越___小_____．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用___标准差_____. 6．特征：一组数据中的众数可能___不止_____一个．众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多，但并未告诉我们它比别的数值多的程度．因此，众数只能传递数据中信息的_很少一部分_______，对极端值也不敏感． 7．计算百分位数的步骤：第1步，按从__小______到___大_____排列原始数据．第2步，计算________．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为___第项_____数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第项数据的_平均数_______． 8．特征：极差是一种简单的度量数据_离散程度_______的方法，极差在一定程度上刻画了数据的离散程度．但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的___信息量_____很少． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：简单随机抽样】 【练方法】 方法技巧 1适用总体容量较小个体无分层差异 2方法：抽签法、随机数法 3抽样具备等可能性 公式结论 个体入样概率 （25-26高一下·重庆·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析， 先将全体900名学生编号为001， 002， 003， …， 900， 从中抽取60个样本， 并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为____________.经典例题1例题 95226000     49840128     66175168      39682927     43772366     27096623 92580956    43890890      06482834      59741458     29778149     64608925 （25-26高二下·上海·期末）现从编号为01 ， 02 ，... ，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第5支水笔的编号为______________.经典例题2例题 39832776    39918535    32591131    40469235    04982212    20671263 （25-26高一下·河南开封·期末）（多选）为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A．20000名学生的数学成绩是总体 B．200名学生是样本 C．每名学生是个体 D．样本容量是200 （25-26高一下·北京·期末）要考察某种品牌的450颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将450颗种子按001，002，，450进行编号，如果从随机数表第2行第4组（随机数组中每5个数为一组）开始，自左向右自上至下读数，使用各个5位数组的前3位，则最先抽取的4颗种子的编号是__，___，___，___．小试牛刀2 （下面摘取了随机数表第1行至第4行） 43021   92980   27768   26916   27783   84572   78483   39820 61459   39073   79242   20372   21048   87088   34600   34636 63171   58247   12907   50303   28814   40422   97895   61421 42372   53183   51546   90385   12120   64042   51320   22983． （25-26高一下·福建厦门·阶段检测）某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，利用科学计算器依次生成一组随机数如下：6859926968  2731099169  6729315571  2101421882  6498176555，则选出的第5个样本的编号是________．小试牛刀3 【题型2：分层抽样】 【练方法】 方法技巧 1总体分层差异显著时使用 2各层抽样比与总体抽样比相等 公式结论 1抽样比 2第层抽取样本量 3分层样本均值 （25-26高一下·山东泰安·期末）某羽毛球俱乐部有A队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（    ）经典例题1例题 A．40 B．35 C．25 D．20 （2026·辽宁朝阳·模拟预测）某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·宁夏石嘴山·阶段检测）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如表所示，则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多__________人．小试牛刀1 生活能否自理 男 女 能 178 278 不能 23 21 （25-26高一下·山西·阶段检测）某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取___________人.小试牛刀2 （25-26高一下·河北衡水·阶段检测）某班有名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了人参加学校公益社团，其中男生人，则该班女生人数为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：百分位数的计算】 【练方法】 方法技巧 1数据升序排列计算位次判定取值 2直方图用线性插值求百分位数 公式结论 1位次 2为整数 3非整数向上取整取值 4直方图百分位数 （25-26高一下·山东青岛·阶段检测）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则__________.经典例题1例题 （24-25高三下·河南驻马店·开学考试）根据某小区居民的月均用电量数据（单位：度），得到如图所示的频率分布直方图，则月均用电量数据的75%分位数为（   ）经典例题2例题 A．53度 B．54度 C．55度 D．56度 （浙江衢州市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）近年来人工智能在教育领域的应用越加广泛．某校为了解周末某款AI应用软件在学生中的使用时长（单位：小时）情况，进行了问卷调查，从所有问卷中随机抽取100份作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．小试牛刀1    (1)求图中的值与该样本数据的第80百分位数； (2)根据该频率分布直方图，估计1800名学生中有多少学生使用时长在1小时及以上． （山东青岛市2025-2026学年高一下学期6月部分学生调研检测（强基班调考）数学试题）若一组整数数据：，2，1，3，4，5，4，6，8，9的第75百分位数是，则可以是_______（写出其中一个即可）．小试牛刀2 （25-26高一下·河南商丘·阶段检测）某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（     ）小试牛刀3 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 A． B． C． D． 【题型4：众数平均数中位数的计算】 【练方法】 方法技巧 1平均数描述平均水平中位数描述中间水平众数描述高频数值 2直方图：众数取最高矩形中点 公式结论 1算术平均数 2加权平均数 （25-26高一下·山东青岛·阶段检测）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）（多选）年月日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌．为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛．为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分：分），得到如下的频率分布直方图，则（    ）经典例题2例题 A．图中的值为 B．估计样本中竞赛成绩的众数为 C．估计样本中竞赛的平均成绩不超过分 D．估计样本中竞赛成绩的第百分位数为 （24-25高二下·湖南长沙·期末）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为1至10的整数）形成的一组数据中，中位数为7，唯一的众数为10，极差为5，则该组数据的平均数为（    ）．小试牛刀1 A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2 （2026·福建福州·三模）某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（    ）小试牛刀2 A．   B．   C．   D．   （2026·山东·模拟预测）（多选）某工厂抽检120个机械零件的外径尺寸（单位：mm），分组数据如下表：小试牛刀3 尺寸区间 频数 8 13 22 37 24 16 根据表中数据，下列结论正确的有（     ） A．这120个零件外径尺寸的中位数不小于 B．这120个零件外径尺寸不低于的零件所占比例不足 C．这120个零件外径尺寸的极差介于到之间 D．这120个零件外径尺寸的平均值介于至之间 【题型5：频率分布图的计算】 【练方法】 方法技巧 1矩形面积为分组频率直方图总面积为1 2中位数通过平分总面积插值求解 公式结论 1频率 2组频率 3直方图平均数 4直方图中位数 （25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图．经典例题1例题 (1)求的值； (2)根据频率分布表，估计该小组第百分位数以及平均成绩. （2026·甘肃嘉峪关·三模）（多选）为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（   ）经典例题2例题    A．样本中延迟在内的模型个数为60 B．估计样本的中位数落在区间内 C．估计样本的平均数约为 D．该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟时间较短 （25-26高二下·湖南郴州·期中）（多选）某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（   ）小试牛刀1 A．频率分布直方图中a的值为0.16 B．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C．估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 （2026·福建厦门·模拟预测）（多选）某校有学生人，其中男生人，女生人.为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则（    ）小试牛刀2    A． B．样本中男生阅读时间的中位数低于分钟 C．样本中阅读时间在分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D．用样本估计总体，全校学生中阅读时间在分钟以上的约有人 （2026·河南郑州·二模）（多选）某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．的值为0.04 B．估计样本成绩的众数约为85 C．估计样本成绩的上四分位数约为87.5 D．若规定成绩排名前的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于90分 【题型6：方差的计算】 【练方法】 方法技巧 1方差刻画数据离散程度数值越小数据越稳定 公式结论 1方差定义式 2方差简化式 3标准差 （2026·江苏南通·模拟预测）某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____．经典例题1例题 （25-26高一下·河南开封·期末）已知样本数据，，，，的平均数为，方差为，则，，，，的平均数为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·甘肃平凉·模拟预测）在2026年春节联欢晚会《武BOT》节目中，机器人的集群表演实现了0.001秒级响应.节目组随机抽取了甲、乙两组各5台机器人，记录其完成“空中转体”动作的响应时间（单位：秒）数据如下：小试牛刀1 甲组：0.008，0.009，0.010，0.011，0.012 乙组：0.007，0.009，0.010，0.011，0.013 则下列关于两组数据的统计结论，正确的是（    ） A．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 B．甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数 C．甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D．甲组数据的极差大于乙组数据的极差 （25-26高一下·河南洛阳·阶段检测）已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（    ）小试牛刀2 A．18 B．20 C．24 D．28 （25-26高二下·重庆·期中）（多选）有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为.在这组数中，去掉一个最大的数8和一个最小的数2，余下8个数据的中位数为，极差为，方差为，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：数据变化对应平均数方差的变化】 【练方法】 方法技巧 1平移仅改变均值伸缩同步改变均值与方差 公式结论 设变换 1 2 3 （25-26高一下·浙江宁波·期末）已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（     ）经典例题1例题 A．1，4 B．2，1 C．1，1 D．2，4 （25-26高二上·贵州遵义·期末）设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（    ）经典例题2例题 A．0.02 B． C．0.2 D．0.4 （25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知样本数据的方差为3，若，则的方差为（     ）小试牛刀1 A．31 B．27 C．13 D．9 （25-26高一下·湖南·阶段检测）已知一组数据，， 的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ）小试牛刀2 A．， B．， C．， D．， （2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16的80%分位数是14 B．若数据的平均数为4，则数据的平均数为16 C．若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5 D．若数据的平均数为，则的方差为 【题型8：分组数据总体的方差计算】 【练方法】 方法技巧 1总体方差分为层内方差加权和、层间方差两部分 公式结论 层权重 1总体均值 2分层总体方差 （25-26高二下·上海·阶段检测）现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________．经典例题1例题 （25-26高一下·山东济宁·期末）为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情怀，某高校在“五四”青年节举办“传承‘五四’薪火竞答青春华章”校史知识竞赛．共有100名学生参加校史知识竞赛，其中男生60名，女生40名，成绩均在内，将60名男生的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为，，，，，，并作出如图所示的频率分布直方图．经典例题2例题 (1)求图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这60名男生校史知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)已知这60名男生成绩的方差为214.75，40名女生成绩的平均数和方差分别为73和255.75，估计这100名学生成绩的平均数和方差． （25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示．小试牛刀1 (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． （2026·陕西西安·模拟预测）某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩为__________分，方差为__________．小试牛刀2 （25-26高二上·安徽淮南·开学考试）高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为________.小试牛刀3 【题型9：统计综合中等题型】 （25-26高一下·河北邢台·阶段检测）（多选）甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（     ）经典例题1例题 A．甲：极差为4，平均数为4.4 B．乙：中位数为3，平均数为3.4 C．丙：平均数为3，方差不小于4 D．丁：中位数为2，方差大于2.5 （25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）（多选）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下.经典例题2例题 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 （2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）有一组互不相等的样本数据，现添加一个新的数据，得到新的一组数据，则新数据与原数据相比，下列情况可能发生的是（   ）小试牛刀1 A．若平均数不变，但极差变大 B．若中位数不变，但平均数变小 C．若平均数不变，但方差变大 D．若中位数不变，但方差变小 （25-26高三上·河北邯郸·期中）（多选）有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为，，，，且这组数据的平均数与中位数相等，则正确的为（    ）小试牛刀2 A．，，，的平均数等于，，，的平均数 B．，，，的中位数等于，，，的中位数 C．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差 D．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差 （24-25高三上·河北邯郸·阶段检测）（多选）现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：小试牛刀3 甲球员：5个数据的中位数是25，众数是23； 乙球员：5个数据的中位数是28，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是30，平均数是25，方差是10； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（    ） A．甲球员连续5场比赛得分都不低于23分 B．乙球员连续5场比赛得分都不低于23分 C．丙球员连续5场比赛得分都不低于23分 D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于23 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义07：统计】 总览 题型梳理 【知识梳理】 1．简单随机抽样 【知识点的认识】 1．定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． 2．特点： （1）有限性：总体个体数有限； （2）逐个性：每次只抽取一个个体； （3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体； （4）等概率：每个个体被抽到的机会相等．（如果从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，则每个个体被抽取的概率等于） 3．适用范围：总体中个数较少． 4．注意：随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素． 2．分层随机抽样 （1）分层随机抽样的定义 按一个或多个变量把总体划分成若干个__子总体____________，每个个体__属于且仅属于______一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这种抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为___层______，分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成__比例______，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． （2）总体平均数和样本平均数公式 总体平均数公式：，样本平均数公式： 3．频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的___频率_____，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为___1_____． 4．用样本的数字特征估计总体 （1）总体百分位数的估计 定义 意义 百分位数 一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值 反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点 （2）常用样本的数字特征___中位数_____、__众数______、____平均数____来估计总体的集中趋势. （3）总体离散程度的估计 假设一组数据是，用表示这组数据的平均数，那么这个数的：①标准差；②方差. 众数、中位数、平均数的优缺点 【解题方法点拨】 众数、中位数、平均数的选取： （1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况； （2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）； （3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）． 根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数： （1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数． （2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值． （3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和． 5．特征：标准差、方差刻画了数据的_离散_______程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越_ 大_______；标准差越小，数据的离散程度越___小_____．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用___标准差_____. 6．特征：一组数据中的众数可能___不止_____一个．众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多，但并未告诉我们它比别的数值多的程度．因此，众数只能传递数据中信息的_很少一部分_______，对极端值也不敏感． 7．计算百分位数的步骤：第1步，按从__小______到___大_____排列原始数据．第2步，计算________．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为___第项_____数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第项数据的_平均数_______． 8．特征：极差是一种简单的度量数据_离散程度_______的方法，极差在一定程度上刻画了数据的离散程度．但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的___信息量_____很少． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：简单随机抽样】 【练方法】 方法技巧 1适用总体容量较小个体无分层差异 2方法：抽签法、随机数法 3抽样具备等可能性 公式结论 个体入样概率 （25-26高一下·重庆·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析， 先将全体900名学生编号为001， 002， 003， …， 900， 从中抽取60个样本， 并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为____________.经典例题1例题 95226000     49840128     66175168      39682927     43772366     27096623 92580956    43890890      06482834      59741458     29778149     64608925 【答案】175 【分析】根据随机数表抽样规则，从指定起始位置向右逐次读取三位编号，舍去超出001~900范围的编号，统计得到第5个有效编号即可. 【详解】读取规则为从随机数表第1行第4列开始向右连续读取，每次取3位数字，凡不在001~900范围内的编号跳过，与已读取编号重复的也跳过： 首次读取得到260，属于有效范围，为第1个样本编号； 接下来读取得到004，属于有效范围，为第2个样本编号； 继续读取得到984，超出最大编号900，舍去；继续读取得到012，属于有效范围，为第3个样本编号； 继续读取得到866，属于有效范围，为第4个样本编号； 继续读取得到175，属于有效范围，为第5个样本编号。 因此得到的第5个样本的编号为175. （25-26高二下·上海·期末）现从编号为01 ， 02 ，... ，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第5支水笔的编号为______________.经典例题2例题 39832776    39918535    32591131    40469235    04982212    20671263 【答案】31 【详解】从随机数表第9个数字开始，两个数字一组，超过50的和与前面重复的舍弃， 即39，35，32，11，31，故抽取的第5支水笔的编号为31. （25-26高一下·河南开封·期末）（多选）为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A．20000名学生的数学成绩是总体 B．200名学生是样本 C．每名学生是个体 D．样本容量是200 【答案】AD 【分析】根据统计中总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断各选项. 【详解】总体是指所要考察的对象的全体，本题考察对象为学生的高三模拟考试数学成绩， 因此20000名学生的数学成绩是总体，A选项正确， 又因为样本是从总体中抽取的一部分用于考察的个体， 因此本题的样本为抽取的200名学生的数学成绩，而非200名学生本身，B选项错误， 个体是总体中的每一个考察对象，因此本题的个体为每名学生的数学成绩，而非每名学生本身，C选项错误， 样本容量是样本中所包含的个体的数目，无单位，本题抽取了200名学生的数学成绩， 因此样本容量为200，D选项正确. （25-26高一下·北京·期末）要考察某种品牌的450颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将450颗种子按001，002，，450进行编号，如果从随机数表第2行第4组（随机数组中每5个数为一组）开始，自左向右自上至下读数，使用各个5位数组的前3位，则最先抽取的4颗种子的编号是__，___，___，___．小试牛刀2 （下面摘取了随机数表第1行至第4行） 43021   92980   27768   26916   27783   84572   78483   39820 61459   39073   79242   20372   21048   87088   34600   34636 63171   58247   12907   50303   28814   40422   97895   61421 42372   53183   51546   90385   12120   64042   51320   22983． 【答案】 203 210 346 129 【详解】从随机数表第2行第4组（随机数组中每5个数为一组）开始，自左向右自上至下读数， 使用各个5位数组的前3位，可得： 第一个数字是203，符合题意； 第二个数字是210，也符合题意； 第三个数字是870，大于450，舍去； 第四个数字是346，符合题意； 第五个数字是346，重复，舍去； 第六个数字是631，大于450，舍去； 第七个数字是582，大于450，舍去； 第八个数字是129，符合题意． 最先抽取的4颗种子的编号为：203，210，346，129. （25-26高一下·福建厦门·阶段检测）某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，利用科学计算器依次生成一组随机数如下：6859926968  2731099169  6729315571  2101421882  6498176555，则选出的第5个样本的编号是________．小试牛刀3 【答案】 【分析】依据随机数表法的抽样规则，依次读取三位随机数，舍去编号范围外、重复的编号，直到选出第5个有效样本编号． 【详解】已知疫苗编号为三位，范围是，按从左到右的顺序依次读取三位随机数： 第一组随机数为685，在编号范围内，为第1个有效样本；第二组随机数为992，超出编号范围，舍去； 第三组随机数为696，在编号范围内，为第2个有效样本；第四组随机数为827，在编号范围内，为第3个有效样本； 第五组随机数为310，在编号范围内，为第4个有效样本；第六组随机数为991，超出编号范围，舍去； 第七组随机数为696，与已选样本重复，舍去；第八组随机数为729，在编号范围内，为第5个有效样本， 因此选出的第5个样本的编号是729． 【题型2：分层抽样】 【练方法】 方法技巧 1总体分层差异显著时使用 2各层抽样比与总体抽样比相等 公式结论 1抽样比 2第层抽取样本量 3分层样本均值 （25-26高一下·山东泰安·期末）某羽毛球俱乐部有A队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（    ）经典例题1例题 A．40 B．35 C．25 D．20 【答案】B 【详解】根据分层抽样可得，解得． （2026·辽宁朝阳·模拟预测）某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设男生人数为，女生人数为，由题设可得女生及格人数，据此可得答案. 【详解】因男生，女生比例为. 设男生人数为，女生人数为，因全体学生的及格率为， 则及格学生人数为，又男生及格率为，则男生及格人数为， 女生及格人数为：，则女生及格率为. （25-26高一下·宁夏石嘴山·阶段检测）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如表所示，则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多__________人．小试牛刀1 生活能否自理 男 女 能 178 278 不能 23 21 【答案】 60 【详解】由抽样统计表格可知，抽取的500位老人中，生活不能自理的男性有23人，女性有21人， 因此样本中生活不能自理的男性比女性多人. 本次抽样的总体容量为15000，样本容量为500，因此抽样比为， 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为人. （25-26高一下·山西·阶段检测）某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取___________人.小试牛刀2 【答案】12 【分析】由分层抽样的方法进行求解． 【详解】女生应抽取的人数为人. （25-26高一下·河北衡水·阶段检测）某班有名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了人参加学校公益社团，其中男生人，则该班女生人数为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该班女生人数为，则，解得， 所以该班女生人数为. 【题型3：百分位数的计算】 【练方法】 方法技巧 1数据升序排列计算位次判定取值 2直方图用线性插值求百分位数 公式结论 1位次 2为整数 3非整数向上取整取值 4直方图百分位数 （25-26高一下·山东青岛·阶段检测）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则__________.经典例题1例题 【答案】 20 【详解】由，得的70%分位数为，所以. （24-25高三下·河南驻马店·开学考试）根据某小区居民的月均用电量数据（单位：度），得到如图所示的频率分布直方图，则月均用电量数据的75%分位数为（   ）经典例题2例题 A．53度 B．54度 C．55度 D．56度 【答案】C 【分析】由频率分布直方图计算各组频率，确定75%分位数所在区间，利用频率比例关系计算. 【详解】由频率分布直方图可知，组距为10， 第一组[20，30）的频率为0.00510=0.05； 第二组[30，40）的频率为0.01010=0.10； 第三组[40，50）的频率为0.05010=0.50； 第四组[50，60）的频率为0.02010=0.20； 因为前三组的频率之和为0.05+0.10+0.50=0.65<0.75，前四组频率之和为0.65+0.20=0.85>0.75， 所以75%分位数位于第四组[50，60）内. 设75%分位数为，则， 即，解得. （浙江衢州市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）近年来人工智能在教育领域的应用越加广泛．某校为了解周末某款AI应用软件在学生中的使用时长（单位：小时）情况，进行了问卷调查，从所有问卷中随机抽取100份作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．小试牛刀1    (1)求图中的值与该样本数据的第80百分位数； (2)根据该频率分布直方图，估计1800名学生中有多少学生使用时长在1小时及以上． 【答案】(1) ，第80百分位数为 ； (2) 人. 【详解】（1）由题， 解得：． 因为的频率为， 的频率为， 所以该样本数据的第80百分位数位于区间中， 所以该样本数据的第80百分位数为：． （2）根据频率分布直方图，使用时长在1小时及以上的频率为，而． 故估计1800名学生中有1566名学生使用时长在1小时及以上． （山东青岛市2025-2026学年高一下学期6月部分学生调研检测（强基班调考）数学试题）若一组整数数据：，2，1，3，4，5，4，6，8，9的第75百分位数是，则可以是_______（写出其中一个即可）．小试牛刀2 【答案】6（6或7或8写出其中一个即可） 【分析】对已知数据进行排序，结合百分位数的定义，直接求解即可. 【详解】将除的9个已知数据按从小到大顺序排列：1，2，3，4，4，5，6，8，9. 因为，可知第75百分位数为第8位数，所以必须大于或等于第7个数， 所以可以为6或7或8. （25-26高一下·河南商丘·阶段检测）某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（     ）小试牛刀3 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定第40百分位数在频数分布表中确定对应的数据位置，先计算目标位置，再通过累加频数找到该位置对应的数值. 【详解】首先计算， 根据百分位数的定义，第40百分位数应为这组数据从小到大排列后的第21项数据， 直径为的频数为8，直径为的频数为9，累加频数为17， 直径为的频数为8，累加频数为25，即占据第18个至第25的位置， 因此，这51个零件的直径的第40百分位数为. 【题型4：众数平均数中位数的计算】 【练方法】 方法技巧 1平均数描述平均水平中位数描述中间水平众数描述高频数值 2直方图：众数取最高矩形中点 公式结论 1算术平均数 2加权平均数 （25-26高一下·山东青岛·阶段检测）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数. 【详解】由直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，得众数是最高矩形下底边的中点横坐标， 因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值； 直线左右两边矩形面积相等， 而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则 ； 又数据分布图为右拖尾，因此平均数大于中位数，即， 所以. （25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）（多选）年月日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌．为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛．为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分：分），得到如下的频率分布直方图，则（    ）经典例题2例题 A．图中的值为 B．估计样本中竞赛成绩的众数为 C．估计样本中竞赛的平均成绩不超过分 D．估计样本中竞赛成绩的第百分位数为 【答案】ACD 【分析】先利用频率分布直方图总面积为求出判断A；取最高矩形中点得众数判断B；用每组中点乘对应频率求和算出平均分判断C；逐级累加频率定位百分位数所在区间，列方程求解数值判断D． 【详解】A，，解得，A正确； B，众数是最高矩形的中点，最高矩形是，不是，B错误； C，计算平均成绩（每组中点×组频率求和）： ，C正确； D，先算累计频率， 的频率：； 的频率：； 的频率：， 第百分位数落在累计所在的组内，设为， ， ，解得，D正确． （24-25高二下·湖南长沙·期末）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为1至10的整数）形成的一组数据中，中位数为7，唯一的众数为10，极差为5，则该组数据的平均数为（    ）．小试牛刀1 A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2 【答案】A 【分析】先根据中位数、唯一众数、极差的概念确定5个射击环数的具体取值，再代入平均数公式计算即可. 【详解】射击5次，环数按从小到大排列为：, 唯一的众数是10，说明10出现的次数最多（至少2次），且其他数出现次数都小于2, 因此，数据变为：, 极差为5，最大值是10，因此最小值, 需要满足：，且，因此, 数据为，平均数为：. （2026·福建福州·三模）某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（    ）小试牛刀2 A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向. 直方图左偏（左边拖尾长，右边集中）,如D选项→平均数中位数； 直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数中位数； 直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数. 故此题选D. （2026·山东·模拟预测）（多选）某工厂抽检120个机械零件的外径尺寸（单位：mm），分组数据如下表：小试牛刀3 尺寸区间 频数 8 13 22 37 24 16 根据表中数据，下列结论正确的有（     ） A．这120个零件外径尺寸的中位数不小于 B．这120个零件外径尺寸不低于的零件所占比例不足 C．这120个零件外径尺寸的极差介于到之间 D．这120个零件外径尺寸的平均值介于至之间 【答案】ABC 【分析】由题设表格数据计算各选项对应统计量，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，将零件外径尺寸从小到大排列，则第60个，61个数据均不小于34，则中位数不小于34，故A正确； 对于B，不低于的零件占比为：，故B正确； 对于C，由表格数据可得：零件外径尺寸最小值在内，最大值在内，则零件外径尺寸极差，即外径尺寸最大值与最小值差值范围在20到30之间，故C正确； 对于D，由表格数据，每组数据均取最小值，可得零件外径尺寸平均值不低于： ， 每组数据均取区间的右侧端点，可得零件外径尺寸平均值低于： ， 即零件外径尺寸平均值介于至之间，故D错误. 【题型5：频率分布图的计算】 【练方法】 方法技巧 1矩形面积为分组频率直方图总面积为1 2中位数通过平分总面积插值求解 公式结论 1频率 2组频率 3直方图平均数 4直方图中位数 （25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图．经典例题1例题 (1)求的值； (2)根据频率分布表，估计该小组第百分位数以及平均成绩. 【答案】(1) (2)第百分位数为，平均成绩 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1列式求解； （2）利用频率分布直方图分别估计第62百分位数和平均成绩. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以. （2）成绩在的频率分别为， 则该小组第百分位数，，解得， 所以该小组第百分位数为； 该小组平均成绩. （2026·甘肃嘉峪关·三模）（多选）为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（   ）经典例题2例题    A．样本中延迟在内的模型个数为60 B．估计样本的中位数落在区间内 C．估计样本的平均数约为 D．该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟时间较短 【答案】AD 【分析】求出各组频率判断A；利用中位数的定义计算判断B；估计平均数判断C；结合频率分布直方图分析判断D. 【详解】由频率分布直方图知，数据落在各分组区间的频率依次为：， 对于A，样本中延迟在内的模型个数为，A正确； 对于B，由，，得估计样本的中位数落在区间内，B错误； 对于C，样本的平均数约为，C错误； 对于D，该分布峰值在左侧低延迟区间，仅少数模型延迟较高，频率随延迟增大逐渐降低， 因此呈现右拖尾形态，说明大部分模型的延迟较低，D正确. （25-26高二下·湖南郴州·期中）（多选）某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（   ）小试牛刀1 A．频率分布直方图中a的值为0.16 B．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C．估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 【答案】ACD 【分析】A选项，由频率之和为1列方程计算a；B选项，根据众数为频率最高组的组中值进行计算；C选项，求出抽取的体育爱好者中每周锻炼时长不少于15小时的频率，再乘以总人数即可；D选项，先确定累计频率，再在对应区间内按比例计算. 【详解】由（0.06＋a＋0.38＋0.32＋0.08）×1＝1，得a＝0.16，所以A正确； 众数为频率最高组的组中值，频率最高的组为[15,16），组中值为＝15.5小时，所以B错误； 因为抽取的体育爱好者每周锻炼时长少于15小时的频率为0.06＋0.16＝0.22，对应人数为100×0.22＝22，所以每周锻炼时长不少于15小时的有78人，故C正确； 设80%分位数为x，因为0.06＋0.16＋0.38＝0.6＜0.8，0.06＋0.16＋0.38＋0.32＝0.92＞0.8，所以x[16，17），由（x－16）×0.32＝0.8－0.6，解得x＝16.625，故D正确． （2026·福建厦门·模拟预测）（多选）某校有学生人，其中男生人，女生人.为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则（    ）小试牛刀2    A． B．样本中男生阅读时间的中位数低于分钟 C．样本中阅读时间在分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D．用样本估计总体，全校学生中阅读时间在分钟以上的约有人 【答案】ACD 【分析】根据分层抽样的比例确定男生女生的样本数，然后利用频率分布直方图的性质即可判断. 【详解】对于A，由于频率分布直方图中，所有矩形的面积为，即，解得，故A正确； 对于B，男生前两组的频率为，前三组的频率为， 因此，男生阅读时间的中位数位于第三组，设中位数为，则有，解得， 即男生阅读时间的中位数为分钟，高于分钟，故B错误； 对于C，由于总人数人，其中男生人，女生人，抽样人按比例分配，其中男生人，女生人， 男生阅读时间在分钟以下的人数为人，女生阅读时间在分钟以下的人数为人， 因此阅读时间在分钟以下的人数中，男生人数比女生人数多，故C正确； 对于D，男生阅读时间在分钟以上的人数为人， 女生阅读时间在分钟以上的人数为人，因此样本中阅读时间在分钟以上的人数为人， 全校估计阅读时间在分钟以上的人数为人，故D正确. （2026·河南郑州·二模）（多选）某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．的值为0.04 B．估计样本成绩的众数约为85 C．估计样本成绩的上四分位数约为87.5 D．若规定成绩排名前的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于90分 【答案】ABC 【分析】由所有矩形的面积和为1，求出的值，即可判断A；由众数的定义求出其值，即可判断B；求出上四分位数，即可判断C；由题意可得绩不低于90分的同学占总体的，即可判断D. 【详解】对于A，由题意可得， 解得，故A正确； 对于B，设样本的众数为，则，故B正确； 对于C，设样本成绩的上四分位数为， 由题意可得， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为成绩不低于90分的同学占总体的，不满足题意，故D错误. 【题型6：方差的计算】 【练方法】 方法技巧 1方差刻画数据离散程度数值越小数据越稳定 公式结论 1方差定义式 2方差简化式 3标准差 （2026·江苏南通·模拟预测）某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____．经典例题1例题 【答案】 【分析】先根据原5个数据的方差计算离均差平方和，结合新增数据与原平均数相等的特点，计算新样本的方差. 【详解】设原5个数据为， 由原平均数为10，得，因此； 由原方差为6，根据方差定义得，因此； 加入数据10后，新样本的平均数，与原平均数相等； 新样本的方差. （25-26高一下·河南开封·期末）已知样本数据，，，，的平均数为，方差为，则，，，，的平均数为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 样本数据的平均数为，∴ . 又∵ 该样本的方差为，根据方差公式可得， 将平方项展开得， 将代入上式：， 化简计算得， ∴ 数据的平均数为. （2026·甘肃平凉·模拟预测）在2026年春节联欢晚会《武BOT》节目中，机器人的集群表演实现了0.001秒级响应.节目组随机抽取了甲、乙两组各5台机器人，记录其完成“空中转体”动作的响应时间（单位：秒）数据如下：小试牛刀1 甲组：0.008，0.009，0.010，0.011，0.012 乙组：0.007，0.009，0.010，0.011，0.013 则下列关于两组数据的统计结论，正确的是（    ） A．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 B．甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数 C．甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D．甲组数据的极差大于乙组数据的极差 【答案】C 【详解】甲组平均数， 乙组平均数， 故，选项A错误， 两组数据均已按从小到大排序，共5个数据，中位数为第3个数据， 甲组中位数为，乙组中位数为，二者相等，选项B错误， 甲组方差， 乙组方差， 得到，选项C正确， 甲组极差为，乙组极差为， 故甲组极差小于乙组极差，选项D错误. （25-26高一下·河南洛阳·阶段检测）已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（    ）小试牛刀2 A．18 B．20 C．24 D．28 【答案】B 【详解】因8个样本数据，，，…，的平均数为4，记为， 则可得， 又， 则 ． （25-26高二下·重庆·期中）（多选）有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为.在这组数中，去掉一个最大的数8和一个最小的数2，余下8个数据的中位数为，极差为，方差为，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平均数和方差的运算公式，结合中位数的定义、极差的运算公式逐一判断即可. 【详解】不妨设，则， 所以与的中位数都为，故A正确； 当时，余下8个数据的极差为，故B错误； 由 ，故C正确； 又， 由，所以， 所以，即余下8个数据的平均数为， 所以， 所以，故D正确. 【题型7：数据变化对应平均数方差的变化】 【练方法】 方法技巧 1平移仅改变均值伸缩同步改变均值与方差 公式结论 设变换 1 2 3 （25-26高一下·浙江宁波·期末）已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（     ）经典例题1例题 A．1，4 B．2，1 C．1，1 D．2，4 【答案】A 【分析】利用线性变换 下平均数满足 、方差满足的性质分步计算，分别求出变换后数据的平均数与方差. 【详解】设原数据的平均数为，方差为，由题意得 ， . 设新数据 的平均数为， 则 设新数据的方差为， 则 新数据的平均数为，方差为. （25-26高二上·贵州遵义·期末）设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（    ）经典例题2例题 A．0.02 B． C．0.2 D．0.4 【答案】D 【详解】设原样本数据的最大值为，最小值为，则， 所以数据的极差为， 所以， 根据方差的线性变换性质可知数据的方差. （25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知样本数据的方差为3，若，则的方差为（     ）小试牛刀1 A．31 B．27 C．13 D．9 【答案】B 【分析】由样本数据的方差的性质求解． 【详解】因为，所以． （25-26高一下·湖南·阶段检测）已知一组数据，， 的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ）小试牛刀2 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为一组数据，， 的平均数为，方差为， 所以数据，，，的平均数为，方差为. （2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16的80%分位数是14 B．若数据的平均数为4，则数据的平均数为16 C．若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5 D．若数据的平均数为，则的方差为 【答案】BCD 【详解】对于A项，因为，所以 80% 分位数为，故 A 错误； 对于B项，因为数据的平均数为4， 则数据的平均数为，故B正确； 对于C项，原7个数据：，方差， 加入数据 5,6,7 后，新平均数为：， ，故C正确， 对于D项，因为，则方差为，故D正确. 【题型8：分组数据总体的方差计算】 【练方法】 方法技巧 1总体方差分为层内方差加权和、层间方差两部分 公式结论 层权重 1总体均值 2分层总体方差 （25-26高二下·上海·阶段检测）现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________．经典例题1例题 【答案】6 【分析】计算混合数据的平均数，计算混合数据的方差. 【详解】设甲组数据为，乙组数据为， 甲组平均数，乙组平均数， 混合后的平均数：， 甲组方差， 乙组方差， ， . （25-26高一下·山东济宁·期末）为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情怀，某高校在“五四”青年节举办“传承‘五四’薪火竞答青春华章”校史知识竞赛．共有100名学生参加校史知识竞赛，其中男生60名，女生40名，成绩均在内，将60名男生的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为，，，，，，并作出如图所示的频率分布直方图．经典例题2例题 (1)求图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这60名男生校史知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)已知这60名男生成绩的方差为214.75，40名女生成绩的平均数和方差分别为73和255.75，估计这100名学生成绩的平均数和方差． 【答案】(1) (2)70.5分 (3)平均数和方差分别为71.5和232.65 【分析】（1）由频率分布直方图求每组的频率，结合频率和为1运算求解即可； （2）根据题意用该区间的中点值作代表，结合加权平均数公式运算求解； （3）根据题意结合分层抽样的平均数和方差公式运算求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知每组频率依次为：， 则，解得． （2）估计竞赛成绩的平均数为分． （3）设男生成绩的平均数，方差，女生成绩的平均数，方差，总体成绩的平均数为，方差为， 则， 可得 ， 所以总体成绩的平均数和方差分别为71.5和232.65． （25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示．小试牛刀1 (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 【答案】(1)，90 (2)86 (3)平均数为91，方差为22． 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求的值，再利用频率估计总体即可； （2）根据百分位数的求解方式求解即可； （3）根据分层抽样的方差公式求解． 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 估计样本中成绩不低于60分的人数为． （2）前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则，解得， 即估计样本中成绩的上四分位数为86． （3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． （2026·陕西西安·模拟预测）某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩为__________分，方差为__________．小试牛刀2 【答案】 115 140 【分析】根据分组数据平均数，方差计算公式可得答案. 【详解】因为公司有男性30人，女性10人， 男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95， 所以该公司的平均成绩为：； 该公司成绩的方差为：. （25-26高二上·安徽淮南·开学考试）高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为________.小试牛刀3 【答案】72 【分析】由平均值公式、方差公式，根据男生分数、全班分数的方差可求出女生分数的方差. 【详解】设男生分数为，男生分数均值为； 女生分数为，女生分数均值为； 则，总体均值为， 男生分数方差为，则， 全班分数方差为， 由 ， 所以，解得； 因为，所以， 化简得， 解得， 则女生分数的方差为. 故答案为：72 【题型9：统计综合中等题型】 （25-26高一下·河北邢台·阶段检测）（多选）甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（     ）经典例题1例题 A．甲：极差为4，平均数为4.4 B．乙：中位数为3，平均数为3.4 C．丙：平均数为3，方差不小于4 D．丁：中位数为2，方差大于2.5 【答案】AC 【分析】根据极差，中位数的定义，假设5个数据不含6，确定固定的数，其余数字按平均数或方差构造合理数字检验假设是否成立. 【详解】选项A，假设没有6，则必有1，5，平均数为4.4，所以其余三个数之和应为16，所以假设不成立； 选项B，当5个数字为2，2，3，5，5时，中位数为3，平均数为3.4，满足条件； 选项C，假设没有6，方差最大时5个数字为1，1，3，5，5时， 平均数是3，方差为，假设不成立； 选项D， 当五个数字为1，2，2，5，5时，中位数是2，平均数3， 方差为，满足题意. （25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）（多选）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下.经典例题2例题 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】BD 【分析】分别结合甲、乙、丙、丁四人已知的众数、中位数、平均数、方差的统计性质，逐一验证是否存在得分低于分的可能性，由此判断哪名实习生一定满足五天得分均不低于分的合格要求. 【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为，则剩余的那个工作日的得分为， 故甲的考核不一定合格，A错误； 对于B：将得分排序后，第三个为，且至少有两个，这两个必然是最小的两个数， 因此所有得分均不低于，故乙的考核一定合格，B正确； 对于C：丙的中位数为，平均数为，其得分可以为， 故丙的考核不一定合格，C错误； 对于D，由于丁有一个工作日的得分为，且平均数为， 若有一个工作日的得分为，由， 可知其方差必超过了，所以丁连续五个工作日的得分均不低于， 故丁的考核一定合格，D正确. （2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）有一组互不相等的样本数据，现添加一个新的数据，得到新的一组数据，则新数据与原数据相比，下列情况可能发生的是（   ）小试牛刀1 A．若平均数不变，但极差变大 B．若中位数不变，但平均数变小 C．若平均数不变，但方差变大 D．若中位数不变，但方差变小 【答案】BD 【分析】根据题意，设原来数据中，平均数为，方差为，结合中位数，平均数和方差的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】不妨设原来数据中，平均数为，方差为， 对于A，若平均数不变，则，因为， 所以添加后极差仍然是，故A错误； 对于B，若中位数不变，则，只要， 新数据的平均数就比原来小，故B正确； 对于C，原来的方差，若平均数不变，则， 新的方差， 即平均数不变时，方差一定变小，故C错误； 对于D，例如，取原始数据为，可得原始数据的中位数为，方差为， 添加一个新数据，可得新数据的中位数仍为，此时新数据的方差为， 因为，方差变小，所以D正确. （25-26高三上·河北邯郸·期中）（多选）有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为，，，，且这组数据的平均数与中位数相等，则正确的为（    ）小试牛刀2 A．，，，的平均数等于，，，的平均数 B．，，，的中位数等于，，，的中位数 C．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差 D．将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差 【答案】BC 【分析】设样本数据的个数为奇数，从小到大排列后的中位数为，由题意知平均数也为，故，，，的总和为.选项A，求出，，，的平均数为，若，则需，但是题目中未给出这个条件，选项A错误；选项B，去掉，后，剩余数据为，，，，共个数，中位数为，原来的数据，，，的中位数为， 中位数相等，选项B正确； 选项C，原来数据极差为，去掉中位数（非最大值或最小值）后，最大值与最小值仍存在，极差不变，选项C正确； 选项D，设，，，的平均数为，方差为，再求新数据的方差，比较大小，即可判断选项D错误. 【详解】设样本数据的个数为奇数，从小到大排列后的中位数为， 由题意知平均数也为，故，，，的总和为. 选项A，，，，的总和为，，，的总和减去和， 即，其中，，，的平均数为， 若，则需，但是题目中未给出这个条件， 反例如数据1，2，4，5，8，则，，此时2，4，5的平均数为， 故选项A错误； 选项B，去掉，后，，剩余数据为，，，，共个数， 中位数为，原来的数据，，，的中位数为， 中位数相等，故选项B正确； 选项C，原来数据极差为，去掉中位数（非最大值或最小值）后，最大值与最小值仍存在，极差不变，故选项C正确； 选项D，设，，，的平均数为，方差为， ， 设，，，，，，，的方差为， ， 又， 所以， ， 即：方差反映数据离散程度，去掉中间数后，数据离散程度增大，故选项D错误. 故选：BC. （24-25高三上·河北邯郸·阶段检测）（多选）现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：小试牛刀3 甲球员：5个数据的中位数是25，众数是23； 乙球员：5个数据的中位数是28，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是30，平均数是25，方差是10； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（    ） A．甲球员连续5场比赛得分都不低于23分 B．乙球员连续5场比赛得分都不低于23分 C．丙球员连续5场比赛得分都不低于23分 D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于23 【答案】AD 【分析】A由中位数，众数定义可判断选项正误； B由中位数，平均数定义举特例可判断选项正误； C由平均数，方差定义结合题意举特例可判断选项正误； D.由题意结合方差平均数定义可得最大数据为30，后由百分位数结合反证法可判断选项正误. 【详解】A选项，设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为、、、、，由题则，， 且23至少出现2次，故，故A正确； B选项，设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，、，，，则，由题. 取，，，，可得其平均数为26满足条件，但有2场得分低于23，故B错误， C选项，设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为、、、、， 由已知， 所以. 取 .因为、、、、的平均数为25， 所以.取，，，， 满足要求，但有一场得分低于23分，故C错误； D选项，若，此时，与题意不符； 同理可得均不合题意.则 . 因为，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为. 若，则，故，与矛盾. 所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于23，故D正确. 故选：AD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $